Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số lớp 12.
Giải bài tập Toán lớp 12 Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
a)
b)
Phương pháp giải:
B1: Tính đạo hàm
B2: Tìm nghiệm của phương trình , các giá trị của x mà tại đó hàm số k xác định
B3: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến
Biết rằng
a) Nếu với mọi thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.
b) Nếu với mọi thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Lời giải:
a)
Xét hàm số:
Tập xác định:
Ta có:
Hàm số đồng biến
Hàm số nghịch biến
Vậy hàm số đồng biến trong và nghịch biến trong và
b)
Xét hàm số:
Tập xác định:
Ta có:
Vậy hàm số nghịch biến trong từng khoảng và .
Phương pháp giải:
Các quy tắc tìm cực trị của hàm số:
Quy tắc 1:
B1. Tìm tập xác định.
B2. Tính . Tìm các điểm tại đó hoặc không xác định.
B3. Lập bảng biến thiên.
B4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
B1. Tìm tập xác định.
B2. Tính . Giải phương trình và kí hiệu là các nghiệm của nó.
B3. Tính và
B4. Nếu thì là điểm cực tiểu.
Nếu thì là điểm cực đại.
Lời giải:
Xét hàm số:
Có đạo hàm là:
Đạo hàm cấp hai:
Ta có: điểm là điểm cực đại và
và là các điểm cực tiểu, .
Phương pháp giải:
- Cách tìm tiệm cận ngang:
Đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn
- Cách tìm tiệm cận đứng:
Đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn
Lời giải:
Ta có:
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Lời giải:
* Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số
* Sự biến thiên của hàm số
- Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm
+ Tại các điểm đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu đạo hàm và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm cực trị
- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)
- Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)
* Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,
- Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục
- Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
- Nêu lưu ý đến tính chẵn, tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
b) Xác định m để hàm số:
- Đồng biến trên khoảng
- Có cực trị trên khoảng
Phương pháp giải:
a)
* Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số
* Sự biến thiên của hàm số
- Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm
+ Tại các điểm đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu đạo hàm và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm cực trị
- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)
- Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)
* Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,
- Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục
- Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
- Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
b)
+) Hàm số đồng biến trên
+) Hàm số nghịch biến trên
c) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi có hai nghiệm phân biệt với mọi
Lời giải:
. Đây là hàm số bậc hai, có đồ thị là parabol, bề lõm quay lên trên.
a) Với ta có hàm số:
Tập xác định
* Sự biến thiên:
Ta có:
+) Hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng
+) Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại ;
+) Giới hạn:
Bảng biến thiên:
* Đồ thị
Đồ thị hàm số giao trục tại hai điểm và
Cắt tại
b)
Tổng quát có tập xác định
Có
Suy ra 0 với với , tức là hàm số nghịch biến trên và đồng biến trên
i) Để hàm số đồng biến trên khoảng thì phải có điều kiện
ii) Hàm số đạt cực trị tại .
Để hàm số đạt cực trị trong khoảng , ta phải có:
c)
luôn cắt tại hai điểm phân biệt
phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Ta có:
Vậy luôn cắt tại hai điểm phân biệt.
Cách khác
Nhận thấy: với mọi m.
Suy ra, giá trị cực tiểu luôn nhỏ hơn 0 với mọi .
Dựa vào bảng biến thiên suy ra đường thẳng (trục hoành) luôn cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt (đpcm).
Phương pháp giải:
a)
*Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số
*Sự biến thiên của hàm số
- Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm
+ Tại các điểm đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu đạo hàm và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm cực trị
- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)
- Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)
*Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,
- Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục
- Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
- Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
b) Tính đạo hàm Thay vào vị trí của để tính và giải bất phương trình
a)
Tập xác định:
* Sự biến thiên:
Ta có:
- Hàm số đồng biến trên khoảng: , nghịch biến trên khoảng và
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại ;
Hàm số đạt cực tiểu tại ;
- Giới hạn:
-Bảng biến thiên:
* Đồ thị
Đồ thị hàm số giao trục tại điểm
Đồ thị hàm số nhận làm tâm đối xứng.
b)
.
=
c)
Có
Do đó: .
Phương trình tiếp tuyến của tại là:
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị
Phương pháp giải:
a)
*Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số
*Sự biến thiên của hàm số
- Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm
+ Tại các điểm đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu đạo hàm và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm cực trị
- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)
- Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)
*Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,
- Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục
- Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
- Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
b) Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng Dựa vào đồ thị để biện luận số nghiệm.
Viết pt đường thẳng đi qua 2 điểm ta làm như sau:
+ Tìm tọa độ suy ra tọa độ VTPT của đt.
+ Viết pt đường thẳng theo công thức
Lời giải:
a)
Tập xác định:
* Sự biến thiên:
Ta có:
- Hàm số đồng biến trên khoảng và , nghịch biến trên khoảng
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại ;
Hàm số đạt cực tiểu tại ; .
- Giới hạn: ,
- Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị hàm số giao tại
Đồ thị hàm số nhận làm tâm đối xứng.
b)
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của và đường thẳng :
Từ đồ thị ta thấy:
- Với : cắt tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm
- Với : tiếp xúc với tại 1 điểm và cắt tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.
- Với : cắt tại 3 điểm, phương trình có 3 nghiệm.
- Với : cắt tại 1 điểm và tiếp xúc với tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.
- Với : cắt tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm.
Vậy, nếu hoặc thì phương trình có nghiệm duy nhất.
+ Nếu hoặc thì phương trình có nghiệm phân biệt.
+ Nếu thì phương trình có nghiệm phân biệt.
c)
Ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực đại là , điểm cực tiểu là .
Ta có: là VTPT của
đi qua và nhận làm VTPT nên có pt:
a) Xác định để hàm số đồng biến trên tập xác định.
Phương pháp giải:
a) Hàm số đồng biến trên tập xác định với mọi thuộc tập xác định.
b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải:
a)
Tập xác định:
Hàm số đồng biến trên
. Mà
(Vì nên chỉ xảy ra khi )
b)
Hàm số có một cực đại và một cực tiểu
phương trình có hai nghiệm phân biệt
có hai nghiệm phân biệt
. Mà
c)
Ta có:
Để
Phương pháp giải:
a)
*Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số
*Sự biến thiên của hàm số
- Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm
+ Tại các điểm đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu đạo hàm và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm cực trị
- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)
- Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)
*Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,
- Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục
- Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
- Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
b) Giải phương trình để tìm Sau đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số theo công thức:
Lời giải:
a)
Xét hàm số y =
Tập xác định:
* Sự biến thiên:
Ta có:
- Hàm số nghịch biến trên khoảng và , đồng biến trên khoảng và .
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại ;
Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm và ;
- Giới hạn:
- Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục làm trục đối xứng.
b)
Ta có:
Có
Tiếp tuyến của tại điểm là :
Tiếp tuyến của tại điểm là:
c)
Ta có: (1)
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của và đường thẳng :
Từ đồ thị ta thấy:
thì và không có điểm chung nên (1) vô nghiệm.
thì và có 2 điểm chung nên (1) có 2 nghiệm.
thì d và có 4 điểm chung nên (1) có 4 nghiệm.
thì và có 3 điểm chung nên ( 1) có 3 nghiệm.
thì và có 2 điểm chung nên (1) có 2 nghiệm.
Vậy:
+) thì phương trình vô nghiệm.
+) hoặc thì PT có 2 nghiệm.
+) thì PT có 3 nghiệm.
+) thì PT có 4 nghiệm.
a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.
Phương pháp giải:
a) Số cực trị của hàm số là số nghiệm của phương trình: Biện luận số cực trị của hàm số tức là biện luận số nghiệm của phương trình
Lời giải:
a)
Tập xác định:
Ta có:
+) Với thì có một nghiệm và đổi dấu sang khi qua nghiệm này.
Do đó hàm số có một điểm cực đại là
+) Với phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số có điểm 3 cực trị.
Do đó, hàm số có 2 điểm cực đại là và có một điểm cực tiểu là .
b)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là:
Ta thấy phương trình hoành độ giao điểm luôn có nghiệm với mọi m nên luôn cắt trục hoành.
Cách khác:
– Xét , phương trình có nghiệm duy nhất
Ta có bảng biến thiên :
Kết hợp ta được (1)
- Xét , phương trình có 3 nghiệm 0 ;
Ta có bảng biến thiên :
cắt trục hoành
Kết hợp với ta được (2)
Kết hợp (1) và (2) suy ra cắt trục hoành với mọi
c)
Theo lời giải câu a, ta thấy ngay: với thì đồ thị có cực đại và cực tiểu.
Phương pháp giải:
a) Khảo sát và vẽ đồ thi qua các bước đã được học.
+) Khảo sát và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số từ đó suy ra độ dài nhỏ nhất của
d) Gọi là 1 điểm bất kì thuộc đồ thị hàm số Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại là:
+) Tìm các giao điểm của tiếp tuyến với các đường tiệm cận.
+) Khi đó là trung điểm của
Lời giải:
a)
Xét hàm số:
Tập xác định :
* Sự biến thiên:
- Hàm số nghịch biến trên khoảng: và
- Cực trị: Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
Tiệm cận đứng:
Tiệm cận ngang:
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị hàm số giao tại , giao tại
Đồ thị hàm số nhận điểm làm tâm đối xứng.
b)
Xét phương trình có nghiệm là hoành độ giao điểm của và đường thẳng (d): (1)
(1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Lại có: hay phương trình (1) có nghiệm khác .
Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác với mọi
Vậy (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt (hoành độ của chính là nghiệm của (1)).
c)
Gọi và là hai giao điểm của và đường tahnwgr
Theo định lí Vi-et ta có:
Ta có:
Dấu "=" xảy ra
Vậy độ dài nhỏ nhất bằng khi
d)
Giả sử là điểm bất kì thuộc (C)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại là:
Tiệm cận đứng: và tiệm cận ngang:
Giả sử cắt tiệm cận ngang tại . Khi đó:
cắt tiệm cận đứng tại Khi đó:
Vậy là trung điểm của .
a) Giải phương trình
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình .
Phương pháp giải:
a) +) Tính đạo hàm và
+) Thay vào giải phương trình .
b) Thay vào giải phương trình .
c) Giải phương trình để tìm nghiệm
+) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số theo công thức:
Lời giải:
a)
a) Ta có:
Suy ra (1) vô nghiệm.
Cách 2: Đặt ,
Ta có:
Suy ra vô nghiệm.
b)
Ta có:
c)
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng:
.
A. B. C. D.
Phương pháp giải:
Lời giải:
Hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định. Do đó hàm số không có cực trị.
Chọn đáp án B
A. B. C. D.
Phương pháp giải:
Lời giải:
Ta có: .
Đạo hàm với và với .
BBT:
Vậy hàm số chỉ có cực tiểu tại và không có điểm cực đại.
Vậy chọn đáp án A.
A. B. 2 C. D.
Phương pháp giải:
- Đường thẳng là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn: .
- Đường thẳng là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
Lời giải:
Ta có: .
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị có 2 tiệm cận.
Chọn đáp án B
A. B.
C. D.
Phương pháp giải:
+) Tìm TXĐ của hàm số.
+) Tính đạo hàm
+) Hàm số bậc nhất trên bậc nhất luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Lời giải:
Tập xác định của hàm số :
Có
Hàm số đồng biến trên và
Chọn đáp án C.
Lưu ý:
Khi kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến thì không kết luận gộp, chẳng hạn: hay mà chỉ được kết luận từng khoảng rời nhau, như là: và và .
A. Song song với đường thẳng
B. Song song với trục hoành.
C. Có hệ số góc dương.
D. Có hệ số góc bằng
Phương pháp giải:
+) Xác định tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm theo công thức:
Lời giải:
Ta có:
nên là điểm cực đại của hàm số.
nên là điểm cực tiểu của hàm số.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm cực tiểu có hệ số góc .
Do đó tiếp tuyến song song với trục hoành.
Chọn đáp án B
1. Các kiến thức cần nhớ
Cho điểm đối với hệ tọa độ
Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ là:
Khi đó điểm đối với hệ tọa độ
Cho đường cong trong hệ tọa độ , khi đó phương trình của trong hệ tọa độ là:
Nếu hàm số là hàm số lẻ (trong hệ tọa độ mới ) thì điểm trong hệ tọa độ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số
2. Một số dạng thường gặp
Dạng 1: Tìm công thức chuyển hệ tọa độ.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính tọa độ điểm (nếu cần).
- Bước 2: Viết công thức chuyển hệ tọa độ
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm tọa độ điểm (nếu cần)
- Bước 2: Viết công thức chuyển hệ tọa độ
- Bước 3: Viết phương trình đường cong đối với hệ tọa độ mới:
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm tọa độ điểm :
- Bước 2: Viết công thức chuyển hệ tọa độ
- Bước 3: Viết phương trình đường cong đối hệ tọa độ mới: .
- Bước 4: Chứng minh suy ra hàm số là hàm số lẻ và kết luận.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính , giải phương trình tìm nghiệm điểm
- Bước 2: Viết công thức chuyển hệ tọa độ
- Bước 3: Viết phương trình đường cong đối hệ tọa độ mới: .
- Bước 4: Chứng minh suy ra hàm số là hàm số lẻ và kết luận.
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số.
+ Tại điểm mà hoặc thì là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, khi đó là nghiệm của mẫu thức.
+ Nếu có tại điểm thì là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, khi đó .
- Bước 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
Nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng thì nó cũng đồng biến trên .
- Bước 3: Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số: Giao điểm của đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
HS có thể xét tính đúng sai của từng đáp án, đối chiếu với bảng biến thiên để loại đáp án, không nhất thiết phải thực hiện tuần tự từng bước ở trên, tránh mất nhiều thời gian.
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận .
- Bước 2: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao điểm 2 tiệm cận .
- Bước 3: Thay tọa độ tâm đối xứng vào điều kiện đề bài để tìm .
- Bước 4: Kết hợp với điều kiện ở bước 1 để kết luận điều kiện của .
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận .
- Bước 2: Tìm phương trình hai đường tiệm cận .
- Bước 3: Thay vào điều kiện đề bài để tìm .
- Bước 4: Kết hợp với điều kiện ở bước 1 để kết luận điều kiện của .
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số.
+ Tiệm cận đứng .
+ Tiệm cận ngang .
- Bước 2: Tìm điểm đi qua của đồ thị hàm số (thường là giao của đồ thị hàm số với )
+ Giao điểm của đồ thị hàm số với là .
+ Giao điểm của đồ thị hàm số với là .
- Bước 3: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số .
Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.
Phương pháp:
- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số.
- Bước 2: Giải phương trình tìm , rồi từ đó suy ra và tọa độ giao điểm.
Dạng 2: Tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số.
Đối với dạng bài này, ta cũng có thể sử dụng phương pháp ở trên, nhưng đối với bài toán không tìm được hết các nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm thì ta có thể sử dụng phương pháp dưới đây:
Phương pháp:
- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm .
- Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên TXĐ.
+ Tính , giải phương trình tìm các nghiệm và các điểm không xác định.
+ Xét dấu và lập bảng biến thiên.
- Bước 3: Kết luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số và .
+ Số giao điểm của hai đồ thị hàm số và là số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành (đường thẳng )
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm trên đoạn cho trước.
Phương pháp:
- Bước 1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên đoạn .
+ Tính , giải phương trình tìm các nghiệm thuộc đoạn và các điểm không xác định.
+ Xét dấu và lập bảng biến thiên.
- Bước 2: Nêu điều kiện để phương trình có một, hai,… nghiệm là đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại một điểm, hai điểm,… trên đoạn , từ đó suy ra điều kiện của .
- Bước 3: Giải phương trình, bất phương trình ẩn ở trên và tìm điều kiện của .
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành.
(Áp dụng cho những bài toán không tách riêng được và )
- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm
- Bước 2: Tính
- Bước 3: Nêu điều kiện để phương trình có nghiệm:
+) Phương trình có nghiệm duy nhất nếu đồ thị hàm số không có điểm cực trị nào hoặc có hai điểm cực trị cùng nằm về một phía đối với trục hoành
với là hai nghiệm của phương trình .
+) Phương trình có 2 nghiệm nếu hoặc với là hai nghiệm của phương trình .
+) Phương trình có 3 nghiệm phân biệt nếu đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành
- Bước 4: Kết luận giá trị cần tìm của .
Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc 4 cắt trục hoành.
(Áp dụng cho những bài toán không tách riêng được và )
- Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm
- Bước 2: Đặt , phương trình trở thành .
- Bước 3: Nêu điều kiện để phương trình bậc 4 có nghiệm:
+ Phương trình bậc 4 có 4 nghiệm phân biệt nếu (*) có hai nghiệm phân biệt dương
+ Phương trình bậc 4 có 3 nghiệm phân biệt nếu (*) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng
+ Phương trình bậc 4 có 2 nghiệm phân biệt nếu (*) có hai nghiệm trái dấu, hoặc 1 nghiệm kép dương
+ Phương trình bậc 4 có 1 nghiệm duy nhất nếu (*) có 1 nghiệm kép bằng hoặc có 1 nghiệm bằng và 1 nghiệm âm
+ Phương trình bậc 4 vô nghiệm nếu (*) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm âm hoặc nghiệm kép âm.
- Bước 4: Kết luận điều kiện của