Giải Toán 12 Bài 3: Lôgarit

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 3: Lôgarit chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Lôgarit lớp 12.

Bài giảng Toán học 12 Bài 3: Lôgarit

Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 3: Lôgarit

Trả lời câu hỏi giữa bài
Trả lời câu hỏi 1 trang 61 SGK Giải tích 12: Tìm x để:

a)2x=8

b)2x=14

c)3x=81

d)5x=1125

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết am=anm=n với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa.

Lời giải:

a)

2x=82x=23x=3

b)

2x=142x=22x=2

c)

3x=813x=34x=4

d)

5x=11255x=53x=3

Trả lời câu hỏi 2 trang 62 SGK Giải tích 12: a) Tính log124,log3127
b) Có các số x,y nào để 3x=0,2y=3 hay không?

Phương pháp giải:

a) Tìm một số thực x thỏa mãn (12)x=4.

Tìm một số thực thỏa mãn 3x=127

b) Nhận xét giá trị của 3x và 2y suy ra kết luận.

Lời giải:

a)

log124=2 vì (12)2=122=4

log3127=3 vì 33=133=127

b)

Không có số x,y nào để 3x=0;2y=3 vì 3x>0;2y>0 với mọi x,y.

Trả lời câu hỏi 3 trang 62 SGK Giải tích 12: Hãy chứng minh các tính chất:

loga1=0,logaa=1alogab=b,loga(aα)=α

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa α=logabb=aα

Lời giải:

Ta có:

a0=10=loga1.

a1=a1=logaa.

Đặt α=logab. Từ điịnh nghĩa logarit ta có:

α=logabb=aα=alogab

b=alogab

Đặt logaaα=b

Theo định nghĩa aα=abα=b

Vậy logaaα=b=α.

Trả lời câu hỏi 4 trang 63 SGK Giải tích 12: Tính: 4log217;(125)log513

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức (am)n=(an)m;alogab=b

Lời giải:

4log217=22log217=(2log217)2=(17)2=149(125)log513=52log513=(5log513)2=(13)2=9

Trả lời câu hỏi 5 trang 63 SGK Giải tích 12: Cho b1=23;b2=25

Tính log2b1+log2b2;log2b1b2 và so sánh các kết quả.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức logaan=n và loga(bc)=logab+logac

Lời giải:

log2b1+log2b2=log223+log225=3+5=8log2b1b2=log2(23.25)=log(23+5)=log228=8

Vậy log2b1+log2b2=log2b1b2

Trả lời câu hỏi 6 trang 64 SGK Giải tích 12: Tính:

log122+2log1213+log1238

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức logarit của một tích

logab1+logab2+...+logabn=loga(b1b2...bn)

Lời giải:

log122+2log1213+log1238=log122+log1213+log1213+log1238=log12(2.13.13.38)=log12112

Trả lời câu hỏi 7 trang 64 SGK Giải tích 12: Cho b1=25;b2=23. Tính log2b1log2b2;log2b1b2 và so sánh các kết quả.

Lời giải:

log2b1log2b2=log225log223=53=2log2b1b2=log22523=log222=2log2b1log2b2=log2b1b2

Trả lời câu hỏi 8 trang 65 SGK Giải tích 12: Cho a=4,b=64,c=2. Tính logab;logca;logcb

Tìm một hệ thức liên hệ giữa ba kết quả thu được.

Lời giải:

logab=log464=log443=3logca=log24=log222=2logcb=log264=log226=63.2=6logab.logca=logcb

Câu hỏi và bài tập (trang 68 SGK Giải tích 12)
Bài 1 trang 68 SGK Giải tích 12: Không sử dụng máy tính, hãy tính:

a) log218;

b) log142 ;
c) log334;       
d) log0,50,125.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các công thức của logarit: logaa=1;logabn=nlogab; logamb=1mlogab;logab=logcblogca.

Lời giải:

a)

log218=log223=3log22=3.

b)

log142=log222=12.log22=12.

hoặc dùng công thức đổi cơ số : log142=log22log214=1log222=12.

c)

log334=log3314=14.log33=14.

d)

log0,50,125=log0,50,53 =3.log0,50,5=3

Bài 2 trang 68 SGK Giải tích 12: Tính:

a) 4log23;   

b) 27log92;
c) 9log32        
d) 4log827;

Phương pháp giải:

+) Công thức lũy thừa:  (am)n=am.n;am=am2.

+) Sử dụng công thức logarit:  alogab=b;logabn=nlogab; logamb=1mlogab.

Lời giải:

a)

4log23=(22)log23=(2log23)2=32=9.

b)

27log92=(33)log92=33.log92=33log322 =33.12log32=332.log32 =(3log32)32=232=(2)3=22

c)

9log32=((3)4)log32 =(3)4log32 =((3)log32)4=24=16

Cách khác:

9log32=9log31/22=911/2log32 =92log32=(32)2log32=34log32 =(3log32)4=24=16

d)

Có:

log827=log2333 =33.log23=log23

Vậy 4log827=(22)log23=(2log23)2 =32=9.

Bài 3 trang 68 SGK Giải tích 12: Rút gọn biểu thức:

a)log36.log89.log62;   

b) logab2+loga2b4

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức logarit:logab.logbc=logac;logabn=n.logab;logamb=1m.logab;logambn=nm.logab.

Với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa.

Lời giải:

a)

log36.log89.log62=(log36.log62).log89=log32.log2332=log32.(2.13.log23)=23.(log32.log23)=23.log33=23

b)

logab2+loga2b4

=logab2+loga2(b2)2

=logab2+2.12.logab2

=logab2+logab2

=2logab2

=4loga|b|

Cách khác:

logab2+loga2b4=2loga|b|+4.12.loga|b|=2loga|b|+2.loga|b|=4loga|b|

Bài 4 trang 68 SGK Giải tích 12: So sánh các cặp số sau:

a) log35 và log74;   

b) log0,32 và log53;
c) log210 và log530.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng so sánh bắc cầu, so sánh với 1

b) Sử dụng so sánh bắc cầu, so sánh với 0

c) Sử dụng so sánh bắc cầu, so sánh với 3

Lời giải:

a)

Đặt log35=α;log74=β.3α=3log35=5>31α>1(3>1).7β=7log74=4<71β<1(7>1).Do đó α>β.

Cách khác:

Ta có: log35>log33=1; log74<log77=1.

Do đó log35>1>log74 hay log35>log74.

b)

Đặt log0,32=α;log53=β.0,3α=0,3log0,32=2>0,30α<0(0<0,3<1).5β=5log53=3>30β>0(3>1).Do đó α<β.

Cách khác:

Ta có: log0,32<log0,31=0 (vì 0<0,3<1).

Lại có log53>log51=0 (vì 5>1).

Do đó log0,32<0<log53 hay log0,32<log53.

c)

Đặt log210=α;log530=β.2α=2log210=10>23α>3(2>1).5β=5log530=30<53β<3(5>1).Do đó α>β.

Cách khác:

Ta có: log210>log28=log2(23)=3

Lại có log530<log5125=log5(53)=3.

Do đó log210>3>log350 hay log210>log350.

Bài 5 trang 68 SGK Giải tích 12: a) Cho a=log303,b=log305. Hãy tính log301350 theo a,b.
b) Cho c=log153. Hãy tính log2515 theo c.

Phương pháp giải:

+) Biến đổi các biểu thức logarit cần tính thông qua các logarit đề bài đã cho nhờ các công thức biến đổi cơ bản của logarit.

+) Thế các giá trị a, b vào biểu thức vừa biến đổi được ta tính được giá trị của biểu thức logarit cần tính.

Lời giải:

a)

Ta có 1350=30.32.5 suy ra

log301350=log30(30.32.5)=log3030+log3032+log305=1+2log303+log305=1+2a+b.

b)

Ta có:log2515=1log1525=1log1552=12log155=12log15(15:3)=12(log1515log153)=12(1log153)=12(1c)

Cách khác:

log2515=log5215=12log515=12log5(5.3)=12(log55+log53)=12(1+log53)(1)c=log1531c=log315=log3(3.5)=log33+log35=1+log35log35=1c1=1cc1log35=c1clog53=c1c(2)

Thay (2) vào (1) ta được:

log2515=12(1+log53)=12(1+c1c)=12.1c+c1c=12(1c)

Lý thuyết Bài 3: Lôgarit

1. Định nghĩa

Cho hai số dương a, b với a1. Nghiệm duy nhất của phương trình ax=b được gọi là logab ( tức là số α có tính chất là aα=b).

Như vậy logab=αaα=b.

Ví dụ: log416=2 vì 42=16.

2. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên

Lôgarit cơ số 10 còn được gọi là lôgarit thập phân, số log10b thường được viết là logb hoặc lgb.

Lôgarit cơ số e (e=limn+(1+1n)n ≈ 2,718281828459045) còn được gọi là lôgarit tự nhiên, số logeb thường được viết là lnb.

3. Tính chất của lôgarit

Lôgarit có các tính chất rất phong phú, có thể chia ra thành các nhóm sau đây:

1) Lôgarit của đơn vị và lôgarit của cơ số:

Với cơ số tùy ý, ta luôn có loga1 = 0 và logaa= 1.

2) Phép mũ hóa và phép lôgarit hóa theo cùng cơ số (mũ hóa số thực α theo cơ số a là tính aα; lôgarit hóa số dương b theo cơ số a là tính logab) là hai phép toán ngược nhau.

a>0(a 1),  b>0alogab=b

a>0(a1)logaaα=α

3) Lôgarit và các phép toán: Phép lôgarit hóa biến phép nhân thành phép cộng, phép chia thành phép trừ, phép nâng lên lũy thừa thành phép nhân, phép khai căn thành phép chia, cụ thể là 

Với a,b1,b2>0,a1 ta có:

+) loga(b1b2)=logab1+logab2

+) loga(b1b2)=logab1logab2

+) a,b>0(a1),  α ta có:

logabα=α.logab

logabn=1n.logab

Ví dụ: Tính A=log21522log23.

Ta có:

A=log21522log23=log215log222.12log23=log2(3.5)1log23=log23+log251log23=log251

4) Đổi cơ số: Có thể chuyển các phép lấy lôgarit theo những cơ số khác nhau về việc tính lôgarit theo cùng một cơ số chung, cụ thể là 

a,b,c>0(a,c1)logab=logcblogca.

Đặc biệt a,b>0(a,b1)logab=1logba

a,b>0(a1),α,β(α0) ta có:

logaαb=1αlogab

logaαbβ=βαlogab

loga1b=logab(0<a1;b>0)

logabn=logab1n=1nlogab (0<a1;b>0;n>0;nN)

logab.logbc=logaclogbc=logaclogab (0<a,b1;c>0)

logab=1logbalogab.logba=1 (0<a,b1)

loganb=1nlogab (0<a1;b>0;n0)

Ví dụ: Tính B=3log8122log23+12log1633

Ta có:

B=3log8122log23+12log1633=3log23122log23+12.log2433=3.13log2122log23+12.14log233=log2122log23+3log233=log212log232+log2(33)3=log212log29+log23=log212.39=log24=log222=2

Hệ quả:

a) Nếu a>1;b>0 thì logab>0b>1; logab<00<b<1.

b) Nếu 0<a<1;b>0 thì logab<0b>1; logab>00<b<1.

c) Nếu 0<a1;b,c>0 thì logab=logacb=c.

Chú ý:

Logarit thập phân log10b=logb(=lgb) có đầy đủ tính chất của logarit cơ số a.
Sơ đồ tư duy về lôgarit
Các dạng toán thường gặp về logarit

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức logarit.

Phương pháp:

- Bước 1: Biến đổi các biểu thức có chứa logarit sử dụng những tính chất của logarit.

- Bước 2: Thực hiện tính toán dựa vào thứ tự thực hiện phép tính:

+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc n nhân, chia  cộng, trừ.

+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc  lũy thừa (căn bậc n nhân, chia  cộng, trừ.

Dạng 2: So sánh các biểu thức có chứa logarit.

Phương pháp:

- Bước 1: Đưa các logarit về cùng cơ số (nếu có thể)

- Bước 2: Đơn giản các biểu thức đã cho bằng cách sử dụng tính chất của logarit.

- Bước 3: So sánh các biểu thức sau khi đơn giản, sử dụng một số tính chất của so sánh logarit.

Dạng 3: Biểu diễn một logarit hoặc rút gọn biểu thức có chứa logarit qua các logarit đã cho.

Phương pháp:

- Bước 1: Tách biểu thức cần biểu diễn ra để xuất hiện các logarit đề bài cho bằng cách sử dụng các tính chất của logarit.

- Bước 2: Thay các giá trị bài cho vào và rút gọn sử dụng thứ tự thực hiện phép tính:

+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc n nhân, chia  cộng, trừ.

+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc  lũy thừa (căn bậc n nhân, chia  cộng, trừ.

Logarit (số e và logarit tự nhiên)

1. Các kiến thức cần nhớ

a) Logarit tự nhiên

Định nghĩa:

Logarit cơ số e của 1 số dương a được gọi là logarit tự nhiên (logarit Nê-pe) của số a và kí hiệu là lna.

lna=ba=eb(a>0);e2,71828...

Tính chất:

Lôgarit tự nhiên có đầy đủ tính chất của logarit với cơ số lớn hơn 1.

b) Công thức lãi kép liên tục (hoặc công thức tăng trưởng mũ)

T=A.eNr, ở đó A là số tiền gửi ban đầu, r là lãi suất, N là số kì hạn.

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức logarit tự nhiên.

Phương pháp:

- Bước 1: Biến đổi các biểu thức có chứa ln sử dụng những tính chất của logarit tự nhiên.

- Bước 2: Thực hiện tính toán dựa vào thứ tự thực hiện phép tính:

+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc n nhân, chia  cộng, trừ.

+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc  lũy thừa (căn bậc n nhân, chia  cộng, trừ.

Dạng 2: So sánh các biểu thức có chứa logarit tự nhiên.

Phương pháp:

- Bước 1: Đơn giản các biểu thức đã cho bằng cách sử dụng tính chất của logarit và logarit tự nhiên.

- Bước 2: So sánh các biểu thức sau khi đơn giản, sử dụng một số tính chất của so sánh logarit.

Dạng 3: Biểu diễn một logarit hoặc rút gọn biểu thức có chứa logarit qua các logarit đã cho.

Phương pháp:

- Bước 1: Tách biểu thức cần biểu diễn ra để xuất hiện các logarit đề bài cho bằng cách sử dụng các tính chất của logarit.

- Bước 2: Thay các giá trị bài cho vào và rút gọn sử dụng thứ tự thực hiện phép tính:

+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc n nhân, chia  cộng, trừ.

+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc  lũy thừa (căn bậc n nhân, chia  cộng, trừ.

Dạng 4: Bài toán lãi kép liên tục.

Một người gửi vào ngân hàng số tiền A đồng, lãi suất r theo năm, tính số tiền có được sau N năm.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tăng trưởng mũ:

T=A.eNr, ở đó A là số tiền gửi ban đầu, r là lãi suất, N là số kì hạn.

Bài giảng Toán học 12 Bài 3: Lôgarit