Giải Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Lời giải:

Hình $(H_1)$ được tạo bởi 5 khối lập phương $(H_0)$. 

Nói cách khác, có thể chia $(H_1)$ thành 5 khối lập phương $(H_0).$

Lời giải:

Có thể chia (H2) thành 4 khối hộp chữ nhật (H1)

Lời giải:

Có thể chia (H) thành 3 khối hộp chữ nhật (H2)

Kim tự tháp là khối chóp tứ giác đều nên đáy là hình vuông có cạnh 230m

Diện tích đáy là:

$230.230=52900(m^2)$

Thể tích kim tự tháp là:

${\displaystyle \frac{1}{3}}.52900.147=2592100(m^2)$

Cho tứ diện đều $ABCD$. Hạ $AH\mathrm{\perp }\left(BCD\right)$

Dễ dàng chứng minh được ${\mathrm{\Delta }}_{v}AHB={\mathrm{\Delta }}_{v}AHC={\mathrm{\Delta }}_{v}AHD\left(ch-cgv\right)$ $\Rightarrow HB=HC=HD,$ do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$.

Do $BCD$ là tam giác đều nên $H$ là trọng tâm của tam giác $BCD$.

Gọi $M$ là trung điểm $CD$ thì $BM$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao trong tam giác.

Ta có: $BM=BD\sin {60}^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Do đó $BH=\frac{2}{3}BM={\displaystyle \frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a}$

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông $ABH$ ta có: $A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2=a^2-{\displaystyle \frac{a^2}{3}}={\displaystyle \frac{2a^2}{3}}$ $\Rightarrow AH={\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{3}}$

Do tam giác $BCD$ đều cạnh $a$ nên: $S_{BCD}={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}$

Vậy $V_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}AH.S_{BCD}$ $={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{3}}.{\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}$ $={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{2}}{12}}.$

Chia khối tám mặt đều cạnh $a$ thành hai khối chóp tứ giác đều cạnh $a$ là $E.ABCD$ và $F.ABCD$.

Xét chóp tứ giác đều $E.ABCD$. Gọi $H$ là tâm hình vuông $ABCD$ ta có: $EH\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$.

Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}$ $=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$

$\Rightarrow AH={\displaystyle \frac{1}{2}}AC={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}$.

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông $EHA$ có: $E{H}^2=E{A}^2-A{H}^2$ $=a^2-{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}\right)}^2$$={\displaystyle \frac{a^2}{2}}$

$\Rightarrow EH={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}$

$\Rightarrow V_{E.ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}EH.S_{ABCD}$ $={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}.a^2={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{2}}{6}}$

Vậy thể tích khối tám mặt đều cạnh $a$ là: $V=2.V_{E.ABCD}={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{2}}{3}}$.

Chú ý: Hình chóp đa giác đều có hình chiếu của đỉnh trên mặt đáy trùng với tâm mặt đáy.

Gọi $S$ là diện tích đáy $ABCD$ và $h$ là chiều cao của khối hộp thì thể tích của khối hộp: $\Rightarrow V=S.h$

Chia khối hộp thành khối tứ diện $AC{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ và bốn khối chóp $A.A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime },C.C^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime },B^{\prime }.BAC$ và $D^{\prime }.DAC$.

Xét khối chóp $A.A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ có diện tích đáy $S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }}={\displaystyle \frac{S}{2}}$ và chiều cao bằng $h$. Do đó $V_{A.A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{S}{2}}.h={\displaystyle \frac{S.h}{6}}$.

Tương tự như vậy ta chứng minh được:

$V_{A.A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }}=V_{C.C^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }}=V_{B^{\prime }BAC}=V_{D^{\prime }.DAC}$$={\displaystyle \frac{S.h}{6}}$

Vậy $V_{AC{B}^{\prime }{D}^{\prime }}=V-$$\left(V_{A.A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }}+V_{C.C^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }}+V_{B^{\prime }BAC}+V_{D^{\prime }.DAC}\right)$

$=S.h-4.{\displaystyle \frac{S.h}{6}}={\displaystyle \frac{S.h}{3}}$.

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{V}{V_{AC{B}^{\prime }{D}^{\prime }}}}={\displaystyle \frac{S.h}{{\displaystyle \frac{1}{3}}S.h}}=3$

${\displaystyle \frac{V_{S.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}{V_{S.ABC}}=\frac{S{A}^{\prime }}{SA}\cdot \frac{S{B}^{\prime }}{SB}\cdot \frac{S{C}^{\prime }}{SC}}$

Lời giải:

Gọi $h$ và $h^{\prime }$ lần lượt là chiều cao hạ từ $A,A^{\prime }$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

* Do $A^{\prime }{H}^{\prime }//AH$ nên bốn điểm $A,A^{\prime };H^{\prime }$ và $H$ đồng phẳng. (1)

Lại có, 3 điểm $A,S,H$ đồng phẳng (2).

Từ (1) và (2) suy ra, 5 điểm $A,A^{\prime },S.H$ và $H^{\prime }$ đồng phẳng.

Trong mp(ASH) ta có: $\{\begin{array}{l}{A}^{\prime }{H}^{\prime }\mathrm{\perp }S{H}^{\prime }\\ AH\mathrm{\perp }SH\\ A^{\prime }{H}^{\prime }//AH\end{array}\Rightarrow S{H}^{\prime }\equiv SH$

⇒ Ba điểm $S,H$ và $H^{\prime }$ thẳng hàng.

Gọi $S_1$ và $S_2$ theo thứ tự là diện tích các tam giác $SBC$ và $S{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Khi đó ta có ${\displaystyle \frac{h^{\prime }}{h}=\frac{S{A}^{\prime }}{SA}}$ (định lý Ta - let) và:

${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}={\displaystyle \frac{S_{S{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}{S_{SBC}}}$ $={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}S{B}^{\prime }.S{C}^{\prime }.\sin \widehat{BSC}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}SB.SC.\sin \widehat{BSC}}}={\displaystyle \frac{S{B}^{\prime }}{SB}}.{\displaystyle \frac{S{C}^{\prime }}{SC}}$

Suy ra ${\displaystyle \frac{V_{S.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}{V_{S.ABC}}=\frac{V_{A^{\prime }.S{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}{V_{A.SBC}}=\frac{\frac{1}{3}{h}^{\prime }{S}_2}{\frac{1}{3}h{S}_1}}$ $={\displaystyle \frac{h^{\prime }}{h}}.{\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$ $={\displaystyle \frac{S{A}^{\prime }}{SA}\cdot \frac{S{B}^{\prime }}{SB}\cdot \frac{S{C}^{\prime }}{SC}}$ 

Đó là điều phải chứng minh.

Chú ý: Từ nay về sau chúng ta được sử dụng bài tập này như một kết quả và không cần chứng minh lại.

Ta có: $BD\mathrm{\perp }(CEF)$ hay $DF\mathrm{\perp }(CEF)$do đó ta đã biết chiều cao của tứ diện $DCEF.$

Để tính thể tích tứ diện này, ta đi tính diện tích đáy tương ứng là $S_{\mathrm{\Delta }EFC}$

Dễ thấy: $\mathrm{\Delta }EFC$ vuông tại $E,$ vì:

$\{\begin{array}{l}CE\mathrm{\perp }DA\\ CE\mathrm{\perp }BD(doBD\mathrm{\perp }(CEF))\end{array}\Rightarrow CE\mathrm{\perp }(BDA)\supset EF\Rightarrow CE\mathrm{\perp }EF.$

Vậy ta đi tính các cạnh $CE,EF.$

+) Tính $CE$

Do $DC\mathrm{\perp }(ABC)$ nên $\mathrm{\Delta }ACD$ vuông cân tại $C.$

$\Rightarrow$ Chiều cao $CE={\displaystyle \frac{AC}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{AB}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{2}}}$

+) Tính $EF$:

Xét vuông tại $C$, ta có:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}DC=AC=a\\ BC=AB.\sqrt{2}=a\sqrt{2}\end{array}\Rightarrow BD=a\sqrt{3}\\ \text{Mà:}CF.BD=DC.BC\\ \Rightarrow CF={\displaystyle \frac{DC.BC}{BD}}={\displaystyle \frac{a.a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{3}}.\\ \Rightarrow EF=\sqrt{C{F}^2-C{E}^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2a}{3}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}}={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{6}}.\end{array}$

Vậy $S_{\mathrm{\Delta }EFC}={\displaystyle \frac{1}{2}}CE.EF={\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{a}{\sqrt[]{2}}}.{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{a^2}{4\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{12}}$

+) Chiều cao $DF$

$DF=\sqrt{D{C}^2-C{F}^2}=\sqrt{a^2-{\displaystyle \frac{2a^2}{3}}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}}$

Vậy $V_{CDEF}={\displaystyle \frac{1}{3}}DF.S_{CEF}$ $={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}}.{\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{12}}={\displaystyle \frac{a^3}{36}}$

Lời giải:

Gọi $h$ là độ dài đường vuông góc chung của $d$ và $d^{\prime }$, $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$. Qua $B,A,C$ dựng hình bình hành $BACF$. Qua $A,C,D$ dựng hình bình hành $ACDE$.

Khi đó $CFD.ABE$ là một hình lăng trụ tam giác. Ta có:

$$\begin{array}{l}{V}_{D.ABE}+V_{D.BACF}=V_{CFD.ABE}\\ V_{D.ABE}={\displaystyle \frac{1}{3}}{V}_{CFD.ABE}\Rightarrow V_{D.BACF}={\displaystyle \frac{2}{3}}{V}_{CFD.ABE}\\ V_{D.ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}{V}_{D.BACF}\Rightarrow V_{D.ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{2}{3}}{V}_{CFD.ABE}={\displaystyle \frac{1}{3}}{V}_{CFD.ABE}\end{array}$$

Kẻ $AH\mathrm{\perp }\left(CDF\right)$ ta có: $V_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}.V_{CFD.ABE}={\displaystyle \frac{1}{3}}.AH.S_{CDF}$

Ta có:

$\begin{array}{l}AB//CF\Rightarrow AB//\left(CDF\right)\supset CD\\ \Rightarrow d\left(d;d^{\prime }\right)=d\left(AB;CD\right)=d\left(AB;\left(CDF\right)\right)\end{array}$

$=d\left(A;\left(CDF\right)\right)=AH=h$

$AB//CF\Rightarrow \widehat{\left(d;d^{\prime }\right)}=\widehat{\left(AB;CD\right)}=\widehat{\left(CF;CD\right)}=\widehat{DCF}=\alpha$

$\Rightarrow S_{CDF}={\displaystyle \frac{1}{2}}.CD.CF.\sin \widehat{DCF}={\displaystyle \frac{1}{2}}ab\sin \alpha$

Vậy $V_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}.h.{\displaystyle \frac{1}{2}}ab\sin \alpha ={\displaystyle \frac{1}{6}}.h.ab.sin\alpha =const$. (đpcm)

1. Khái niệm về thể tích khối đa diện

Có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện ${\displaystyle H}$ một số dương ${\displaystyle V_{(H)}}$ thỏa mãn các tính chất sau:

a) Nếu ${\displaystyle H}$ là khối lập phương có cạnh bằng một thì ${\displaystyle V_{(H)}=1}$

b) Nếu hai khối đa diện ${\displaystyle (H_1)}$ và ${\displaystyle (H_2)}$ bằng nhau thì

${\displaystyle V_{(H_1)}}$ = ${\displaystyle V_{(H_2)}}$

c) Nếu khối đa diện ${\displaystyle H}$ được phân chia thành hai khối đa diện ${\displaystyle (H_1)}$ và ${\displaystyle (H_2)}$ thì

${\displaystyle V_{\left(H\right)}=V_{\left(H_1\right)}+V_{\left(H_2\right)}}$

Số dương ${\displaystyle V_{(H)}}$ nói trên được gọi là thể tích của khối đa diện ${\displaystyle H}$.

Khối lập phương có cạnh bằng một được gọi là khối lập phương đơn vị.

Nếu ${\displaystyle H}$ là khối lăng trụ ${\displaystyle ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}$ chẳng hạn thì thể tích của nó còn được kí hiệu là ${\displaystyle V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}$

2. Thể tích khối lăng trụ

Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng ${\displaystyle B}$ và chiều cao bằng ${\displaystyle h}$ là

${\displaystyle V=B.h}$

Đặc biệt thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích của ba kích thước của nó.

3. Thể tích khối chóp

Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng ${\displaystyle B}$ và chiều cao bằng ${\displaystyle h}$ là

${\displaystyle V=\frac{1}{3}Bh}$

Kiến thức bổ sung

4. Cho hình chóp ${\displaystyle S.ABC}$. Trên ba tia ${\displaystyle SA,SB,SC}$ lần lượt lấy ba điểm ${\displaystyle A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }}$.

Khi đó ${\displaystyle \frac{V_{S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}}{V_{S_{ABC}}}=\frac{S{A}^{\prime }}{SA}.\frac{S{B}^{\prime }}{SB}.\frac{S{C}^{\prime }}{SC}}$

5. Nếu ${\displaystyle H^{\prime }}$ là ảnh của ${\displaystyle H}$ qua một phép dời hình thì

${\displaystyle V_{(H^{\prime })}}$ = ${\displaystyle V_{(H)}}$

Nếu ${\displaystyle H^{\prime }}$ là ảnh của ${\displaystyle H}$ qua một phép vị tự tỉ số ${\displaystyle k}$ thì 

${\displaystyle V_{(H^{\prime })}}$= ${\displaystyle |k{|}^3.V_{(H)}}$.