Giải Toán 12 Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Phương pháp giải:

- Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng vuông góc với cả hai véc tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$

- Tính tích có hướng của hai véc tơ và chọn ra một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Lời giải:

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$ là: $\overrightarrow{n}(4,-2,-6)$

Phương pháp giải:

- Tính véc tơ tích có hướng của hai véc tơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{NP}$.

- Chọn một véc tơ cùng phương với véc tơ trên làm VTPT của mặt phẳng.

- Viết phương trình $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

Phương pháp giải:

Tìm hai VTPT của hai mặt phẳng rồi suy ra nhập xét.

Phương pháp giải:

- Chứng minh hai mặt phẳng song song.

- Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $d\left(\left(\alpha \right),\left(\beta \right)\right)=d\left(M,\left(\beta \right)\right)$ ở đó tọa điểm $M$ chọn trước thuộc $(\alpha )$.

- Công thức khoảng cách: $d\left(M_0,\left(P\right)\right)={\displaystyle \frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$ 

a) Đi qua điểm $M(1;-2;4)$ và nhận $\overrightarrow{n}=(2;3;5)$ làm vectơ pháp tuyến.

b) Đi qua điểm $A(0;-1;2)$ và song song với giá của các vectơ $\overrightarrow{u}(3;2;1)$ và $\overrightarrow{v}(-3;0;1)$.

c) Đi qua ba điểm $A(-3;0;0),B(0;-2;0)$ và  $C(0;0;-1)$.

Phương pháp giải:

a) Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(x_0;y_0;z_0)$ và có VTPT  $\overrightarrow{n}=\left(a;b;c\right)$ có dạng:  $a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0.$

b) Mặt phẳng $(P)$ song song với các vecto  $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\Rightarrow$ VTPT của $(P)$ là:  $\overrightarrow{n_P}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right].$

Sau đó áp dụng công thức như câu a để lập phương trình mặt phẳng.

c) Mặt phẳng $(P)$ đi qua $3$ điểm $A,B$ và $C$ có VTPT:  $\overrightarrow{n_P}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right].$

Khi đó áp dụng công thức như câu a để lập phương trình mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Gọi mặt phẳng $(P)$ là mặt phẳng cần tìm. Khi đó mặt phẳng $(P)$ đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ và vuông góc với $AB$ hay $(P)$ nhận  vecto  $\overrightarrow{AB}$ làm VTPT.

Sau đó ta áp dụng công thức dưới đây để lập phương trình:

Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(x_0;y_0;z_0)$ và có VTPT  $\overrightarrow{n}=\left(a;b;c\right)$ có dạng:  $a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0.$

Lời giải:

a)

Mặt phẳng $(Oxy)$ qua điểm $O(0;0;0)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{k}(0;0;1)$ nên:

$(Oxy):0.(x-0)+0.(y-0)+1.(z-0)=0$ hay $z=0$.

Tương tự:

$(Oyz)$: $x=0$

$(Ozx)$: $y=0$.

b)

Mặt phẳng $(P)$ qua điểm $M(2;6;-3)$ song song với mặt phẳng $(Oxy)$ nên nhận $\overrightarrow{k}(0;0;1)$ làm VTPT.

$(P):0\left(x-2\right)+0\left(y-6\right)+1\left(z+3\right)=0$ $\iff z+3=0$.

Tương tự mặt phẳng $(Q)$ qua $M$ và song song với mặt phẳng $(Oyz)$ có phương trình:

$(Q):1\left(x-2\right)+0\left(y-6\right)+0\left(z+3\right)=0$ $\iff x-2=0$.

Mặt phẳng qua $M$ song song với mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình:

$0\left(x-2\right)+1\left(y-6\right)+0\left(z+3\right)=0$ $\iff y-6=0$.

a) Chứa trục $Ox$ và điểm $P(4;-1;2)$;

b) Chứa trục $Oy$ và điểm $Q(1;4;-3)$;

c) Chứa trục $Oz$ và điểm $R(3;-4;7)$;

a) Hãy viết các phương trình mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua cạnh $AB$ và song song với cạnh $CD$.

Phương pháp giải:

+) Cho hai mặt phẳng: $\left(P\right)//\left(Q\right)$ thì $\overrightarrow{n_P}=\overrightarrow{n_Q}.$

+) Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(x_0;y_0;z_0)$ và có VTPT  $\overrightarrow{n}=\left(a;b;c\right)$ có dạng:  $a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0.$

Phương pháp giải:

+) Mặt phẳng $(\alpha )\mathrm{\perp }(\beta )$ thì: $\overrightarrow{n_{\alpha }}\mathrm{\perp }\overrightarrow{n_{\beta }}.$

+) Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua hai điểm $A,B$ thì: $\overrightarrow{n_{\alpha }}\mathrm{\perp }\overrightarrow{AB}.$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{\alpha }}=\left[\overrightarrow{n_{\beta }},\overrightarrow{AB}\right].$

+) Sử dụng công thức lập phương trình mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $M(x_0;y_0;z_0)$ và có VTPT  $\overrightarrow{n}=\left(a;b;c\right)$ có dạng:  $a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0.$

a) $2x+my+3z-5=0$ và $nx-8y-6z+2=0$;

b) $3x-5y+mz-3=0$ và $2x+ny-3z+1=0$;

a) $2x-y+2z-9=0$ ;

b) $12x-5z+5=0$ ;

c) $x=0$.

Phương pháp giải:

Cho điểm $M(x_0;y_0;z_0)$ và mặt phẳng $(P):ax+by+cz+d=0.$ Khi đó khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$ được tính bởi công thức: $d\left(M;\left(P\right)\right)={\displaystyle \frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}.$

Lời giải:

a)

$(P):2x-y+2z-9=0$

$d(A,(P))={\displaystyle \frac{|2.2-4+2.(-3)-9)}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}}$ $={\displaystyle \frac{15}{3}}=5$

b)

$(Q):12x-5z+5=0$

$d(A,(Q))={\displaystyle \frac{|12.2-5.(-3)+5)}{\sqrt{{12}^2+5^2}}}$ $={\displaystyle \frac{44}{13}}.$

c)

$(R):x=0$

$d\left(A,\left(R\right)\right)={\displaystyle \frac{\left|2\right|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}}=2$

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh bằng $1$

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ và $(B{C}^{\prime }D)$ song song với nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.

Phương pháp giải:

a) Chọn hệ trục tọa độ hợp lý sau đó suy ra tọa độ các điểm của hình lập phương.

+) Lập phương trình mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ đi qua ba điểm $A,B^{\prime },D^{\prime }$ có VTPT $\overrightarrow{n_1}$ và mặt phẳng $(B{C}^{\prime }D)$ đi qua ba điểm $B,C^{\prime },D$ có VTPT $\overrightarrow{n_2}.$

+) Chứng minh hai mặt phẳng này song song ta cần chứng minh $\overrightarrow{n_1}$ cùng phương $\overrightarrow{n_2}.$

b) Hai mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ và $(B{C}^{\prime }D)$  song song nên $d((A{B}^{\prime }{D}^{\prime }),(B{C}^{\prime }D))=d(A,(B{C}^{\prime }D)).$

+) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính.

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ có: $O\equiv A,B\in Ox;D\in Oy,A^{\prime }\in Oz.$

Khi đó: $A\left(0;0;0\right);B\left(1;0;0\right);C\left(1;1;0\right);D\left(0;1;0\right);$ $A^{\prime }\left(0;0;1\right);B^{\prime }\left(1;0;1\right);C^{\prime }\left(1;1;1\right);D^{\prime }\left(0;1;1\right).$

a) Ta có: $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\left(1;0;1\right);\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\left(0;1;1\right);$ $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\left(0;1;1\right);$ $\overrightarrow{BD}=\left(-1;1;0\right).$

Ta có: $\left[\overrightarrow{A{B}^{\prime }},\overrightarrow{A{D}^{\prime }}\right]$ $=\left(\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|\right)$ $=\left(-1;-1;1\right)=-\left(1;1;-1\right).$

Mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ đi qua $A$ và có VTPT $\overrightarrow{n_1}=(1;1;-1)$ $\Rightarrow$ Phương trình mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ là: $x+y-z=0.$

$\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\left(0;1;1\right),\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\left(1;0;1\right)$

$\Rightarrow \left[\overrightarrow{B{C}^{\prime }},\overrightarrow{D{C}^{\prime }}\right]=\left(1;1;-1\right)$

PT $\left(B{C}^{\prime }D\right):1\left(x-1\right)+1\left(y-0\right)-1\left(z-0\right)=0$ hay $x+y-z-1=0.$

Xét phương trình hai mặt phẳng ta có:

${\displaystyle \frac{1}{1}}={\displaystyle \frac{1}{1}}={\displaystyle \frac{-1}{-1}}\ne {\displaystyle \frac{0}{-1}}$ $\Rightarrow \left(A{B}^{\prime }{D}^{\prime }\right)//\left(B{C}^{\prime }D\right)\left(dpcm\right).$

Chú ý : Bài này có thể làm không cần phương pháp tọa độ như sau:

Xét hai mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ và $(B{C}^{\prime }D)$, ta có $BD//B^{\prime }{D}^{\prime }$ vì $B{B}^{\prime }{D}^{\prime }D$ là hình chữ nhật, $A{D}^{\prime }//B{C}^{\prime }$ vì $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình chữ nhật.

Do đó mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ có hai đường thẳng cắt nhau $B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $A{D}^{\prime }$ lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau $BD$ và $B{C}^{\prime }$ của mặt phẳng $(B{C}^{\prime }D)$. Vì vậy $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })//(B{C}^{\prime }D)$

b) Vì $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })//(B{C}^{\prime }D)$ nên:

$d((A{B}^{\prime }{D}^{\prime }),(B{C}^{\prime }D))=d(A,(B{C}^{\prime }D))$ $={\displaystyle \frac{\left|0+0-0-1\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{|-1|}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$