Giải Toán 12 Bài 1: Khái niệm về khối đa diện

Lời giải:

- Hình lăng trụ là hình gồm có hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song, các mặt bên là hình bình hành, các cạnh bên song song hoặc bằng nhau

- Hình chóp là một hình không gian gồm có một đa giác gọi là mặt đáy, các tam giác chung đỉnh gọi là mặt bên, đỉnh chung của các mặt bên đó gọi là đỉnh của hình chóp.

Lời giải:

- Các mặt của hình lăng trụ $ABCDE.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }{E}^{\prime }$ là:$AB{B}^{\prime }{A}^{\prime },BC{C}^{\prime }{B}^{\prime },CD{D}^{\prime }{C}^{\prime },DE{E}^{\prime }{D}^{\prime },EA{A}^{\prime }{E}^{\prime },ABCDE,A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }{E}^{\prime }.$

- Các mặt của hình chóp $S.ABCDE$ là: $SAB,SBC,SCD,SDE,SAE,ABCDE.$

Hình đa diện có tính chất: Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác

Nhưng hình 1.8c có cạnh AB là cạnh chung của 4 đa giác (không thỏa mãn tính chất trên).

Phép đối xứng qua mặt phẳng $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ biến lăng trụ $ABD.A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ thành $BCD.B^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$

$\Rightarrow$ Hai lăng trụ $ABD.A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ và $BCD.B^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng nhau.

Giả sử đa diện $(H)$ có $m$ mặt. Vì mỗi mặt của $(H)$ có 3 cạnh, nên $m$ mặt có $3m$ cạnh. Nhưng mỗi cạnh của $(H)$ là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh của $(H)$ bằng $c={\displaystyle \frac{3m}{2}}$. Do $c$ là số nguyên dương nên $m$ phải là số chẵn.

Ví dụ: Tứ diện có các mặt đều là hình tam giác và số mặt của tứ diện bằng $4$ là một số chẵn.

Lời giải:

Giả sử đa diện $(H)$ có các đỉnh là $A_1,\dots A_d$, gọi $m_1,\dots m_d$ lần lượt là số các mặt của $(H)$ nhận chúng là đỉnh chung, ở đó $m_1,\dots m_d$ là những số lẻ.

Như vậy mỗi đỉnh $A_k$ có $m_k$ cạnh đi qua.

Ta có: đỉnh $A_1$ có $m_1$ cạnh đi qua.

đỉnh $A_2$ có $m_2$ cạnh đi qua.

...

đỉnh $A_d$ có $m_d$ cạnh đi qua.

Do đó số các cạnh (có thể trùng nhau) của đa diện là $m_1+m_2+...+m_d$.

Tuy nhiên, do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh ở trên được đếm hai lần.

Vậy số cạnh thực tế của $(H)$ bằng

$c={\displaystyle \frac{1}{2}}(m_1+m_2+...+m_d)$      

Vì $c$ là số nguyên, $m_1,\dots m_d$ là những số lẻ nên $d$ phải là số chẵn.

Ví dụ : Hình chóp ngũ giác.

Đỉnh $S$ là đỉnh chung của 5 mặt, tất cả các đỉnh còn lại là đỉnh chung của 3 mặt, hình chóp ngũ giác có 6 đỉnh.

Chia khối lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ thành năm khối tứ diện như sau: $A{B}^{\prime }C{D}^{\prime },A^{\prime }A{B}^{\prime }{D}^{\prime },BAC{B}^{\prime },C^{\prime }{B}^{\prime }C{D}^{\prime },DAC{D}^{\prime }$

Chia lăng trụ $ABD.A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ thành ba tứ diện $DAB{D}^{\prime },A^{\prime }AB{D}^{\prime },A^{\prime }{B}^{\prime }B{D}^{\prime }$.

Phép đối xứng qua $(AB{D}^{\prime })$ biến $DAB{D}^{\prime }$ thành $A^{\prime }AB{D}^{\prime }$,

Phép đối xứng qua $(B{A}^{\prime }{D}^{\prime })$ biến $A^{\prime }AB{D}^{\prime }$ thành $A^{\prime }{B}^{\prime }B{D}^{\prime }$ nên ba tứ diện $DAB{A}^{\prime },A^{\prime }AB{D}^{\prime },A^{\prime }{B}^{\prime }B{D}^{\prime }$ bằng nhau

Làm tương tự đối với lăng trụ $BCD.B^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ ta sẽ chia được hình lập phương thành sáu tứ diện bằng nhau.

Lý thuyết Bài 1: Khái niệm về khối đa diện

1. Khái niệm về hình đa diện

Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) $(H)$ là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện:

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Mỗi đa giác như thế được gọi là một mặt của hình đa diện $(H)$. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện $(H)$.

2. Khái niệm về khối đa diện

Phần không gian được giới hạn bới một hình đa diện $(H)$ được gọi là khối đa diện $(H)$.

Mỗi đa diện $(H)$ chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau: miền trong và miền ngoài của $(H)$. Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy.
Các điểm thuộc miền trong là các điểm trong, các điểm thuộc miền ngoài là các điểm ngoài của $(H)$.
Khối đa diện $(H)$ là hợp của hình đa diện $(H)$ và miền trong của nó.

3. Phép dời hình và sự bằng nhau giữa các khối đa diện

a) Trong không gian quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm $M$ với điểm $M^{\prime }$ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.

b) Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.

c) Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.

d) Phép dời hình biến một đa diện thành một đa diện, biến các đỉnh, cạnh, mặt của đa diện này thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của đa diện kia.

e) Một số ví dụ về phép dời hình trong không gian :

- Phép dời hình tịnh tiến theo vector $\overrightarrow{v}$, là phép biến hình biến điểm $M$ thành $M^{\prime }$ sao cho $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\overrightarrow{v}$.

- Phép đối xứng qua mặt phẳng $(P)$, là phép biến hình biến mọi điểm thuộc $(P)$ thành chính nó, biến điểm $M$ không thuộc $(P)$ thành điểm $M^{\prime }$ sao cho $(P)$ là mặt phẳng trung trực của $M{M}^{\prime }$.
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng $(P)$ biến hình $(H)$ thành chính nó thì $(P)$ được gọi là mặt phẳng đối xứng của $(H)$.

- Phép đối xứng tâm $O$, là phép biến hình biến điểm $O$ thành chính nó, biến điếm $M$ khác $O$ thành điểm $M^{\prime }$ sao cho $O$ là trung điểm của $M{M}^{\prime }$.

Nếu phép đối xứng tâm $O$ biến hình $(H)$ thành chính nó thì $O$ được gọi là tâm đối xứng của $(H)$.

- Phép đối xứng qua đường thẳng $d$, là phép biến hình mọi điểm thuộc $d$ thành chính nó, biến điểm $M$ không thuộc $d$ thành điểm $M^{\prime }$ sao cho $d$ là trung trực của $M{M}^{\prime }$. Phép đối xứng qua đường thẳng $d$ còn được gọi là phép đối xứng qua trục $d$.
Nếu phép đối xứng qua đường thẳng $d$ biến hình $(H)$ thành chính nó thì $d$ được gọi là trục đối xứng của $(H)$.

g) Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

h) Hai tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.

4. Lắp ghép khối đa diện

Nếu khối đa diện $(H)$ là hợp của hai khối đa diện $(H_1),(H_2)$, sao cho $(H_1)$ và $(H_2)$ không có điểm trong chung thì ta nói có thể chia được khối đa diện $(H)$ thành hai khối đa diện $(H_1)$ và $(H_2)$, hay có thể lắp ghép được hai khối đa diện $(H_1)$ và $(H_2)$ với nhau để được khối đa diện $(H)$.

Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia được thành các khối tứ diện.

5. Kiến thức bổ sung

Phép vị tự trong không gian và sự đồng dạng giữa các khối đa diện.

a) Phép vị tự tâm $O$, tỉ số $k$ $(k\ne 0)$ là phép biến hình biến điểm $M$ thành điểm $M^{\prime }$ sao cho $\overrightarrow{O{M}^{\prime }}=k\overrightarrow{OM}$

b) Hình $(H)$ được gọi là đồng dạng với hình $(H^{\prime })$ nếu có một phép vị tự biến $(H)$ thành $(H_1)$ và $(H_1)$ bằng $(H^{\prime })$.

Sơ đồ tư duy về Khối đa diện