Giải Toán 12 Ôn tập chương IV - Số phức

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Ôn tập chương IV - Số phức chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Ôn tập chương IV - Số phức lớp 12.

Giải bài tập Toán lớp 12 Ôn tập chương IV - Số phức

Câu hỏi và bài tập (trang 143, 144 SGK Giải tích 12)

Câu 1 trang 143 SGK Giải tích 12: Thế nào là phần thực, phần ảo, modun của số phức?

Viết công thức tính môdun của một số phức theo phần thực và phần ảo của nó.

Lời giải:

- Mỗi biểu thức dạng a+bi, trong đó a,bR,i2=1 được gọi là một số phức.

- Với số phức z=a+bi, ta gọi a là phần thực, số b gọi là phần ảo của z.

- Ta có z=a+bi thì môdun của z là |z|=|a+bi|=a2+b2.

Câu 2 trang 143 SGK Giải tích 12: Tìm mối liên hệ giữa khái niệm môdun và khái niệm giá trị tuyệt đối của một số thực.

Phương pháp giải:

Môđun của mọi số phức z=a+bi là |z|=a2+b2

Lời giải:

Nếu số phức z là một số thực thì phần ảo của nó bằng 0, hay z=a+0i

Khi đó mô đun của z là:

|z|=a2+02=a2=|a|=|z| 

Vậy nếu z là một số thực, thì môdun của z chính là giá trị tuyệt đối của z.

Câu 3 trang 143 SGK Giải tích 12: Nêu định nghĩa số phức liên hợp của số phức z. Số phức nào bằng số phức liên hợp của nó?

Phương pháp giải:

z=a+biz¯=abiz=z¯{a=ab=b

Lời giải:

*Cho  số phức z=a+bi.  (a,bR)

Ta gọi số phức abi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là z¯.

Vậy ta có z=a+bi thì z¯=abi

z=z¯{a=ab=b{aRb=0 z=aR

Vậy khi đó z là một số thực.

Câu 4 trang 143 SGK Giải tích 12: Số phức thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong các hình 71 a), b), c) ?

Phương pháp giải:

Gọi số phức có dạng z=x+yi, (x,yR), khi đó số phức z được biểu diễn  bởi điểm M(x,y) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Tìm miền giá trị của x,y ở từng ý và nhận xét về số phức z.

Lời giải:

Giả sử z=x+yi (x,yR), khi đó số phức z được biểu diễn  bởi điểm M(x,y) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

a) Tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc phần gạch chéo là {M(x;y)|x1}.

Vậy số phức thỏa mãn là z=x+yi với x1.

b) Tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc phần gạch chéo là {M(x;y)|1y2}

Vậy số phức thỏa mãn là z=x+yi với 1y2.

c) Tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc phần gạch chéo là {M(x;y)|x2+y2=4,1x1}.

Vậy số phức cần tìm có phần thực thuộc đoạn [1,1] và môdun không vượt quá 2.

Câu 5 trang 143 SGK Giải tích 12: Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:

a) phần thực của z bằng 1

b) phần ảo của z bằng 2

c) Phần thực của z thuộc đoạn [1,2], phần ảo của z thuộc đoạn [0,1]

d) |z|2

Phương pháp giải:

Điểm M(x;y) trên mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm biểu diễn cho số phức z=x+yi.

Tìm điều kiện của x;y và biểu diễn tập hợp điểm M trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

a)

Ta có x=1,y tùy ý nên tập hợp các điểm biểu diễn z là đường thẳng x=1.

b)

Ta có y=2,x tùy ý nên tập hợp các điểm biểu diễn z là đường thẳng y=2.

c)

Ta có x[1;2], tức là 1x2, tập hợp các điểm M nằm bên trái đường thẳng x=2 và nằm bên phải đường thẳng x=1 và y[0,1], tức là 0y1 tập hợp các điểm M nằm bên dưới đường thẳng y=1 và nằm bên trên đường thẳng y=0.

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn z là hình chữ được tô màu.

d)

Ta có:

 |z|2x2+y22x2+y24

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn z là hình tròn tâm O (gốc tọa độ) bán kính bằng 2 (kể cả các điểm trên đường tròn).

Câu 6 trang 143 SGK Giải tích 12: Tìm các số thực x,y sao cho:

a) 3x+yi=2y+1+(2x)i

b) 2x+y1=(x2y5)i

Phương pháp giải:

a+bi=c+di{a=cb=d

Lời giải:

a)

3x+yi=(2y+1)+(2x)i{3x=2y+1y=2x{x=1y=1

Vậy x=1,y=1.

b)

2x+y1=(x+2y5)i{2x+y1=0x+2y5=0{x=1y=3

Vậy x=1,y=3

Câu 7 trang 143 SGK Giải tích 12: Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo của z không vượt quá môdun của nó.

Phương pháp giải:

Gọi z=a+bi|z|=a2+b2, so sánh a với |z| và b với |z|

Lời giải:

Giả sử z=a+bi

Khi đó: |z|=a2+b2

Từ đó suy ra:

a2+b2a2=|a|a|z|aa2+b2b2=|b|b|z|b

Câu 8 trang 143 SGK Giải tích 12: Thực hiện các phép tính sau:

a) (3+2i)[(2i)+(32i)]

b) (43i)+1+i2+i

c) (1+i)2(1i)2

d) 3+i2+i43i2i 

Phương pháp giải:

Thực hiện các phép tính theo đúng thứ tự nhân, chia trước, công trừ sau, trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau.

Lời giải:

a)

(3+2i)[(2i)+(32i)]

=(3+2i)(53i) =15+10i9i6i2

=15+i+6=21+i

b)

(43i)+1+i2+i =(43i)+(1+i)(2i)5

=(43i)+2+2iii25 =(43i)+3+i5

=(43i)+(35+15i) =(4+35)(315)i =235145i

c)

(1+i)2(1i)2 =(1+2i+i2)(12i+i2) =2i(2i)=4i

d)

3+i2+i43i2i=(3+i)(2i)5(43i)(2+i)5=7i5112i5=45+15i

Câu 9 trang 144 SGK Giải tích 12: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) (3+4i)z+(13i)=2+5i

b) (4+7i)z(52i)=6iz

Phương pháp giải:

+ Đưa phương trình về dạng az+b=0

+ Giải phương trình dạng az+b=0z=ba

Lời giải:

a)

(3+4i)z+(13i)=2+5i(3+4i)z=2+5i(13i)(3+4i)z=1+8iz=1+8i3+4iz=(1+8i)(34i)32+42z=35+20i25z=75+45i

b)

(4+7i)z(52i)=6iz(4+7i)z6iz=52i(4+i)z=52iz=52i4+iz=(52i)(4i)42+12z=1813i17=18171317i

Câu 10 trang 144 SGK Giải tích 12: Giải các phương trình sau trên tập số phức

a) 3z2+7z+8=0

b) z48=0

c) z41=0

Phương pháp giải:

a) Tính Δ=b24ac. Gọi δ là 1 căn bậc hai của Δ, khi đó phương trình có 2 nghiệm: [z1=b+δ2az2=bδ2a

b, c) Đặt z2=t, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai và giải phương trình bậc hai đó, khi đó nghiệm z là căn bậc hai của các nghiệm t tìm được ở trên 

Lời giải:

a)

3z2+7z+8=0 có Δ=494.3.8=47

Căn bậc hai của Δ là ±i47

Vậy phương trình có hai nghiệm là: z1,2=7±i476

b)

z48=0

Đặt t=z2, ta được phương trình : t28=0t=±8

t=8z2=8z=±8=±84t=8z2=8z=±i8=±i84

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: z1,2=±84,z3,4=±i84

c)

z41=0

Đặt t=z2, ta được phương trình : t21=0t=±1.

t=1z2=1z=±1t=1z2=1z=±i

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là ±1 và ±i

Câu 11 trang 144 SGK Giải tích 12: Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.

Phương pháp giải:

Nếu z1+z2=S,z1z2=P thì z1,z2 là nghiệm của phương trình z2Sz+P=0.

Lời giải:

Giả sử hai số cần tìm là z1 và z2.

Ta có: z1+z2=3z1.z2=4

Rõ ràng, z1,z2 là các nghiệm của phương trình: z23z+4=0

Phương trình có Δ=324.4=916=7.

Căn bậc hai của Δ là ±i7.

Vậy hai số phức cần tìm là: z1=3+i72,z2=3i72

Câu 12 trang 144 SGK Giải tích 12: Cho hai số phức z1,z2. Biết rằng z1+z2 và z1.z2 là hai số thực. Chứng minh rằng z1,z2 là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.

Phương pháp giải:

Đặt z1+z2=az1.z2=b;a,bR. Khi đó z1,z2 là nghiệm của phương trình z2az+b=0.

Lời giải:

Đặt z1+z2=az1.z2=b;a,bR

Khi đó, z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình  

(zz1)(zz2)=0z2z.z2z.z1+z1z2=0z2(z1+z2)z+z1z2=0z2az+b=0

Đó là phương trình bậc hai đối với hệ số thực. Suy ra điều phải chứng minh.

Bài tập trắc nghiệm (trang 144 SGK Giải tích 12)
Câu 1 trang 144 SGK Giải tích 12: Số nào trong các số sau là số thực?

A. (3+2i)(32i)

B. (2+i5)+(2i5)

C. (1+i3)2

D. 2+i2i

Phương pháp giải:

Số phức z là số thực nếu phần ảo của nó bằng 0.

Lời giải:

Ta tìm phần ảo của các số đã cho:

(A). (3+2i)(32i) =3+2i3+2i=4i

là số thuần ảo (loại A)

(B). (2+i5)+(2i5) =2+i5+2i5=4 là số thực.

(C). (1+i3)2=1+23i3 =2+23i không là số thực.

(D). 2+i2i=(2+i)2(2i)(2+i) =2+22i12+1=13+22i3 không là số thực.

Chọn đáp án (B)

Câu 2 trang 144 SGK Giải tích 12: Số nào trong các số sau là số thuần ảo?

A. (2+3i)+(23i)

B. (2+3i).(23i)

C. (2+2i)2

D. 2+3i23i

Phương pháp giải:

Số thuần ảo là số phức có phần thực bằng 0.

Lời giải:

Ta tìm phần thực của các số đã cho:

(A) (2+3i)+(23i) =2+3i+23i=22 là số thực.

(B) (2+3i)(23i) =(2)2(3i)2=2+9=11 là số thực.

(C) (2+2i)2=4+8i4=8i là số thuần ảo.

(D) 2+3i23i=(2+3i)2(23i)(2+3i) =4+12i94+9=513+1213i không là số thuần ảo.

Chọn đáp án (C)

Câu 3 trang 144 SGK Giải tích 12: Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng?

A. i1997=1        B. i2345=i

C. i2005=1           D. i2006=i

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả đã chứng minh ở bài 4 - SGK trang 136

i4n=i0=1i4n+1=i1=ii4n+2=i2=1i4n+3=i3=i

Lời giải:

Ta có:

(A).i1977=i1976+1=i494.4+1=i1=i(B).i2345=i2344+1=i586.4+1=i1=i(C).i2005=i2004+1=i501.4+1=i1=i(D).i2006=i2004+2=i501.4+2=i2=1

Chọn đáp án (B)

Câu 4 trang 144 SGK Giải tích 12: Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng?

A. (1+i)8=16

B. (1+i)8=16i

C. (1+i)8=16

D. (1+i)8=16i

Phương pháp giải:

Tính (1+i)2, sau đó tính (1+i)4, sau đó (1+i)8.

Lời giải:

(1+i)2=12+2i+i2=2i(1+i)4=((1+i)2)2=(2i)2=4(1+i)8=((1+i)4)2=(4)2=16

Chọn đáp án C

Câu 5 trang 144 SGK Giải tích 12: Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nó, trong các kết luận sau, kết luận nào là đúng?

A. zR                             B. |z|=1

C. z là một số thuần ảo       D. |z|=1

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức z.z¯=|z|2

Lời giải:

Ta có:

1z=z¯z.z¯=1 |z|2=1|z|=1

Chọn đáp án (B)

Câu 6 trang 144 SGK Giải tích 12: Trong các kết luận sau, kết luận nào là sai?

A. Môdun của số phức z là một số thực

B. Môdun của số phức z là một số phức

C. Môdun của số phức z là một số thực dương

D. Môdun của số phức z là một số thực không âm.

Phương pháp giải:

z=a+bi|z|=a2+b2

Lời giải:

z=a+bi|z|=a2+b20.

Do đó C sai vì mô đun của số phức z vẫn có thể bằng 0.

Cụ thể khi z=0 thì |z|=0.

Chọn đáp án (C)

Các dạng toán về điểm biểu diễn số phức

1. Kiến thức cần nhớ

Điểm M(a;b) biểu diễn số phức z=a+bi.

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

Cách 1: Tính số phức z dựa vào các phép đổi thông thường.

Cách 2:

- Bước 1: Gọi số phức z=x+yi(x,yR) có điểm biểu diễn là M(x;y).

- Bước 2: Thay z=x+yi và điều kiện đề bài tìm x,yM.

Ví dụ: Cho số phức z thỏa mãn w+2z=i biết w=2i. Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức z.

Giải:

Gọi z=a+bi(a,bR) biểu diễn số phức z, ta có:

2i+2(a+bi)=i(2+2a)+(2b2)=0{2+2a=02b2=0{a=1b=1

Vậy M(1;1).

Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức.

Phương pháp:

- Bước 1: Gọi số phức z=x+yi(x,yR) có điểm biểu diễn là M(x;y).

- Bước 2: Thay z=x+yi vào điều kiện đã cho dẫn đến phương trình liên hệ giữa x,y.

- Bước 3: Kết luận:

+) Phương trình đường thẳng: Ax+By+C=0

+) Phương trình đường tròn: x2+y22ax2by+c=0

+) Phương trình parabol: y=ax2+bx+c hoặc x=ay2+by+c

+) Phương trình elip: x2a2+y2b2=1

Ví dụ: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:|z(34i)|=2.

A. Đường tròn tâm I(3,4) và bán kính R=2.

B. Đường tròn tâm I(3,4) và bán kính R=2.

C. Đường tròn tâm I(3,4) và bán kính R=1.

D. Đường tròn tâm I(3,4) và bán kính R=1.

Giải:

Giả sử ta có số phức z=a+bi .

Thay vào |z(34i)|=2 có:

|a+bi(34i)|=2|(a3)+(b+4)i|=2

(a3)2+(b+4)2=2(a3)2+(b+4)2=4.

Chọn đáp án A

Các dạng toán về tìm min, max liên quan đến số phức

1. Kiến thức cần nhớ

- Mô đun của số phức z=a+bi là |z|=a2+b20

- Bất đẳng thức Cô-si: x+y2xy với x,y>0

- Bất đẳng thức Bunhiacopxki: (a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2

- Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: ||z1||z2|||z1±z2||z1|+|z2|

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất.

Phương pháp:

- Bước 1: Gọi số phức z=x+yi(x,yR).

- Bước 2: Thay z và biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của x,y.

- Bước 3: Đánh giá biểu thức có được để tìm max, min, từ đó suy ra x,yz.

Ví dụ: Cho z1;z2 thỏa mãn |z1z2|=1;|z1+z2|=3. Tính maxT=|z1|+|z2|.

A. 8

B. 10

C. 4

D. 10

Giải

Đặt z1=x1+y1i;z2=x2+y2i. (x1,y1,x2,y2R). Điều kiện đã cho trở thành

+) |z1z2|=1|x1+y1ix2y2i|=1(x1x2)2+(y1y2)2=1 

x12+x22+y12+y222x1x22y1y2=1  (1)

+) |z1+z2|=3|x1+y1i+x2+y2i|=3

x12+x22+y12+y22+2x1x2+2y1y2=9  (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được x12+x22+y12+y22=5

+) T=|z1|+|z2|=x12+y12+x22+y22

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

T=1.x12+y12+1.x22+y22(1+1).(x12+x22+y12+y22) 

=2.5=10 maxT=10.

Đáp án D 

Lưu ý: Có thể sử dụng phương pháp hình học để giải các bài tập dạng này. 

Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Có 4 tập hợp điểm thường gặp
+) Đường thẳng
+) Đường tròn
+) Đường elip
+) Parabol
Bước 2: Vẽ tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Từ đó tìm max, min của mô đun

Số phức z=x+yi(x,yR)  có điểm biểu diễn là M(x,y). Mô đun của số phức z là độ dài đoạn thẳng OM với O là gốc tọa độ.

Ví dụ: Cho số phức z=x+yi thỏa mãn |z24i|=|z2i| đồng thời có mô đun nhỏ nhất. Tính N=x2+y2.

A. N=8

B. N=10

C. N=16              

D. N=26

Giải

Gọi M(x,y) là điểm biểu diễn của số phức z=x+yi

+) |z24i|=|z2i|(x2)2+(y4)2=x2+(y2)24x+48y+16=4y+4

4x+4y=16x+y4=0

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của z là một đường thẳng x+y4=0

+) N=x2+y2=|z|2

Nmin|z|minOMmin OMd:x+y4=0

M(2,2)  N=22+22=8

Đáp án A.

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

- Sử dụng các bất đẳng thức Cô si, Bunhiacopxki và bất đẳng thức tam giác.

Ví dụ: Cho z thỏa mãn |z24i|=5. Tìm max|z|.

A. 35

B. 5

C. 5                                     

D. 13

Giải

Dấu hiệu: Đề bài yêu cầu tính max của một mô đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đôi.

Ta có:|z||24i||z24i||z|205|z|20+5=35

 max|z|=35

Đáp án A.