Giải Toán 12 Ôn tập chương IV - Số phức

75 lượt xem

Bài trước

Bài sau

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Ôn tập chương IV - Số phức chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Ôn tập chương IV - Số phức lớp 12.

Giải bài tập Toán lớp 12 Ôn tập chương IV - Số phức

Câu hỏi và bài tập (trang 143, 144 SGK Giải tích 12)

Câu 1 trang 143 SGK Giải tích 12: Thế nào là phần thực, phần ảo, modun của số phức?

Viết công thức tính môdun của một số phức theo phần thực và phần ảo của nó.

Lời giải:

- Mỗi biểu thức dạng $a + b i$ , trong đó $a, b \in R, i^{2} = - 1$ được gọi là một số phức.

- Với số phức $z = a + b i$ , ta gọi $a$ là phần thực, số $b$ gọi là phần ảo của $z$ .

- Ta có $z = a + b i$ thì môdun của $z$ là $| z | = | a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Câu 2 trang 143 SGK Giải tích 12: Tìm mối liên hệ giữa khái niệm môdun và khái niệm giá trị tuyệt đối của một số thực.

Phương pháp giải:

Môđun của mọi số phức $z = a + b i$ là $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Lời giải:

Nếu số phức $z$ là một số thực thì phần ảo của nó bằng 0, hay $z = a + 0 i$

Khi đó mô đun của $z$ là:

$| z | = \sqrt{a^{2} + 0^{2}} = \sqrt{a^{2}} = | a | = | z |$

Vậy nếu $z$ là một số thực, thì môdun của $z$ chính là giá trị tuyệt đối của $z$ .

Câu 3 trang 143 SGK Giải tích 12: Nêu định nghĩa số phức liên hợp của số phức

z

. Số phức nào bằng số phức liên hợp của nó?

Phương pháp giải:

$\begin{array}{l} z = a + b i \Rightarrow \bar{z} = a - b i \\ z = \bar{z} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = a \\ b = - b \end{cases} \end{array}$

Lời giải:

*Cho số phức $z = a + b i$ . ( $a, b \in R$ )

Ta gọi số phức $a - b i$ là số phức liên hợp của $z$ và kí hiệu là $\bar{z}$ .

Vậy ta có $z = a + b i$ thì $\bar{z} = a - b i$

$z = \bar{z} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = a \\ b = - b \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a \in R \\ b = 0 \end{cases}$ $\Rightarrow z = a \in R$

Vậy khi đó $z$ là một số thực.

Câu 4 trang 143 SGK Giải tích 12: Số phức thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong các hình 71 a), b), c) ?

Phương pháp giải:

Gọi số phức có dạng $z = x + y i$ , ( $x, y \in R$ ), khi đó số phức $z$ được biểu diễn bởi điểm $M (x, y)$ trên mặt phẳng tọa độ $O x y$ .

Tìm miền giá trị của $x, y$ ở từng ý và nhận xét về số phức $z$ .

Lời giải:

Giả sử $z = x + y i$ ( $x, y \in R$ ), khi đó số phức $z$ được biểu diễn bởi điểm $M (x, y)$ trên mặt phẳng tọa độ $O x y$ .

a) Tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức $z$ thuộc phần gạch chéo là ${M (x; y) | x \geq 1}$ .

Vậy số phức thỏa mãn là $z = x + y i$ với $x \geq 1$ .

b) Tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức $z$ thuộc phần gạch chéo là ${M (x; y) | - 1 \leq y \leq 2}$

Vậy số phức thỏa mãn là $z = x + y i$ với $- 1 \leq y \leq 2$ .

c) Tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức $z$ thuộc phần gạch chéo là ${M (x; y) | x^{2} + y^{2} = 4, - 1 \leq x \leq 1}$ .

Vậy số phức cần tìm có phần thực thuộc đoạn $[- 1, 1]$ và môdun không vượt quá $2$ .

Câu 5 trang 143 SGK Giải tích 12: Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức

z

thỏa mãn điều kiện:

a) phần thực của $z$ bằng $1$

b) phần ảo của $z$ bằng $- 2$

c) Phần thực của $z$ thuộc đoạn $[- 1, 2]$ , phần ảo của $z$ thuộc đoạn $[0, 1]$

d) $| z | \leq 2$

Phương pháp giải:

Điểm $M (x; y)$ trên mặt phẳng tọa độ $O x y$ là điểm biểu diễn cho số phức $z = x + y i$ .

Tìm điều kiện của $x; y$ và biểu diễn tập hợp điểm M trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

Ta có $x = 1, y$ tùy ý nên tập hợp các điểm biểu diễn $z$ là đường thẳng $x = 1$ .

Ta có $y = - 2, x$ tùy ý nên tập hợp các điểm biểu diễn $z$ là đường thẳng $y = - 2$ .

Ta có $x \in [- 1; 2]$ , tức là $- 1 \leq x \leq 2$ , tập hợp các điểm M nằm bên trái đường thẳng $x = 2$ và nằm bên phải đường thẳng $x = - 1$ và $y \in [0, 1]$ , tức là $0 \leq y \leq 1$ tập hợp các điểm M nằm bên dưới đường thẳng $y = 1$ và nằm bên trên đường thẳng $y = 0$ .

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn $z$ là hình chữ được tô màu.

Ta có:

$| z | \leq 2 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq 2 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \leq 4$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn $z$ là hình tròn tâm $O$ (gốc tọa độ) bán kính bằng $2$ (kể cả các điểm trên đường tròn).

Câu 6 trang 143 SGK Giải tích 12: Tìm các số thực

x, y

sao cho:

a) $3 x + y i = 2 y + 1 + (2 - x) i$

b) $2 x + y - 1 = (x - 2 y - 5) i$

Phương pháp giải:

$a + b i = c + d i \Leftrightarrow {\begin{cases} a = c \\ b = d \end{cases}$

Lời giải:

$\begin{aligned} 3 x + y i = (2 y + 1) + (2 - x) i \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 3 x = 2 y + 1 \\ y = 2 - x \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \end{matrix} \end{aligned}$

Vậy $x = 1, y = 1$ .

$\begin{aligned} 2 x + y - 1 = (x + 2 y - 5) i \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 2 x + y - 1 = 0 \\ x + 2 y - 5 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = - 1 \\ y = 3 \end{matrix} \end{aligned}$

Vậy $x = - 1, y = 3$

Câu 7 trang 143 SGK Giải tích 12: Chứng tỏ rằng với mọi số phức

z

, ta luôn có phần thực và phần ảo của

z

không vượt quá môdun của nó.

Phương pháp giải:

Gọi $z = a + b i \Rightarrow | z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , so sánh $a$ với $| z |$ và $b$ với $| z |$

Lời giải:

Giả sử $z = a + b i$

Khi đó: $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Từ đó suy ra:

$\begin{array}{l} \sqrt{a^{2} + b^{2}} \geq \sqrt{a^{2}} = | a | \geq a \Rightarrow | z | \geq a \\ \sqrt{a^{2} + b^{2}} \geq \sqrt{b^{2}} = | b | \geq b \Rightarrow | z | \geq b \end{array}$

Câu 8 trang 143 SGK Giải tích 12: Thực hiện các phép tính sau:

a) $(3 + 2 i) [(2 - i) + (3 - 2 i)]$

b) $(4 - 3 i) + \frac{1 + i}{2 + i}$

c) $(1 + i)^{2} - (1 - i)^{2}$

d) $\frac{3 + i}{2 + i} - \frac{4 - 3 i}{2 - i}$

Phương pháp giải:

Thực hiện các phép tính theo đúng thứ tự nhân, chia trước, công trừ sau, trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau.

Lời giải:

$(3 + 2 i) [(2 - i) + (3 - 2 i)]$

$= (3 + 2 i) (5 - 3 i)$ $= 15 + 10 i - 9 i - 6 i^{2}$

$= 15 + i + 6 = 21 + i$

$(4 - 3 i) + \frac{1 + i}{2 + i}$ $= (4 - 3 i) + \frac{(1 + i) (2 - i)}{5}$

$= (4 - 3 i) + \frac{2 + 2 i - i - i^{2}}{5}$ $= (4 - 3 i) + \frac{3 + i}{5}$

$= (4 - 3 i) + (\frac{3}{5} + \frac{1}{5} i)$ $= (4 + \frac{3}{5}) - (3 - \frac{1}{5}) i$ $= \frac{23}{5} - \frac{14}{5} i$

$(1 + i)^{2} - (1 - i)^{2}$ $= (1 + 2 i + i^{2}) - (1 - 2 i + i^{2})$ $= 2 i - (- 2 i) = 4 i$

$\frac{3 + i}{2 + i} - \frac{4 - 3 i}{2 - i} = \frac{(3 + i) (2 - i)}{5} - \frac{(4 - 3 i) (2 + i)}{5} = \frac{7 - i}{5} - \frac{11 - 2 i}{5} = \frac{- 4}{5} + \frac{1}{5} i$

Câu 9 trang 144 SGK Giải tích 12: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) $(3 + 4 i) z + (1 - 3 i) = 2 + 5 i$

b) $(4 + 7 i) z - (5 - 2 i) = 6 i z$

Phương pháp giải:

+ Đưa phương trình về dạng $a z + b = 0$

+ Giải phương trình dạng $a z + b = 0 \Leftrightarrow z = - \frac{b}{a}$

Lời giải:

$\begin{array}{l} (3 + 4 i) z + (1 - 3 i) = 2 + 5 i \\ \Leftrightarrow (3 + 4 i) z = 2 + 5 i - (1 - 3 i) \\ \Leftrightarrow (3 + 4 i) z = 1 + 8 i \Leftrightarrow z = \frac{1 + 8 i}{3 + 4 i} \\ \Leftrightarrow z = \frac{(1 + 8 i) (3 - 4 i)}{3^{2} + 4^{2}} \\ \Leftrightarrow z = \frac{35 + 20 i}{25} \Leftrightarrow z = \frac{7}{5} + \frac{4}{5} i \end{array}$

$\begin{array}{l} (4 + 7 i) z - (5 - 2 i) = 6 i z \\ \Leftrightarrow (4 + 7 i) z - 6 i z = 5 - 2 i \\ \Leftrightarrow (4 + i) z = 5 - 2 i \Leftrightarrow z = \frac{5 - 2 i}{4 + i} \\ \Leftrightarrow z = \frac{(5 - 2 i) (4 - i)}{4^{2} + 1^{2}} \\ \Leftrightarrow z = \frac{18 - 13 i}{17} = \frac{18}{17} - \frac{13}{17} i \end{array}$

Câu 10 trang 144 SGK Giải tích 12: Giải các phương trình sau trên tập số phức

a) $3 z^{2} + 7 z + 8 = 0$

b) $z^{4} - 8 = 0$

c) $z^{4} - 1 = 0$

Phương pháp giải:

a) Tính $Δ = b^{2} - 4 a c$ . Gọi $δ$ là 1 căn bậc hai của $Δ$ , khi đó phương trình có 2 nghiệm: $[\begin{array}{l} z_{1} = \frac{- b + δ}{2 a} \\ z_{2} = \frac{- b - δ}{2 a} \end{array}$

b, c) Đặt $z^{2} = t$ , đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai và giải phương trình bậc hai đó, khi đó nghiệm $z$ là căn bậc hai của các nghiệm $t$ tìm được ở trên

Lời giải:

$3 z^{2} + 7 z + 8 = 0$ có $Δ = 49 - 4.3.8 = - 47$

Căn bậc hai của $Δ$ là $\pm i \sqrt{47}$

Vậy phương trình có hai nghiệm là: $z_{1, 2} = \frac{- 7 \pm i \sqrt{47}}{6}$

$z^{4} - 8 = 0$

Đặt $t = z^{2}$ , ta được phương trình : $t^{2} - 8 = 0 \Leftrightarrow t = \pm \sqrt{8}$

$\begin{array}{l} t = \sqrt{8} \Rightarrow z^{2} = \sqrt{8} \Leftrightarrow z = \pm \sqrt{\sqrt{8}} = \pm \sqrt[4]{8} \\ t = - \sqrt{8} \Rightarrow z^{2} = - \sqrt{8} \Leftrightarrow z = \pm i \sqrt{\sqrt{8}} = \pm i \sqrt[4]{8} \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: $z_{1, 2} = \pm \sqrt[4]{8}, z_{3, 4} = \pm i \sqrt[4]{8}$

$z^{4} - 1 = 0$

Đặt $t = z^{2}$ , ta được phương trình : $t^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1$ .

$\begin{array}{l} t = 1 \Rightarrow z^{2} = 1 \Leftrightarrow z = \pm 1 \\ t = - 1 \Rightarrow z^{2} = - 1 \Leftrightarrow z = \pm i \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là $\pm 1$ và $\pm i$

Câu 11 trang 144 SGK Giải tích 12: Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng

3

và tích của chúng bằng

4

Phương pháp giải:

Nếu $z_{1} + z_{2} = S, z_{1} z_{2} = P$ thì $z_{1}, z_{2}$ là nghiệm của phương trình $z^{2} - S z + P = 0$ .

Lời giải:

Giả sử hai số cần tìm là $z_{1}$ và $z_{2}$ .

Ta có: $z_{1} + z_{2} = 3$ ; $z_{1} . z_{2} = 4$

Rõ ràng, $z_{1}, z_{2}$ là các nghiệm của phương trình: $z^{2} - 3 z + 4 = 0$

Phương trình có $Δ = 3^{2} - 4.4 = 9 - 16 = - 7$ .

Căn bậc hai của $Δ$ là $\pm i \sqrt{7}$ .

Vậy hai số phức cần tìm là: $z_{1} = \frac{3 + i \sqrt{7}}{2}, z_{2} = \frac{3 - i \sqrt{7}}{2}$

Câu 12 trang 144 SGK Giải tích 12: Cho hai số phức

z_{1}, z_{2}

. Biết rằng

z_{1} + z_{2}

và

z_{1} . z_{2}

là hai số thực. Chứng minh rằng

z_{1}, z_{2}

là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.

Phương pháp giải:

Đặt $z_{1} + z_{2} = a$ ; $z_{1} . z_{2} = b; a, b \in R$ . Khi đó $z_{1}, z_{2}$ là nghiệm của phương trình $z^{2} - a z + b = 0$ .

Lời giải:

Đặt $z_{1} + z_{2} = a$ ; $z_{1} . z_{2} = b; a, b \in R$

Khi đó, $z_{1}$ và $z_{2}$ là hai nghiệm của phương trình

$\begin{array}{l} (z - z_{1}) (z - z_{2}) = 0 \\ \Leftrightarrow z^{2} - z . z_{2} - z . z_{1} + z_{1} z_{2} = 0 \\ \Leftrightarrow z^{2} - (z_{1} + z_{2}) z + z_{1} z_{2} = 0 \\ \Leftrightarrow z^{2} - a z + b = 0 \end{array}$

Đó là phương trình bậc hai đối với hệ số thực. Suy ra điều phải chứng minh.

Bài tập trắc nghiệm (trang 144 SGK Giải tích 12)

Câu 1 trang 144 SGK Giải tích 12: Số nào trong các số sau là số thực?

A. $(\sqrt{3} + 2 i) - (\sqrt{3} - 2 i)$

B. $(2 + i \sqrt{5}) + (2 - i \sqrt{5})$

C. $(1 + i \sqrt{3})^{2}$

D. $\frac{\sqrt{2} + i}{\sqrt{2} - i}$

Phương pháp giải:

Số phức $z$ là số thực nếu phần ảo của nó bằng $0$ .

Lời giải:

Ta tìm phần ảo của các số đã cho:

(A). $(\sqrt{3} + 2 i) - (\sqrt{3} - 2 i)$ $= \sqrt{3} + 2 i - \sqrt{3} + 2 i = 4 i$

là số thuần ảo (loại A)

(B). $(2 + i \sqrt{5}) + (2 - i \sqrt{5})$ $= 2 + i \sqrt{5} + 2 - i \sqrt{5} = 4$ là số thực.

(C). ${(1 + i \sqrt{3})}^{2} = 1 + 2 \sqrt{3} i - 3$ $= - 2 + 2 \sqrt{3} i$ không là số thực.

(D). $\frac{\sqrt{2} + i}{\sqrt{2} - i} = \frac{{(\sqrt{2} + i)}^{2}}{(\sqrt{2} - i) (\sqrt{2} + i)}$ $= \frac{2 + 2 \sqrt{2} i - 1}{2 + 1} = \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{2} i}{3}$ không là số thực.

Chọn đáp án (B)

Câu 2 trang 144 SGK Giải tích 12: Số nào trong các số sau là số thuần ảo?

A. $(\sqrt{2} + 3 i) + (\sqrt{2} - 3 i)$

B. $(\sqrt{2} + 3 i) . (\sqrt{2} - 3 i)$

C. $(2 + 2 i)^{2}$

D. $\frac{2 + 3 i}{2 - 3 i}$

Phương pháp giải:

Số thuần ảo là số phức có phần thực bằng $0$ .

Lời giải:

Ta tìm phần thực của các số đã cho:

(A) $(\sqrt{2} + 3 i) + (\sqrt{2} - 3 i)$ $= \sqrt{2} + 3 i + \sqrt{2} - 3 i = 2 \sqrt{2}$ là số thực.

(B) $(\sqrt{2} + 3 i) (\sqrt{2} - 3 i)$ $= {(\sqrt{2})}^{2} - {(3 i)}^{2} = 2 + 9 = 11$ là số thực.

(D) $\frac{2 + 3 i}{2 - 3 i} = \frac{{(2 + 3 i)}^{2}}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$ $= \frac{4 + 12 i - 9}{4 + 9} = \frac{- 5}{13} + \frac{12}{13} i$ không là số thuần ảo.

Chọn đáp án (C)

Câu 3 trang 144 SGK Giải tích 12: Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng?

A. $i^{1997} = - 1$ B. $i^{2345} = i$

C. $i^{2005} = 1$ D. $i^{2006} = - i$

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả đã chứng minh ở bài 4 - SGK trang 136

$\begin{array}{l} i^{4 n} = i^{0} = 1 \\ i^{4 n + 1} = i^{1} = i \\ i^{4 n + 2} = i^{2} = - 1 \\ i^{4 n + 3} = i^{3} = - i \end{array}$

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} (A) . i^{1977} = i^{1976 + 1} = i^{494.4 + 1} = i^{1} = i \\ (B) . i^{2345} = i^{2344 + 1} = i^{586.4 + 1} = i^{1} = i \\ (C) . i^{2005} = i^{2004 + 1} = i^{501.4 + 1} = i^{1} = i \\ (D) . i^{2006} = i^{2004 + 2} = i^{501.4 + 2} = i^{2} = - 1 \end{array}$

Chọn đáp án (B)

Câu 4 trang 144 SGK Giải tích 12: Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng?

A. ${(1 + i)}^{8} = - 16$

B. ${(1 + i)}^{8} = 16 i$

C. ${(1 + i)}^{8} = 16$

D. ${(1 + i)}^{8} = - 16 i$

Phương pháp giải:

Tính ${(1 + i)}^{2}$ , sau đó tính ${(1 + i)}^{4}$ , sau đó ${(1 + i)}^{8}$ .

Lời giải:

$\begin{array}{l} {(1 + i)}^{2} = 1^{2} + 2 i + i^{2} = 2 i \\ \Rightarrow {(1 + i)}^{4} = {({(1 + i)}^{2})}^{2} = {(2 i)}^{2} = - 4 \\ \Rightarrow {(1 + i)}^{8} = {({(1 + i)}^{4})}^{2} = {(- 4)}^{2} = 16 \end{array}$

Chọn đáp án C

Câu 5 trang 144 SGK Giải tích 12: Biết rằng nghịch đảo của số phức

z

bằng số phức liên hợp của nó, trong các kết luận sau, kết luận nào là đúng?

A. $z \in R$ B. $| z | = 1$

C. $z$ là một số thuần ảo D. $| z | = - 1$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $z . \bar{z} = {| z |}^{2}$

Lời giải:

Ta có:

$\frac{1}{z} = \bar{z} \Rightarrow z . \bar{z} = 1$ $\Leftrightarrow {| z |}^{2} = 1 \Leftrightarrow | z | = 1$

Chọn đáp án (B)

Câu 6 trang 144 SGK Giải tích 12: Trong các kết luận sau, kết luận nào là sai?

A. Môdun của số phức $z$ là một số thực

B. Môdun của số phức $z$ là một số phức

C. Môdun của số phức $z$ là một số thực dương

D. Môdun của số phức $z$ là một số thực không âm.

Phương pháp giải:

$z = a + b i \Rightarrow | z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Lời giải:

$z = a + b i \Rightarrow | z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \geq 0$ .

Do đó C sai vì mô đun của số phức $z$ vẫn có thể bằng $0$ .

Cụ thể khi $z = 0$ thì $| z | = 0$ .

Chọn đáp án (C)

Các dạng toán về điểm biểu diễn số phức

1. Kiến thức cần nhớ

Điểm $M (a; b)$ biểu diễn số phức $z = a + b i$ .

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

Cách 1: Tính số phức $z$ dựa vào các phép đổi thông thường.

Cách 2:

- Bước 1: Gọi số phức $z = x + y i (x, y \in R)$ có điểm biểu diễn là $M (x; y)$ .

- Bước 2: Thay $z = x + y i$ và điều kiện đề bài tìm $x, y \Rightarrow M$ .

Ví dụ: Cho số phức $z$ thỏa mãn $w + 2 z = i$ biết $w = 2 - i$ . Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức $z$ .

Giải:

Gọi $z = a + b i (a, b \in R)$ biểu diễn số phức $z$ , ta có:

$2 - i + 2 (a + b i) = i \Leftrightarrow (2 + 2 a) + (2 b - 2) = 0 \Leftrightarrow {\begin{cases} 2 + 2 a = 0 \\ 2 b - 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = - 1 \\ b = 1 \end{cases}$

Vậy $M (- 1; 1)$ .

Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức.

Phương pháp:

- Bước 1: Gọi số phức $z = x + y i (x, y \in R)$ có điểm biểu diễn là $M (x; y)$ .

- Bước 2: Thay $z = x + y i$ vào điều kiện đã cho dẫn đến phương trình liên hệ giữa $x, y$ .

- Bước 3: Kết luận:

+) Phương trình đường thẳng: $A x + B y + C = 0$

+) Phương trình đường tròn: $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$

+) Phương trình parabol: $y = a x^{2} + b x + c$ hoặc $x = a y^{2} + b y + c$

+) Phương trình elip: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Ví dụ: Tìm tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn: $| z - (3 - 4 i) | = 2$ .

A. Đường tròn tâm $I (3, - 4)$ và bán kính $R = 2$ .

B. Đường tròn tâm $I (- 3, 4)$ và bán kính $R = 2$ .

C. Đường tròn tâm $I (3, - 4)$ và bán kính $R = 1$ .

D. Đường tròn tâm $I (- 3, 4)$ và bán kính $R = 1$ .

Giải:

Giả sử ta có số phức $z = a + b i$ .

Thay vào $| z - (3 - 4 i) | = 2$ có:

$| a + b i - (3 - 4 i) | = 2 \Leftrightarrow | (a - 3) + (b + 4) i | = 2$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(a - 3)}^{2} + {(b + 4)}^{2}} = 2 \Leftrightarrow (a - 3)^{2} + (b + 4)^{2} = 4$ .

Chọn đáp án A

Các dạng toán về tìm min, max liên quan đến số phức

1. Kiến thức cần nhớ

- Mô đun của số phức $z = a + b i$ là $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \geq 0$

- Bất đẳng thức Cô-si: $x + y \geq 2 \sqrt{x y}$ với $x, y > 0$

- Bất đẳng thức Bunhiacopxki: $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) \geq {(a c + b d)}^{2}$

- Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: $| | z_{1} | - | z_{2} | | \leq | z_{1} \pm z_{2} | \leq | z_{1} | + | z_{2} |$

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất.

Phương pháp:

- Bước 1: Gọi số phức $z = x + y i (x, y \in R)$ .

- Bước 2: Thay $z$ và biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của $x, y$ .

- Bước 3: Đánh giá biểu thức có được để tìm max, min, từ đó suy ra $x, y \Rightarrow z$ .

Ví dụ: Cho $z_{1}; z_{2}$ thỏa mãn $| z_{1} - z_{2} | = 1; | z_{1} + z_{2} | = 3.$ Tính max $T = | z_{1} | + | z_{2} | .$

A. $8$

B. $10$

C. $4$

D. $\sqrt{10}$

Giải

Đặt $z_{1} = x_{1} + y_{1} i; z_{2} = x_{2} + y_{2} i .$ $(x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2} \in R)$ . Điều kiện đã cho trở thành

+) $| z_{1} - z_{2} | = 1$ $\Rightarrow | x_{1} + y_{1} i - x_{2} - y_{2} i | = 1 \Leftrightarrow \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} = 1$

$\Leftrightarrow {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + {y_{1}}^{2} + {y_{2}}^{2} - 2 x_{1} x_{2} - 2 y_{1} y_{2} = 1$ (1)

+) $| z_{1} + z_{2} | = 3 \Rightarrow | x_{1} + y_{1} i + x_{2} + y_{2} i | = 3$

$\Leftrightarrow {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + {y_{1}}^{2} + {y_{2}}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 2 y_{1} y_{2} = 9$ (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + {y_{1}}^{2} + {y_{2}}^{2} = 5$

+) $T = | z_{1} | + | z_{2} | = \sqrt{{x_{1}}^{2} + {y_{1}}^{2}} + \sqrt{{x_{2}}^{2} + {y_{2}}^{2}}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

$T = 1. \sqrt{{x_{1}}^{2} + {y_{1}}^{2}} + 1. \sqrt{{x_{2}}^{2} + {y_{2}}^{2}} \leq \sqrt{(1 + 1) . ({x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + {y_{1}}^{2} + {y_{2}}^{2})}$

$= \sqrt{2.5} = \sqrt{10} \Rightarrow$ $max T = \sqrt{10} .$

Đáp án D

Lưu ý: Có thể sử dụng phương pháp hình học để giải các bài tập dạng này.

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Có 4 tập hợp điểm thường gặp

+) Đường thẳng

+) Đường tròn

+) Đường elip

+) Parabol

Bước 2: Vẽ tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Từ đó tìm max, min của mô đun

Số phức $z = x + y i (x, y \in R)$ có điểm biểu diễn là $M (x, y)$ . Mô đun của số phức $z$ là độ dài đoạn thẳng $O M$ với $O$ là gốc tọa độ.

Ví dụ: Cho số phức $z = x + y i$ thỏa mãn $| z - 2 - 4 i | = | z - 2 i |$ đồng thời có mô đun nhỏ nhất. Tính $N = x^{2} + y^{2} .$

A. $N = 8$

B. $N = 10$

C. $N = 16$

D. $N = 26$

Giải

Gọi $M (x, y)$ là điểm biểu diễn của số phức $z = x + y i$

+) $| z - 2 - 4 i | = | z - 2 i |$ $\Rightarrow (x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = x^{2} + (y - 2)^{2} \Leftrightarrow - 4 x + 4 - 8 y + 16 = - 4 y + 4$

$\Leftrightarrow 4 x + 4 y = 16 \Leftrightarrow x + y - 4 = 0$

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của $z$ là một đường thẳng $x + y - 4 = 0$

+) $N = x^{2} + y^{2} = {| z |}^{2}$

$\Rightarrow N$ min $\Leftrightarrow | z |$ min $\Leftrightarrow O M$ min $\Rightarrow O M ⊥ d : x + y - 4 = 0$

$\Rightarrow M (2, 2)$ $\Rightarrow N = 2^{2} + 2^{2} = 8$

Đáp án A.

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

- Sử dụng các bất đẳng thức Cô si, Bunhiacopxki và bất đẳng thức tam giác.

Ví dụ: Cho $z$ thỏa mãn $| z - 2 - 4 i | = \sqrt{5} .$ Tìm max $| z | .$

A. $3 \sqrt{5}$

B. $5$

C. $\sqrt{5}$

D. $\sqrt{13}$

Giải

Dấu hiệu: Đề bài yêu cầu tính max của một mô đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đôi.

Ta có: $| z | - | - 2 - 4 i | \leq | z - 2 - 4 i | \Leftrightarrow | z | - \sqrt{20} \leq \sqrt{5} \Leftrightarrow | z | \leq \sqrt{20} + \sqrt{5} = 3 \sqrt{5}$

$\Rightarrow$ max $| z | = 3 \sqrt{5}$

Đáp án A.

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

Giải SGK, SBT, Chuyên đề Toán Học Lớp 12

Giải Toán 12 Ôn tập chương IV - Số phức

Xem thêm các chương trình khác: