Giải Toán 12 Bài 1: Lũy thừa

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 1: Lũy thừa chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Lũy thừa lớp 12.

Bài giảng Toán học 12 Bài 1: Lũy thừa

Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 1: Lũy thừa

Trả lời câu hỏi giữa bài
Trả lời câu hỏi 1 trang 49 SGK Giải tích 12: Tính: (1,5)4,(23)3,(3)5

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính bỏ túi, tính toán các kết quả.

Lời giải:

(1,5)4=5,0625(23)3=827(3)5=93

Trả lời câu hỏi 2 trang 50 SGK Giải tích 12: Dựa vào đồ thị của các hàm số y=x3 và y=x4(H.26, H.27), hãy biện luận theo b số nghiệm của các phương trình x3=b vàx4=b .

Lời giải:

Ta có: Số nghiệm của phương trình x3=b  là số giao điểm của hai đồ thị hàm số y=x3 và y=b .

Dựa vào H26 ta thấy: với mọi b: đồ thị hàm số  y=x3 luôn cắt đường thẳng  y=b tại một điểm duy nhất do đó phương trình x3=b có nghiệm duy nhất với mọi b.

Số nghiệm của phương trình x4=b (1) là số giao điểm của hai đồ thị hàm số  y=b và  y=x4 . Dựa và hình 27 ta thấy:

+ Với b<0 hai đồ thị hàm số trên không giao nhau, vậy phương trình (1) vô nghiệm.

+ Với b=0, hai đồ thị hàm số tiếp xúc nhau tại (0,0), vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x=0.

+ Với b>0, hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biết, vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Trả lời câu hỏi 3 trang 52 SGK Giải tích 12: Chứng minh tính chất: an.bn=abn

Lời giải:

Đặt an=x;bn=y.

Theo định nghĩa về căn bậc n ta có:  xn=a;yn=b

a.b=xn.yn=(xy)n 

Vậy xy là căn bậc n của ab.

Hay abn=xy=an.bn

Trả lời câu hỏi 4 trang 54 SGK Giải tích 12: Hãy nhắc lại các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương. 

Lời giải:

Với m,nN ta có các tính chất sau đây:

a. Các tính chất về đẳng thức

1.am.an=am+n2.am:an=amn(mn)3.(am)n=am.n4.(ab)m=ambm(b0)5.(ab)m=am.bn

b. Các tính chất về bất đẳng thức

Với a>1 thì am>anm>n.

Với 0<a<1 thì am>anm<n.

Với 0<a<b thì am>bm

Trả lời câu hỏi 5 trang 55 SGK Giải tích 12: Rút gọn biểu thức: (a31)3+1a53.a45

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất sau: 

1.(am)n=am.n2.am.an=am+n3.am:an=amn(mn)

Lời giải:

(a31)3+1a53.a45=a(31)(3+1)a(53)+(45)=a31a1=a2a=a.

Trả lời câu hỏi 6 trang 55 SGK Giải tích 12: So sánh các số: (34)8;(34)3

Phương pháp giải:

+ nếu cơ số < 1: Số mũ nào nhỏ hơn thì lũy thừa tương ứng lớn hơn

+ nếu cơ số > 1: Số mũ nào nhỏ hơn thì lũy thừa tương ứng nhỏ hơn

Lời giải:

Ta có:

{0<34<18<9=3(34)8>(34)3

Câu hỏi và bài tập (trang 55, 56 SGK Giải tích 12)
Bài 1 trang 55 SGK Giải tích 12: Tính:

a) 925.2725

b) 14434:934;

c) (116)0,75+(0,25)52;

d) (0,04)1,5(0,125)23;

Phương pháp giải:

Cách 1: Có thể sử dụng máy tính cầm tay để thực hiện các phép tính. 

Cách 2: Sử dụng các công thức của hàm lũy thừa để tính: an.bn=(ab)n;am.an=am+n; (am)n=amn;1a=a1.

Lời giải:

a)

925.2725=(9.27)25=(32.33)25 =(35)25=35.25=32=9

b)14434:934=(144:9)34=(16)34=(24)34=24.34=23=8

c)

(116)0,75+(0,25)52=(116)0,75+(14)52=160,75+42,5=(24)0,75+(22)2,5=24.0,75+22.2,5=23+25=8+32=40

d)(0,04)1,5(0,125)23=(4100)1,5(1251000)23=(1004)1,5(1000125)23=251,5823=(52)32(23)23=52.3223.23=5322=1254=121

Bài 2 trang 55 SGK Giải tích 12: Cho a,b là những số thực dương. Viết các biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

a) a13a;

b) b12.b13.b6;
c) a43 : a3;
d) b3 : b16 ;

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức của hàm lũy thừa để tính:an.bn=(ab)n;am.an=am+n;an=a1n;am:an=amn.

Lời giải:

a)a13a=a13.a12=a13+12=a56.

b) b12.b13.b6=b12.b13.b16=b12+13+16=b .

c) a43 : a3=a43:a13=a4313=a.

d) b3 : b16=b13:b16=b1316=b16.

Bài 3 trang 56 SGK Giải tích 12: Viết các số sau theo thứ tự tăng dần:

a) 13,75 ; 21 ; (12)3

b) 980 ; (37)1 ; 3215.

Phương pháp giải:

Cách 1: Đưa về cùng cơ số 2 rồi so sánh số mũ

Cách 2: Tính ra số cụ thể rồi so sánh.

Lời giải:

a)

13,75 ; 21 ; (12)3
Ta có: 13,75=1=20;(12)3=23.
Có: 1<0<321<20<23 21<13,75<(12)3.
Vậy ta sắp xếp được: 21;13,75;(12)3.

Cách khác:

Ta có:

13,75=1;21=12;(12)3=(21)3=2(1).(3)=23=8

Mà: 12<1<821<13,75<(12)3

b)

Ta có: 980=1;(37)1=732,(33); 3215=(25)15=2.

Mà 1<2<73980<3215<(37)1.
Vậy thứ tự tăng dần là: 980;3215;(37)1.

Bài 4 trang 56 SGK Giải tích 12: Cho a,b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) a43(a13+a23)a14(a34+a14);

b) b15(b45b15)b23(b3b23)
c) a13b13a13b13a23b23;          
d) a13b+b13aa6+b6

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các công thức lũy thừa cơ bản và các hằng đẳng thức để rút gọn các biểu thức.

Lời giải:

a)

a43(a13+a23)a14(a34+a14)=a43a13+a43a23a14a34+a14a14

=a4313+a43+23a14+34+a14+14=a1+a2a1+a0=a+aa+12=a(1+a)a+1=a  (Với a>0).

b)

b15(b45b15)b23(b3b23)=b15(b45b15)b23(b13b23)

=b15.b45b15.b15b23.b13b23.b23

=b15+45b1515b23+13b2323=b1b1=1 ( Với điều kiện b>0;b1).

c)

a13b13a13b13a23b23

=a13+23.b13a13.b13+23a23b23

=a13b13(a23b23)a23b23=a13b13

=(ab)13=1(ab)13=1ab3

(với điều kiện ab;a,b>0.).

d)

a13b+b13aa6+b6=a13b12+b13a12a16+b16=a26b36+b26a36a16+b16

=a26b26(a16+b16)a16+b16=a26b26=a13b13=ab3. (Với a,b>0).

Bài 5 trang 56 SGK Giải tích 12: Chứng minh rằng:

a) (13)25 < (13)32;

b) 763>736.

Phương pháp giải:

So sánh các lũy thừa cùng cơ số, ta đi so sánh số mũ:

+) Nếu cơ số lớn hơn 1 : lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì lớn hơn.

+) Nếu cơ số lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1: lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì nhỏ hơn.

Lời giải:

a)

Ta có: 25=22.5=20;

32=32.2=18.
Vì 20>1820>18

25>32.
Lại có: 0<13<1 (13)25<(13)32 (đpcm)

b)

Ta có: 63=62.3=108;

36=32.6=54.
Vì 108>54108>54 63>36.
Mà 7>1763>736 (đpcm)

Lý thuyết Bài 1: Lũy thừa

I. KHÁI NIỆM LŨY THỪA

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Định nghĩa

Cho n là một số nguyên dương.

Với a là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.

an=a.a.a.....a (n thừa số a)

Với a0 thì a0=1,an=1an.

Chú ý

0n và 0n không có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

2. Căn bậc n

a) Định nghĩa

Cho số thực b và số nguyên dương n(n2). Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an=b.

b) Chú ý

+) Với n lẻ và bR thì có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu bn.

+) Với n chẵn và:

b<0 thì không tồn tại căn bậc n của b.

b=0 thì có duy nhất một căn bậc n của b là số 0.

b>0 thì có hai căn trái dấu, kí hiệu bn và bn.

c) Tính chất

an.bn=abnanbn=abn(an)m=amnann={a,nếunlẻ|a|,nếunchẵnakn=ank

Ví dụ

43.543=(4).543=2163=6

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực a dương và số hữu tỉ r=mn, trong đó mZnNn2.

Lũy thừa của số a với số mũ r là số ar xác định bởi

ar=amn=amn

Đặc biệt:  Khi m=1a1n=an

Ví dụ:

1634=1634=11634 =1(164)3=123=18

II. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

Cho a,b là những số thực dương; α,β là những số thực tùy ý. Khi đó ta có:

aα.aβ=aα+βaαaβ=aαβ(aα)β=aαβ(ab)α=aαbα(ab)α=aαbα

Nếu a>1 thì aα>aβα>β.

Nếu a<1 thì aα>aβα<β.

Ví dụ: Rút gọn biểu thức: A=a2+1.a32(a31)3+1

Ta có:

A=a2+1.a32(a31)3+1=a2+1+32a(31)(3+1)=a4a31=a2

Sơ đồ tư duy về lũy thừa

Các dạng toán về lũy thừa

1. Một số dạng toán thường gặp đối với lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức.

Phương pháp:

- Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ (nếu có thể)

- Bước 2: Biến đổi các lũy thừa, căn bậc n sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ.

- Bước 3: Thực hiện tính toán với chú ý về thứ tự thực hiện các phép tính:

+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc n nhân, chia  cộng, trừ.

+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc  lũy thừa (căn bậc n nhân, chia  cộng, trừ.

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: P=x13.x6

Ta có: P=x13.x6=x13.x16=x13+16=x12.

Dạng 2: So sánh hai hay nhiều biểu thức.

Phương pháp:

- Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ(nếu có thể)

- Bước 2: Tính toán, rút gọn các biểu thức đã cho bằng cách sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ, căn bậc n.

- Bước 3: So sánh giá trị các biểu thức đã rút gọn dựa vào tính chất về so sánh hai lũy thừa:

1/ Với a>1 thì am>anm>n

2/ Với 0<a<1 thì am>anm<n

3/ Với 0<a<b thì:

    a) am<bmm>0

    b) am>bmm<0

4/ Với a>0,b>0 thì an=bna=b.

Ở đó m,n là các số hữu tỉ.

5/ Với a<b,n là số tự nhiên lẻ thì an<bn

Ví dụ 2: Cho a>1, so sánh a715 với a25

Ta có: a715=a715;a25=a25

Vì 715>25 và a>1 nên a715>a25 hay a715>a25

2. Một số dạng toán thường gặp đối với lũy thừa với số mũ vô tỉ:

Dạng 1: Tính giá trị, rút gọn các biểu thức.

Phương pháp:

- Bước 1: Biến đổi các lũy thừa sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ thực.

- Bước 2: Thực hiện tính toán với chú ý về thứ tự thực hiện các phép tính:

+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc n nhân, chia  cộng, trừ.

+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc  lũy thừa (căn bậc n nhân, chia  cộng, trừ.

Dạng 2: So sánh hai hay nhiều biểu thức.

Phương pháp:

- Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ(nếu có thể)        

- Bước 2: Tính toán, rút gọn các biểu thức đã cho bằng cách sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ, số mũ thực, căn bậc n.

- Bước 3: So sánh giá trị các biểu thức đã rút gọn dựa vào tính chất về so sánh hai lũy thừa.