Giải Toán 12 Bài 3: Ứng dụng tích phân trong hình học

So sánh với diện tích hình thang vuông trong câu hỏi 1 bài 2.

Lời giải:

Gọi $A(1;0),D(5;0)$.

$B$ là giao điểm của đường thẳng $x=1$ với đường thẳng $y=-2x-1$ thì $B\left(1;-3\right)$

$C$ là giao điểm của đường thẳng $x=5$ với đường thẳng $y=-2x-1$ thì $C\left(5;-11\right)$

Diện tích hình thang $S_{ABCD}={\displaystyle \frac{\left(AB+CD\right).AD}{2}}$ $={\displaystyle \frac{\left(3+11\right).4}{2}}=28$.

Lời giải:

Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích đáy là $B$ và chiều cao $h$ là: $V=Bh$.

Lời giải:

- Khái niệm mặt tròn xoay: 

Trong không gian cho mặt phẳng $(P)$  chứa đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và một đường C . Khi quay mặt phẳng $(P)$ quanh $\mathrm{\Delta }$ một góc ${360}^o$ thì mỗi điểm $M$ trên đường C  vạch ra một đường tròn có tâm $O$ thuộc $\mathrm{\Delta }$ và nằm trên mặt phẳng vuông góc với $\mathrm{\Delta }$. Như vậy khi quay mặt phẳng $(P)$ quanh đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ thì đường C   sẽ tao nên một hình được goi là mặt tròn xoay.

Đường C được gọi là đường sinh của mặt tròn xoay đó. Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ được gọi là trục của mặt tròn xoay.

- Khái niệm khối tròn xoay: Khối tròn xoay là khối hình học được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh một đường thẳng cố định (trục quay) của hình.

Lời giải:

Ta có: $y^{\prime }=2x.$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^2+1$ tại $M(2;5)$ là: $y=y^{\prime }\left(2\right)\left(x-2\right)+5=4\left(x-2\right)+5=4x-3.$

Phương trình tiếp tuyến là $y=4x-3$.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với tiếp tuyến là:$$\begin{gathered} x^2+1=4x-3\iff x^2-4x+4=0 \\ \iff (x-2{)}^2=0\iff x=2. \end{gathered}$$

Do đó diện tích phải tìm là:

$S={\int }_0^2|x^2+1-4x+3|dx$ $={\int }_0^2(x^2-4x+4)dx$

$={\left({\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{4x^2}{2}}+4x\right)|}_0^2$

$={\displaystyle \frac{8}{3}}(đvdt)$.

Lời giải:

Đường tròn đã cho có phương trình: $x^2+y^2=8.$

Từ đó ta có: $y=\pm \sqrt{8-x^2}$

Tọa độ giao điểm của $(C)$ và $(P)$ là nghiệm của hệ phương trình: 

$\{\begin{array}{c}{x}^2=2y\hfill \\ x^2+y^2=8\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}{y}^2+2y-8=0\hfill \\ x^2=2y\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}[\begin{array}{l}y=2\left(tm\right)\\ y=-4\left(ktm\right)\end{array}\hfill \\ x^2=2y\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=2\hfill \\ x=\pm 2\hfill \end{array}$

Gọi $S_1$ và $S_2$ là diện tích hai phần của đường tròn được chia bởi parabol $(P)$ như hình vẽ.

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}{S}_1=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left(\sqrt{8-x^2}-\frac{x^2}{2}\right)dx\\ =\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\sqrt{8-x^2}dx-\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\frac{x^2}{2}dx\\ =I_1-I_2\end{array}$

Tính $I_1=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\sqrt{8-x^2}dx$

Đặt $x=2\sqrt{2}\sin t\Rightarrow dx=2\sqrt{2}\mathrm{costdt}$

Đổi cận:

$\begin{array}{rl}& x=-2\Rightarrow t=-\frac{\pi }{4}\\ & x=2\Rightarrow t=\frac{\pi }{4}\end{array}$

$\begin{array}{l}{I}_1=\underset{-\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\sqrt{8-8{\sin }^{2}t}.2\sqrt{2}\cos tdt\\ =\underset{-\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\sqrt{8\left(1-{\sin }^{2}t\right)}.2\sqrt{2}\cos tdt\\ =\underset{-\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\sqrt{8{\cos }^{2}t}.2\sqrt{2}\cos tdt\\ =\underset{-\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}2\sqrt{2}\cos t.2\sqrt{2}\cos tdt\\ =\underset{-\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}8{\cos }^{2}tdt\\ =\underset{-\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}8.\frac{1+\cos 2t}{2}dt\\ =4\underset{-\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(1+\cos 2t\right)dt\\ =4{\left(t+\frac{\sin 2t}{2}\right)|}_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\\ =4\left(\frac{\pi }{4}+\frac{\sin \frac{\pi }{2}}{2}+\frac{\pi }{4}-\frac{\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)}{2}\right)\\ =2\pi +4\end{array}$

Tính $I_2=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\frac{x^2}{2}dx$

$\begin{array}{l}{I}_2=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\frac{x^2}{2}dx=\frac{1}{2}.{\frac{x^3}{3}|}_{-2}^2\\ =\frac{1}{2}\left(\frac{8}{3}-\frac{-8}{3}\right)=\frac{8}{3}\end{array}$

Do đó $S_1=I_1-I_2=2\pi +4-\frac{8}{3}=2\pi +\frac{4}{3}$

Diện tích hình tròn là: $\pi R^2=8\pi$

$S_2=8\pi -S_1$$=8\pi -2\pi -\frac{4}{3}=6\pi -\frac{4}{3}.$

Vậy $\frac{S_2}{S_1}=\frac{6\pi -\frac{4}{3}}{2\pi +\frac{4}{3}}=\frac{18\pi -4}{6\pi +4}=\frac{9\pi -2}{3\pi +2}$ hay ${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}={\displaystyle \frac{3\pi +2}{9\pi -2}}$

1. Tính diện tích hình phẳng

a) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$; trục hoành và hai đường thẳng $x=a;x=b$, thì diện tích $S$ được cho bởi công thức:

$S={\int }_a^b\left|f(x)\right|dx$             (1)

Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu của $f(x)$ trên đoạn $[a,b]$. Nếu $f(x)$ không đổi dấu trên khoảng $(c;d)\subset [a;b]$ thì :

${\int }_c^d\left|f(x)\right|dx=\left|{\int }_c^{d}f(x)dx\right|$

Chẳng hạn ta có:

${\int }_a^b\left|f(x)\right|dx=\left|{\int }_a^{c_1}f(x)dx\right|+\left|{\int }_{c_1}^{c_2}f(x)dx\right|$$+\left|{\int }_{c_2}^{c_3}f(x)dx\right|+\left|{\int }_{c_3}^{b}f(x)dx\right|$ 

b) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y=f_1\left(x\right)$ và  $y=f_2\left(x\right)$ liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng $x=a,x=b$ thì diện tích $S$ được cho bởi công thức :

${\int }_a^b\left|f_1(x)-f_2(x)\right|dx$         (2)

Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu $f\left(x\right)=f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)$ trên đoạn $[a;b]$ hoặc tìm nghiệm của nó trên khoảng $(a;b)$, sau đó áp dụng tính chất nêu ở chú ý trên. Cụ thể ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Giải phương trình: $f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)=0$, tìm các nghiệm $x_i\in \left(a;b\right)$

Bước 2 : Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn có n nghiệm:

$$x_1<x_2<\dots <x_{n.}$$Bước 3: Tính diện tích theo công thức (*):

$S={\int }_a{}^b\left|f(x)\right|dx=\left|{\int }_a^{x_1}f(x)dx\right|+\left|{\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx\right|+...+\left|{\int }_{x_n}^{b}f(x)dx\right|$

Nếu hình phẳng nói trên không cho giới hạn bởi hai đường thẳng $x=a,x=b$ thì ta tìm các nghiệm trên tập xác định và trong công thức (*), a được thay thế bởi $x_1$, b được thay thế bởi $x_n$.

Công thức (1) là trường hợp đặc biệt của công thức (2) khi $y=f_1\left(x\right)=0$ hoặc $y=f_2\left(x\right)=0$

Tương tự, hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $x=g_1\left(y\right),x=g_2\left(y\right)$ liên tục trên đoạn $[c;d]$ và hai đường thẳng $y=c,y=d$ có diện tích được cho bởi công thức:$$S={\int }_c^d\left|g_1(y)-g_2(y)\right|dy$$

2. Thể tích vật thể

Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ $x=a,x=b(a<b)$. $S(x)$ là diện tích của thiết diện. Thể tích của vật thể được cho bởi công thức: $V={\int }_a^{b}S(x)dx$ (với $S(x)$ là hàm số không âm, liên tục trên đoạn $[a;b]$).

3. Thể tích khối tròn xoay

a) Hình phẳng quay quanh trục $Ox$: Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ không âm và liên tục trên đoạn $[a;b]$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=a,x=b$ quay quanh trục $Ox$, ta được khối tròn xoay (h.4). Thể tích  $V_x$ của khối tròn xoay này được cho bởi công thức:$$V_x=\pi {\int }_a^b{\left[f(x)\right]}^{2}dx.$$

b) Hình phẳng quay quanh trục $Oy$ (kiến thức bổ sung): Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $x=g(y)$ không âm và liên tục trên đoạn $[c;d]$, trục $Oy$ và hai đường thẳng $y=c,y=d$ quay quanh trục $Oy$, ta được khối tròn xoay. Thể tích Vy của khối tròn xoay này được cho bởi công thức:$$V_y=\pi {\int }_c^d{\left[g(y)\right]}^{2}dy.$$

Chú ý. Thể tích của vật thể tạo bởi hình phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ và đồ thị hàm số $y=f_1\left(x\right),y=f_2\left(x\right)$ liên tục và $0\le f_1\left(x\right)\le f_2\left(x\right)$ trên đoạn $[a;b]$ quay quanh trục $Ox$ được cho bởi công thức:$$V_x=\pi {\int }_a^b\left[{(f_2(x))}^2-{(f_1(x))}^2\right]dx$$

Tương tự, đổi vai trò $x$ và $y$ cho nhau, ta có công thức tính  $V_y$ (khi hình phẳng quay quanh trục $Oy$).

Sơ đồ tư duy về ứng dụng tích phân trong hình học

Dạng 1: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $\left(H\right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=a,x=b\left(a<b\right)$ quanh trục $Ox$

Dạng 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $\left(H\right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $x=f\left(y\right)$, trục $Oy$ và hai đường thẳng $y=a,y=b\left(a<b\right)$ quanh trục $Oy$.

Công thức tính:

Dạng 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $\left(H\right)$ giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=f\left(x\right),y=g\left(x\right)$ liên tục trên $\left[a;b\right],0\le f\left(x\right)\le g\left(x\right),\mathrm{\forall }x\in \left[a;b\right]$ quay quanh trục $Ox$

Dạng 4 (Đọc thêm): Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng $x=a,x=b$ biết diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc trục $Ox$ là $S=S\left(x\right)$.