Giải Toán 12 Ôn tập chương III - Phương pháp toạ độ trong không gian

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Ôn tập chương III - Phương pháp toạ độ trong không gian chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Ôn tập chương III - Phương pháp toạ độ trong không gian lớp 12.

Giải bài tập Toán lớp 12 Ôn tập chương III - Phương pháp toạ độ trong không gian

Câu hỏi và bài tập (trang 91 - 93 SGK Hình học 12)
Bài 1 trang 91 SGK Hình học 12: Cho hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1),D(2;1;1)

a) Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện.

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD.

Phương pháp giải:

a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện tức là chứng minh 4 điểm này không đồng phẳng

Bằng cách viết phương trình mặt phẳng (ABC) ( dạng đoạn chắn) rồi chứng minh D(ABC).

b) Gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB,CD ta có: cosα=|cos(AB,CD)|.

cos(AB;CD)=AB.CD|AB|.|CD|

c) Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD bằng d(A;(BCD)).

+) Viết phương trình mặt phẳng (BCD).

+) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P):Ax+By+Cz+D=0 là: d(M;(P))=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2

Lời giải:

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC): Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có:

(ABC)x1+y1+z1=1 x+y+z1=0

Thế các toạ độ của D vào vế phải của phương trình mặt phẳng (ABC), ta có: 2+111=30

Vậy D(ABC) hay bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng, suy ra A,B,C,D là bốn đỉnh của 1 tứ diện.

Cách khác:

AB=(1;1;0);CD=(2;1;2);AC=(1;0;1)[AB;AC]=(1;1;1)[AB;AC].CD=(2).1+1.1+(2).1=3

AB;AC;CD không đồng phẳng.

A,B,C,D không đồng phẳng

A,B,C,D là 4 đỉnh của hình tứ diện

b) Gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB,CD ta có:

cosα=|cos(AB,CD)|

cos(AB;CD) =AB.CD|AB|.|CD|

Ta có: AB=(1,1,0)CD=(2,1,2)

AB.CD=(1).(2)+1.1+0.(2)=3

|AB|=(1)2+12+02=2

|CD|=(2)2+12+(2)2=3

cos(AB,CD)=332=22 (AB,CD)=450 α=450

c) Ta có BC=(0;1;1), BD=(2;0;1)

Gọi n là vectơ pháp tuyến của (BCD) thì: 

n(BCD)=[BC,BD] =(1;2;2)

Phương trình mặt phẳng (BCD):

1(x0)2(y1)2(z0)=0

x2y2z+2=0

Chiều cao của hình chóp A.BCD bằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD):

h=d(A,(BCD))=|1+2|12+(2)2+(2)2 =33=1

Bài 2 trang 91 SGK Hình học 12: Trong hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết rằng A(6;2;5),B(4;0;7).

a) Tìm toạ độ tâm I và tính bán kính r của mặt cầu (S)

b) Lập phương trình của mặt cầu (S).

c) Lập phương trình của mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A.

Phương pháp giải:

a) Tâm I là trung điểm của AB: I(xA+xB2;yA+yB2;zA+zB2) và bán kính R=AB2.

b) Phương trình mặt cầu tâm I(x0;y0;z0) và có bán kính R có dạng: (xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=R2

c) Mặt phẳng cần tìm đi qua A và nhận IA¯ là 1 VTPT.

Lời giải:

a) Tâm I của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng ABI(xA+xB2;yA+yB2;zA+zB2)=(1;1;1)                 

AB2=(46)2+(02)2+(7+5)2=248

AB=248=262

Vậy R=AB2=62

b) Phương trình mặt cầu (S)

(x1)2+(y1)2+(z1)2=62

 x2+y2+z22x2y2z59=0

c) Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A chính là mặt phẳng qua A và vuông góc với bán kính IA. Ta có:

IA=(5;1;6)

Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 5(x6)+1(y2)6(z+5)=0

5x+y6z62=0

Bài 3 trang 92 SGK Hình học 12: Trong hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(2;6;3),B(1;0;6),C(0;2;1),D(1;4;0)

a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.

b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD

c) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa AB và song song với CD.

Phương pháp giải:

a) Mặt phẳng (BCD) đi qua B và nhận a=[BC;BD] là 1 VTPT. Chứng minh ABCD là tứ diện bằng cách chứng minh A(BCD)

b) AH=d(A;(BCD))

c) n(α)=[AB;CD] là 1 VTPT của mặt phẳng (α) và (α) đi qua A.

Lời giải:

a) Ta có: BC=(1;2;7),  BD=(0;4;6)

Xét vectơ a=[BC,BD]    a=(16;6;4)=2(8;3;2)

Mặt phẳng (BCD) đi qua B và nhận a=(8;3;2) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

8(x1)3y2(z6)=0 8x3y2z+4=0

Thay toạ độ của A vào phương trình của (BC) ta có:

8.(2)3.62.3+4=360

Điều này chứng tỏ điểm A không thuộc mặt phẳng (BCD) hay bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng, và ABCD là một tứ diện.

b) Chiều cao AH của tứ diện chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD):

AH=d(A,(BCD)) = |8.(2)3.62.3+4|82+(3)2+(2)2=3677

c) Ta có: AB=(3;6;3)CD=(1;2;1)

Mặt phẳng (α) chứa AB và CD chính là mặt phẳng đi qua A(2;6;3) và nhận cặp vectơ ABCD làm cặp vectơ chỉ phương, có vectơ pháp tuyến n=[AB,CD]

Ta có: AB=(3;6;3);CD=(1;2;1)

n = (12;0;12)=12(1;0;1)

Vậy phương trình của (α) là:

1(x+2)+0(y6)1(z3)=0xz+5=0

Bài 4 trang 92 SGK Hình học 12: Lập phương trình tham số của đường thẳng:

a) Đi qua hai điểm A(1;0;3),B(3;1;0).

b) Đi qua điểm M(2;3;5) và song song với đường thẳng  có phương trình {x=2+2ty=34tz=5t.

Phương pháp giải:

Phương trình tham số đường thẳng (d) đi qua M(x0;y0;z0) và nhận u=(a;b;c) là 1 VTCP có dạng: {x=x0+aty=y0+btz=z0+ct(tR)

Lời giải:

a) Đường thẳng d qua A có vectơ chỉ phương AB=(2;1;3) nên phương trình tham số của d có dạng:{x=1+2ty=tz=3+3t(tR)

b) Đường thẳng d//.

Mà uΔ(2,4,5) là VTCP của  nên ud=(2,4,5) là VTCP của d.

d đi qua M(2;3;-5) và nhận ud=(2,4,5) là VTCP nên phương trình tham số của đường thẳng d là:

{x=2+2ty=34tz=55t(tR)

Bài 5 trang 92 SGK Hình học 12: Cho mặt cầu (S) có phương trình: (x3)2+(y+2)2+(z1)2=100 và mặt phẳng (α) có phương trình 2x2yz+9=0. Mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C).

Hãy xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn (C).

Phương pháp giải:

+) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

+) Viết phương trình đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (α).

+) Gọi K=(α)d, tìm tọa độ điểm K, K chính là tâm đường tròn (C).

+) Tính khoảng cách h=d(I;(α)), từ đó suy ra bán kính r của đường tròn (C): r=R2h2.

Lời giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(3,2,1) và bán kính R=10.

Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (α) là:

h=d(I,α) = |2.32.(2)1+922+(2)2+(1)2|=183=6

Gọi r là bán kính đường tròn (C), áp dụng định lí Pitago ta có: r=R2h2=10262=8

Tâm K của đường tròn (C) là hình chiếu vuông góc của tâm I của mặt cầu trên mặt phẳng (α).

Mặt phẳng ((α) có vectơ pháp tuyến n=(2,2.1).

Đường thẳng d qua I và vuông góc với (α) nhận n=(2,2,1) làm vectơ chỉ phương và có phương trình d : {x=3+2ty=22tz=1t

KdK(3+2t;22t;1t);K(α) nên thay tọa độ điểm K vào phương trình mặt phẳng (α) ta có: 

2.(3+2t)2.(22t)(1t)+9=0t=2

K(1;2;3)

Bài 6 trang 92 SGK Hình học 12: Trong hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương trình 3x+5yz2=0 và đường thẳng d có phương trình {x=12+4ty=9+3tz=1+t.

a) Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng (α).

b) Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d.

Phương pháp giải:

a) Tham số hóa tọa độ điểm M dạng M(12+4t;9+3t;1+t), thay điểm M vào phương trình mặt phẳng α.

b) (β)(d)n(β)=u(d). Viết phương trình mặt phẳng đi qua N và nhận u(d) là 1 VTPT.

Lời giải:

a) Vì Md nên M(12+4t;9+3t;1+t), thay vào phương trình (α), ta có: 3(12+4t)+5(9+3t)(1+t)2=0

26t+78=0 t=3 M(0;0;2).

b) Vectơ u(4;3;1) là vectơ chỉ phương của d. Mặt phẳng (β) vuông góc với d nhận u làm vectơ pháp tuyến. Vì M(0;0;2)(β) nên phương trình (β) có dạng:

4(x0)+3(y0)+(z+2)=0

hay 4x+3y+z+2=0

Bài 7 trang 92 SGK Hình học 12: Trong hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3), vectơ a=(6;2;3) và đường thẳng d có phương trình: {x=1+3ty=1+2tz=35t.

a) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa điểm A và vuông góc với giá của a.

b) Tìm giao điểm của d và (α).

c) Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, vuông góc với giá của a và cắt đường thẳng d.

Phương pháp giải:

a) Viết phương trình mặt phẳng biết điểm đi qua và 1 VTPT.

b) Tham số hóa tọa độ giao điểm và thay vào phương trình mặt phẳng (α).

c) Đường thẳng đi qua A vuông góc với giá của a và cắt đường thẳng d chính là đường thẳng AM.

Lời giải:

a) Mặt phẳng (α) vuông góc với giá của a nhận a làm vectơ pháp tuyến; (α) đi qua A(1;2;3) có phương trình:

6(x+1)2(y2)3(z+3)=0 6x2y3z+1=0

b) Gọi M=d(α) Md M(1+3t;1+2t;35t)

Thay tọa độ điểm M vào phương trình (α) ta có:

6.(1+3t)2(1+2t)3(35t)+1=0 29t=0 t=0.

Từ đây ta tính được toạ độ giao điểm M của d và (α)M(1;1;3).

c) Đường thẳng  đi qua A và vuông góc với giá của a nên Δ(α). Hơn nữa  cắt d nên    đi qua M.

Do đó đường thẳng  cần tìm chính là đường thẳng AM nhận vectơ AM=(2;3;6) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng AM{x=1+2ty=13tz=3+6t

Bài 8 trang 93 SGK Hình học 12: Trong hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu

(S): x2+y2+z210x+2y+26z+170=0

và song song với hai đường thẳng

d:{x=5+2ty=13tz=13+2td:{x=7+3ty=12tz=8

Phương pháp giải:

+) Gọi a;a lần lượt là VTCP của hai đường thẳng d và d'. Khi đó mặt phẳng (α) nhận n=[a;a] là 1 VTPT.

+) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S), mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) d(I;(α))=R

Lời giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương a=(2;3;2)

d có vectơ chỉ phương a=(3;2;0)

Mặt phẳng (α) song song với d và d nhận vectơ n=[a,a]=(4;6;5) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng (α) có dạng: 4x+6y+5z+D=0

Mặt cầu (S) có tâm I(5;1;13) và bán kính R=(5)2+12+(13)2170=25=5.

Để (α) tiếp xúc với mặt cầu (S), ta phải có:

d(I,(α))=R |4.5+6(1)+5(13)+D|42+62+52=5 |D51|=577

Ta được hai mặt phẳng thoả mãn yêu cầu:

+) D51=577 (α1):4x+6y+5z+51+577=0

+) D51=577 (α2):4x+6y+5z+51577=0

Bài 9 trang 93 SGK Hình học 12: Trong hệ toạ độ Oxyz, tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M(1;1;2) trên mặt phẳng (α):2xy+2z+11=0

Phương pháp giải:

Điểm H, hình chiếu vuông góc của điểm M trên mp (α) chính là giao điểm của đường thẳng  đi qua M và vuông góc với (α).

Lời giải:

Điểm H, hình chiếu vuông góc của điểm M trên mp (α) chính là giao điểm của đường thẳng  đi qua M và vuông góc với (α). Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến n=(2;1;2).

Đường thẳng  đi qua M và vuông góc với mp(α) nhận n làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của :{x=1+2ty=1tz=2+2t

HΔH(1+2t;1t;2+2t). thay các tọa độ điểm H vào phương trình mp(α), ta có:

2(1+2t)(1t)+2(2+2t)+11=0 t=2

Từ đây ta được H(3;1;2).

Bài 10 trang 93 SGK Hình học 12: Trong hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;1;0) và mặt phẳng (α):x+3yz27=0. Tìm toạ độ điểm M đối xứng với M qua (α).

Phương pháp giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (α) và M là điểm đối xứng của M qua (α) thì H là trung điểm của đoạn thẳng MM.

+) Xác định tọa độ hình chiếu H của M trên mặ phẳng (α).

+) Xác định tọa độ điểm M': {xM=2xHxMyM=2yHyMzM=2zHzM

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (α) và M là điểm đối xứng của M qua (α) thì H là trung điểm của đoạn thẳng MM. Xét đường thẳng  qua M và  vuông góc với (α).

Phương trình  đi qua M và nhận n(α)=(1;3;1) là 1 VTCP có dạng:{x=2+ty=1+3tz=t

Gọi H=Δ(α)H(2+t;1+3t;t)

Thay tọa độ điểm H vào phương trình (α) ta được: 2+t+3(1+3t)(t)27=011t=22t=2

H(4;7;2) 

M và M đối xứng nhau qua (α) nên H là trung điểm của MM'

{xM=2xHxM=6yM=2yHyM=13zM=2zHzM=4M(6;13;4)

Bài 11 trang 93 SGK Hình học 12: Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng toạ độ (Oxz) và cắt hai đường thẳng

d:{x=ty=4+tz=3td:{x=12ty=3+tz=45t

Phương pháp giải:

- Gọi tọa độ hai giao điểm lần lượt thuộc hai đường thẳng theo tham số t,t.

- Lập hệ phương trình ẩn t,t dựa vào điều kiện MN(Oxz) nên MNOx và MNOz.

Lời giải:

Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d, toạ độ của M là M(t;4+t;3t)N là điểm thuộc đường thẳng d, toạ độ của N là N(12t;3+t;45t).

Ta có: MN=(12tt;1+tt;15t+t)

Vì MN(Oxz) nên MNOx và MNOz

Ox có vectơ chỉ phương i=(1;0;0);

Oz có vectơ chỉ phương j=(0;0;1).

MNOx

(12tt).1+(1+tt).0+(15t+t).0=0

12tt=0                 (1)

MNOz

(12tt).0+(1+tt).0+(15t+t).1=0

15t+t=0                 (1)

Từ (1) và (2) ta có hệ{12tt=015t+t=0{t=37t=27

và được toạ độ của M(37;257;187) , N(37;197;187)

Từ đây ta có MN=(0;67;0)=67(0;1;0) và được phương trình đường thẳng MN đi qua M và nhận u=(0;1;0) làm 1 VTCP là:{x=37y=257+tz=187(tR)

Bài 12 trang 93 SGK Hình học 12: Trong hệ toạ độ Oxyz, tìm toạ độ điểm A đối xứng với điểm A(1;2;5) qua đường thẳng  có phương trình {x=1+2ty=1tz=2t.

Phương pháp giải:

+) Xác định tọa độ điểm H là hình chiếu của A trên đường thẳng Δ.

- Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với Δ. Tìm phương trình mặt phẳng (P).

- Khi đó H là giao điểm của Δ và mặt phẳng (P).

+) Điểm M' đối xứng với M qua Δ khi và chỉ khi H là trung điểm của MM', từ đó suy ra tọa độ điểm M'.

Lời giải:

Gọi H(1+2t;1t;2t)Δ là hình chiếu của A trên Δ.

Có uΔ=(2;1;2) , AH=(2t;1t;2t+5)

AHuΔAH.uΔ=0 2.2t1.(1t)+2.(2t+5)=0 4t1+t+4t+10=0 9t+9=0t=1 H(1;0;2)

Vì A' đối xứng với A qua Δ nên H là trung điểm của AA'. Ta có:

{xA=2xHxAyA=2yHyAzA=2zHzA{xA=2.(1)1=3yA=2.0(2)=2zA=2.(2)(5)=1A(3;2;1)

Cách khác:

Ta có thể tìm tọa độ điểm H như sau:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng . Khi đó H là trung điểm của AA.

Xét mặt phẳng (P) qua A và (P)⊥△. Khi đó H=(P).

Vì u(2;1;2) là vectơ chỉ phương của  nên u là vectơ pháp tuyến của (P).

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 2(x1)(y+2)+2(z+5)=0 hay 2xy+2z+6=0      (1)

H=Δ(P)HΔH(1+2t;1t;2t), thay tọa độ điểm H vào phương trình mặt phẳng (P) ta có: 2(1+2t)+(1+t)+4t+6=0

9t+9=0t=1 H(1;0;2).

Bài tập trắc nghiệm (trang 94 - 97 SGK Hình học 12)

Bài 1 trang 94 SGK Hình học 12: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a=(1;1;0)b=(1;1;0) và c=(1;1;1)

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) |a|=2;               (B) |c|=3;

(C) ab;                     (D) bc.

Phương pháp giải:

a=(x;y;z)|a|=x2+y2+z2aba.b=0

Lời giải:

Ta có: 

|a|=(1)2+12+02=2|c|=12+12+12=3a.b=(1).1+1.1+0.0=0abb.c=1.1+1.1+0.1=20

Do đó A đúng, B đúng, C đúng, D sai.

Chọn (D).

Bài 2 trang 94 SGK Hình học 12: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ

a=(1;1;0)b=(1;1;0) và c=(1;1;1).

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) a.c=1;

(B)  a,b cùng phương;

(C) cos (bc)= 26;

(D) a + b + c = 0

Phương pháp giải:

a(x1;y1;z1);b(x2;y2;z2)a.b=x1.x2+y1.y2+z1.z2

a;b cùng phương  a=kb(k0)

cos(a;b)=a.b|a|.|b|

a(x1;y1;z1)=0 x1=y1=z1=0

Lời giải:

a.c=1.1+1.1+0.1=0 A sai.

Dễ thấy không tồn tại hằng số k0 để a=kb nên B sai.

cos(b;c)=b.c|b|.|c| =1.1+1.1+0.112+12+02.12+12+12 =22.3=26

 C đúng.

a+b+c =(1+1+1;1+1+1;0+0+1) =(1;3;1)0D sai.

Chọn (C).

Bài 3 trang 94 SGK Hình học 12: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a=(1;1;0)b=(1;1;0) và c=(1;1;1)

Cho hình bình hành OADB có OA = aOB=b (O là gốc toạ độ). Toạ độ của tâm hình bình hành OADB là:

(A) (0;1;0)                      (B) (1;0;0)

(C) (1;0;1)                      (D) (1;1;0).

Phương pháp giải:

Gọi I là tâm hình bình hành OADB ta có: OA+OB=2OI

Lời giải:

Gọi I là tâm của hình bình hành ta có:

OA+OB=2OIOI=12(OA+OB)=12(a+b)=12(0;2;0)=(0;1;0)

Vậy I(0;1;0)

Chọn (A).

Cách khác:

OA=(1;1;0)A(1;1;0)

OB=(1;1;0)B(1;1;0)

Vì I là tâm hình bình hành nên I là trung điểm AB

{xI=xA+xB2=1+12=0yI=yA+yB2=1+12=1zI=zA+zB2=0+02=0 I(0;1;0)

Bài 4 trang 94 SGK Hình học 12: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1) và D(1;1;1)

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) Bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện ;

(B) Tam giác ABD là tam giác đều ;

(C) ABCD ;

(D) Tam giác BCD là tam giác vuông.

Phương pháp giải:

a) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

b) Chứng minh AB = BD = DA

c) Kiểm tra tích vô hướng AB.CD=0

d) Kiểm tra  trong các điều kiện [BC.BD=0CB.CD=0DB.DC=0

Lời giải:

Ta có: phương trình đoạn chắn mặt phẳng (ABC) là: x1+y1+z1=1 x+y+z1=0.

Dễ thấy điểm D không thuộc (ABC) nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

Mệnh đề A đúng.

Ta có: 

AB=(01)2+(10)2+(00)2=2AD=(11)2+(10)2+(10)2=2BD=(10)2+(11)2+(10)2=2AB=AD=BD

Do đó tam giác ABD đều, mệnh đề B đúng.

AB=(1;1;0)CD=(1;1;0)AB.CD=1.1+1.1+0.0=0

Mệnh đề C đúng.

Chọn (D)

Bài 5 trang 95 SGK Hình học 12: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1) và D(1;1;1)

Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Toạ độ điểm G là trung điểm của MN là:

(A) G (13;13;13) ;       (B) G (14;14;14) ;

(C) G (23;23;23) ;       (D) G (12;12;12).

Phương pháp giải:

A(xA;yA;zA);B(xB;yB;zB), điểm M là trung điểm của AB M(xA+xB2;yA+yB2;zA+zB2).

Lời giải:

M là trung điểm của AB M(1+02;0+12;0+02)=(12;12;0)

N là trung điểm của CD N(0+12;0+12;1+12)=(12;12;1)

G là trung điểm của MN G(12+122;12+122;0+12)=(12;12;12)

Chọn (D)

Bài 6 trang 95 SGK Hình học 12: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1) và D(1;1;1)

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính là:

(A) 32 ;                          (B) 2 ;

(C) 3;                          (D) 34 .

Phương pháp giải:

Gọi phương trình tổng quát của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

x2+y2+z22ax2by2cz+d=0

Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào phương trình mặt cầu tìm các hệ số a, b, c, d.

Suy ra bán kính của mặt cầu: R=a2+b2+c2d

Lời giải:

Phương trình tổng quát của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

x2+y2+z22ax2by2cz+d=0

Mặt cầu đi qua A,B,C,D nên ta có hệ:

{12a+d=0(1)12b+d=0(2)12c+d=0(3)32a2b2c+d=0(4)

Lấy (1)+(2)+(3)(4) ta được: d=0

Thế lần lượt vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta suy ra: a=12,b=12,c=12

Vậy bán kính R=a2+b2+c2d=32

Chọn (A).

Bài 7 trang 95 SGK Hình học 12: Cho mặt phẳng (α) đi qua điểm M(0;0;1) và song song với giá của hai vectơ a=(1;2;3) và b=(3;0;5).

Phương trình của mặt phẳng (α) là:

(A) 5x2y3z21=0 ;

(B) 5x+2y+3z+3=0 ;

(C) 10x4y6z+21=0 ;        

(D) 5x2y3z+21=0 .

Phương pháp giải:

Gọi n là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) thì n=[a;b].

Lời giải:

Gọi n là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) thì 

n=[a;b]=(10;4;6).

Phương trình của mặt phẳng (α) là:

10(x0)+4(y0)+6(z+1)=0 

10x+4y+6z+6=0

5x+2y+3z+3=0 

Chọn (B)

Bài 8 trang 95 SGK Hình học 12: Cho ba điểm A(0;2;1),B(3;0;1),C(1;0;0). Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

(A) 2x3y4z+2=0

(B) 2x+3y4z2=0

(C) 4x+6y8z+2=0

(D) 2x3y4z+1=0.

Phương pháp giải:

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là: n=[AB;AC]

Lời giải:

AB=(3;2;0),AC=(1;2;1)

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là:

n=[AB;AC]=(2;3;4)

Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

2(x0)+3(y2)4(z1)=0

2x+3y4z2=0

Chọn (B).

Bài 9 trang 95 SGK Hình học 12: Gọi (α) là mặt phẳng cắt ba trục toạ độ tại 3 điểm M(8;0;0),N(0;2;0),P(0;0;4). Phương trình của (α) là:

(A) x8+y2+z4=0;

(B) x4+y1+z2=1;

(C) x4y+2z=0;

(D) x4y+2z8=0.

Phương pháp giải:

Phương trình mặt phẳng đi qua các điểm A(a;0;0);B(0;b;0);C(0;0;c) có dạng phương trình đoạn chắn: xa+yb+zc=1

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng (α) dưới dạng đoạn chắn là:

x8+y2+z4=1x4y+2z8=0

Chọn (D).

Bài 10 trang 95 SGK Hình học 12: Cho ba mặt phẳng (α):x+y+2z+1=0(β): x+yz+2=0(γ): xy+5=0.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) (α)(β) ;                (B) (γ)(β);

(C)(α)//(γ) ;                 (D) (α)(γ).

Phương pháp giải:

(α)(β)n(α).n(β)=0

(α)//(β)n(α),n(β) cùng phương.

Lời giải:

Ta có:

n(α)=(1;1;2)n(β)=(1;1;1)n(γ)=(1;1;0)n(α).n(β)=1.1+1.1+2(1)=0(α)(β)n(β).n(γ)=1.1+1.(1)1.0=0(β)(γ)n(α).n(γ)=1.1+1.(1)+2.0=0(α)(γ)

Vậy các mệnh đề A, B, D đúng.

Chọn (C).

Bài 11 trang 96 SGK Hình học 12: Cho đường thẳng  đi qua điểm M(2;0;1) và có vectơ chỉ phương a=(4;6;2). Phương trình tham số của đường thẳng  là:

(A){x=2+4ty=6tz=1+2t               (B){x=2+2ty=3tz=1+t;

(C){x=2+2ty=3tz=1+t;                (D){x=4+2ty=63tz=2+t.

Phương pháp giải:

Đường thẳng d đi qua M(x0;y0;z0) và có VTCP u=(a;b;c) có phương trình tham số: {x=x0+aty=y0+btz=z0+ct(tR)

Lời giải:

Ta có: a=(4;6;2)=2(2;3;1) a=(2;3;1) cũng là VTCP của đường thẳng Δ.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng Δ là: {x=2+2ty=3tz=1+t

Chọn (C)

Bài 12 trang 96 SGK Hình học 12: Cho d là đường thẳng đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (α):4x+3y7z+1=0.

Phương trình tham số của d là:

(A){x=1+4ty=2+3tz=37t;

(B){x=1+4ty=2+3tz=37t;

(C){x=1+3ty=24tz=37t;

(D){x=1+8ty=2+6tz=314t.

Phương pháp giải:

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng α nên có véc tơ chỉ phương là: u(d)=n(α)

Lời giải:

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng α nên có véc tơ chỉ phương là: u(d)=n(α)=(4;3;7)

Phương trình tham số của d là: {x=1+4ty=2+3tz=37t

Chọn (B)

Bài 13 trang 96 SGK Hình học 12: Cho hai đường thẳng

d1:{x=1+2ty=2+3tz=3+4t và d2:{x=3+4ty=5+6tz=7+8t

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) d1⊥ d2               (B) d1 // d2

(C) d1 ≡ d2              (D) d1 và d2 chéo nhau.

Phương pháp giải:

Gọi u1;u2 lần lượt là VTCP của d1;d2.

Nếu u1;u2  cùng phương thì d1;d2 hoặc song song hoặc trùng nhau. 

Lấy M bất kì thuộc d1

   Nếu Md2d1d2

   Nếu Md2d1//d2

Lời giải:

Ta có: u1=(2;3;4);u2=(4;6;8)u2=2u1

Lấy M(1;2;3)d1, ta dễ thấy Md2.

Vậy d1d2.

Chọn (C).

Bài 14 trang 97 SGK Hình học 12: Cho mặt phẳng (α):2x+y+3z+1=0 và đường thẳng d có phương trình tham số:

{x=3+ty=22tz=1.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) d(α) ;

(B) d cắt (α) ;

(C) d//(α) ;

(D) d(α).

Phương pháp giải:

Gọi n;u lần lượt là VTPT của (α) và VTCP của đường thẳng d. Kiểm tra mối quan hệ giữa hai vector này.

Lời giải:

Mặt phẳng (α) có véc tơ pháp tuyến n=(2;1;3)

Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương u=(1;2;0)

n.u=2.1+1.(2)+3.0=0

Suy ra hoặc d//(α) hoặc d(α)

Chọn M(3;2;1)d thay tọa độ của M vào phương trình mặt phẳng (α) ta  được:

2.(3)+2+3.1+1=0 do đó M(α)

Vậy d(α)

Chọn (D)

Bài 15 trang 97 SGK Hình học 12: Cho (S) là mặt cầu tâm I(2;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) có phương trình : 2x2yz+3=0.

Bán kính của (S) là:

(A) 2 ;        (B) 23;        (C) 43;        (D) 29 .

Phương pháp giải:

Bán kính của mặt cầu (S) là: R=d(I;(α))

Lời giải:

Bán kính của mặt cầu (S) là:

R=d(I;(α))=|2.22.1(1)+3|22+(2)2+(1)2=63=2

Chọn (A).

Các dạng toán về đường thẳng và mặt phẳng

1. Kiến thức cần nhớ

a) Phương trình mặt phẳng.

Mặt phẳng đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có VTPT n=(a;b;c) thì có phương trình: a(xx0)+b(yy0)+c(zz0)=0

b) Phương trình đường thẳng.

Đường thẳng d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và nhận u=(a;b;c) làm VTCP thì có phương trình tham số {x=x0+aty=y0+btz=z0+ct(tR)

c) Giao tuyến của hai mặt phẳng.

Phương trình tổng quát của đường thẳng: {ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0(a:b:ca:b:c)

ở đó n=(a;b;c),n=(a;b;c) là các VTPT của hai mặt phẳng có phương trình như trên.

Khi đó u=[n,n] là VTCP của đường thẳng.

d) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Cho đường thẳng d có VTCP u và mặt phẳng (P) có VTPT n. Khi đó:

+) d//(P){unMd,M(P)

+) d(P){unMd,M(P)

+) d(P)u cùng phương với n

+) d cắt (P) thì tọa độ giao điểm thỏa mãn {ptdpt(P)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

Phương pháp:

- Gọi tọa độ của giao điểm theo tham số của đường thẳng.

- Thay tọa độ vào phương trình mặt phẳng, tìm tham số suy ra điểm cần tìm.

Dạng 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Phương pháp:

- Tìm các VTPT n của mặt phẳng, VTCP u của đường thẳng.

- Dựa vào mối quan hệ của n,u để kết luận:

+ Nếu n,u cùng phương thì (P)d

+ Nếu n,u có phương vuông góc thì (P)//d hoặc d(P)

Trường hợp d(P) sẽ xảy ra nếu thêm điều kiện một điểm thuộc d thì thuộc (P).

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng.

Phương pháp:

- Tìm tọa độ điểm đi qua.

- Tìm một VTPT của mặt phẳng.

- Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có VTPT tìm được ở trên.

Một số dạng phương trình mặt phẳng:

+) Đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng.

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d.

- Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d thì (P) nhận nP=ud  làm VTPT.

+) Đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng khác.

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và song song với đường thẳng d,d.

(P) song song với đường thẳng d,d nên (P) nhận nP=[ud,ud] làm VTPT.

+) Đi qua hai điểm và song song với đường thẳng.

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A,B và song song với đường thẳng d.

(P) đi qua A,B và song song với đường thẳng d nên nó đi qua A và nhận nP=[AB,ud]

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng.

Phương pháp:

- Tìm tọa độ điểm đi qua.

- Tìm một VTCP của đường thẳng.

- Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có VTCP như trên.

Một số dạng phương trình đường thẳng liên quan đến mặt phẳng.

+) Đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng.

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P)

- Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) thì nó nhận ud=nP làm VTCP.

+) Hình chiếu của một đường thẳng trên một mặt phẳng.

- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P)

((Q) đi qua điểm Md và nhận nQ=[ud,nP] làm VTPT).

- Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P),(Q) nên d:{(P)(Q)

+) Đường thẳng đi qua một điểm, vuông góc với đường thẳng và song song với mặt phẳng.

Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với d và song song với mặt phẳng (P).

dd,d//(P)ud=[ud,nP]

Phương trình mặt cầu trong không gian

1. Kiến thức cần nhớ

- Dạng 1: Phương trình chính tắc của mặt cầu tâm I(a;b;c) và bán kính R là:

(xa)2+(yb)2+(zc)2=R2     (1)

- Dạng 2: Phương trình tổng quát của mặt cầu x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0    (2)

Phương trình (2) có tâm I(a;b;c) và bán kính R=a2+b2+c2d.

Do đó điều kiện cần và đủ để (2) là phương trình mặt cầu là a2+b2+c2d>0

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Nhận biết các yếu tố từ phương trình mặt cầu.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa tâm và bán kính mặt cầu:

- Mặt cầu có phương trình dạng (xa)2+(yb)2+(zc)2=R2 có tâm (a;b;c) và bán kính R.

- Mặt cầu có phương trình dạng x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0 có tâm I(a;b;c) và bán kính R=a2+b2+c2d.

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu.

Phương pháp chung:

Cách 1: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng tổng quát.

- Tìm tâm và bán kính mặt cầu, từ đó viết phương trình theo dạng 1 nêu ở trên.

Cách 2: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng khai triển.

- Gọi mặt cầu có phương trình x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0

- Sử dụng điều kiện bài cho để tìm a,b,c,d.

Một số bài toán hay gặp:

- Viết phương trình mặt cầu với tâm và bán kính đã cho.

- Mặt cầu có đường kính AB: tâm là trung điểm của AB và bán kính R=AB2.

- Mặt cầu đi qua 4 điểm A,B,C,D:

* Cách 1:

+) Gọi mặt cầu có phương trình x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0

+) Thay tọa độ các điểm bài cho vào phương trình và tìm a,b,c,d.

*Cách 2:

+) Gọi I(a,b,c) là tâm của mặt cầu.

+) Lập hệ phương trình 

{IA=IBIA=ICIA=ID

tìm a, b, c.

+) Bán kính R=IA.

* Cách 3:

+) Tìm mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng AB, AC, AD. Mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm của AB và nhận AB làm một vectơ pháp tuyến.

+) Tâm mặt cầu là giao của 3 mặt phẳng đó.

+) Bán kính R=IA.

Dạng 3: Tìm tham số để mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước.

- Mặt cầu đi qua một điểm nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn phương trình mặt cầu.

Các dạng toán về mặt cầu và mặt phẳng

1. Kiến thức cần nhớ

Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tâm I bán kính R. Khi đó:

(S)(P)=d(I,(P))>R.

(S)(P)={H}d(I,(P))=R.

ở đó, H là tiếp điểm, (P) là tiếp diện và OH(P) tại H.

(S)(P)=C(H;r)d(I,(P))<R.

ở đó : với H là hình chiếu của I trên (P).

Đặc biệt: d(I,(P))=0 hay (P) đi qua I thì (S)(P)=C(I;R).

C(I;R) được gọi là đường tròn lớn, (P) là mặt phẳng kính.

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc hoặc cắt mặt phẳng cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính bán kính mặt cầu dựa vào các điều kiện bài cho:

+ Tiếp xúc mặt phẳng nếu d(I,(P))=R

+ Cắt mặt phẳng theo giao tuyến và đường tròn bán kính r thì R2=r2+d2(I,(P))

- Bước 2: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính.

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc, giao với mặt cầu cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm VTPT của mặt phẳng (P) dựa vào điều kiện bài cho.

+ Tiếp xúc mặt cầu tại điểm H thì nP=IH

+ Trường hợp (P) song song với mặt phẳng (Q):ax+by+cz+d=0 (a,b,c,d là các số cho trước) và cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính r thì nP=nQ tức là (P):ax+by+cz+d=0.

và d(I,(P))=R2r2.

- Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng.

+ Tiếp xúc mặt cầu tại điểm H: Xác định điểm H rồi lập phương trình mặt phẳng.

+ Trường hợp (P) song song với mặt phẳng (Q):ax+by+cz+d=0 (a,b,c,d là các số cho trước) và cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính r:

Sử dụng d(I,(P))=R2r2 để tìm d'.

Các dạng toán về mặt cầu và đường thẳng

1. Kiến thức cần nhớ

Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và đường thẳng Δ (đi qua M và có VTCP u). Khi đó:

+) Δ(S)=d(I,Δ)>R.

+) Δ(S)={H}d(I,Δ)=R.

+) Δ(S)={A,B}d(I,Δ)<R.

ở đó R2=d2(I,Δ)+AB24 và AB=2R2d2(I,Δ)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.

Phương pháp:

Cách 1: Sử dụng lý thuyết vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.

- Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và so sánh với R.

- Bước 2: Kết luận dựa vào các vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.

Cách 2: Xét phương trình giao điểm của đường thẳng và mặt cầu.

- Nếu phương trình vô nghiệm thì đường thẳng không có điểm chung với mặt cầu.

- Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu.

- Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với đường thẳng cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Gọi phương trình mặt cầu ở dạng tổng quát.

- Bước 2: Xét phương trình giao điểm của d và (S), điều kiện để mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng là phương trình giao điểm có nghiệm duy nhất.

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng có mối quan hệ với đường thẳng và mặt cầu.

Phương pháp chung:

Xác định điểm đi qua và VTPT của mặt phẳng, từ đó viết phương trình.