Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập khối đa diện lồi và khối đa diện đều lớp 12.
Bài giảng Toán 12 Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều
Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều
Trả lời câu hỏi giữa bài
Lời giải:
Khối đa diện lồi trong thực tế: kim tự tháp Ai Cập, viên kim cương, rubic
Khối đa diện không lồi trong thực tế: cái bàn
Trả lời câu hỏi 2 trang 16 SGK Hình học 12: Đếm số đỉnh, số cạnh của khối bát diện đều.
Lời giải:
Khối bát diện đều có 6 đỉnh và 12 cạnh.
Lời giải:
là tứ diện đều ⇒ tam giác đều
lần lượt là trung điểm của các cạnh nên ta có là các đường trung bình của tam giác
Nên tam giác là tam giác đều cạnh bằng
Chứng minh tương tự ta có: và là những tam giác đều cạnh bằng
Trả lời câu hỏi 4 trang 18 SGK Hình học 12: Chứng minh rằng là một tứ diện đều. Tính các cạnh của nó theo .Lời giải:
là hình lập phương cạnh nên các mặt là các hình vuông cạnh .
Tứ diện có các cạnh là các đường chéo của các mặt bên hình lập phương nên tứ diện có các cạnh bằng nhau
là tứ diện đều
Cạnh của tứ diện đều bằng độ dài đường chéo của hình vuông cạnh và bằng .
Phương pháp giải:
+) Bát diện đều là khối đa diện gồm 8 mặt là 8 tam giác đều.
+) Diện tích toàn phần của hình bát diện đều = 8. diện tích 1 mặt.
Lời giải:
Giả sử khối lập phương có cạnh bằng . Khi đó diện tích toàn phần của nó là:
Gọi là tâm của hình vuông ; là tâm hình vuông ; là tâm hình vuông ; là tâm hình vuông ; là tâm hình vuông và là tâm hình vuông .
Xét bát diện đều thu được, khi đó diện tích toàn phần của nó là lần diện tích tam giác đều (hình vẽ)
Xét tam giác , ta có lần lượt là trung điểm của và nên là đường trung bình của tam giác , do đó
Ta có
Diện tích xung quanh của bát diện đều là:
Do đó:
Bài 3 trang 18 SGK Hình học 12: Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.Phương pháp giải:
+) Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác và định lý Ta-lét để làm bài toán.
Lời giải:
Gọi lần lượt là trọng tâm của các tam giác đều .
Gọi là trung điểm :
Ta có: (tính chất đường trung tuyến).
(định lý Ta-lét).
và
Tương tự
Vậy là tứ diện đều.
Bài 4 trang 18 SGK Hình học 12: Cho hình bát diện đều
Chứng minh rằng :
a) Các đoạn thẳng và đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
b) và là những hình vuông.
Phương pháp giải:
+) Sử dụng tính chất của mặt phẳng trung trực.
+) Dấu hiệu nhân biết hình vuông: Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Lời giải:
a) Do cách đều và nên chúng đồng phẳng (cùng thuộc mặt phẳng trung trực của ).
Tương tự, đồng phẳng và đồng phẳng.
Gọi là giao của với . Khi đó là những điểm chung của hai mặt phẳng và nên chúng thẳng hàng. Tương tự, thẳng hàng.
Vậy đồng quy tại .
Vì là hình thoi nên vuông góc với và cắt tại là trung điểm của mỗi đường. là trung điểm của và vuông góc với và , do đó các đoạn thẳng , và đôi một vuông góc với nhau cắt nhau tại trung điểm của chúng.
Cách khác:
Giả sử bát diện đều có cạnh bằng
cách đều và suy ra cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
Trong mp , ta có
là hình thoi
và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Chứng minh tương tự ta suy ra và và vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
b) Ta có tứ giác là hình thoi.
Do vuông góc và nên .
Từ đó suy ra hình thoi là hình vuông. Tương tự là những hình vuông.
Cách khác:
Gọi trung điểm .
Mà
⇒ Hình thoi là hình vuông.
Chứng minh tương tự: đều là hình vuông.
Lý thuyết Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều
1. Khối đa diện lồi
Khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của luôn thuộc . Khi đó đa diện giới hạn được gọi là đa diện lồi.
Cách định nghĩa khác: Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó.
2. Khối đa diện đều
Một khối đa diện lồi được gọi là khối đa diện đều loại nếu:
a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều cạnh.
b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng mặt.
Nhận xét
+) Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều và bằng nhau.
+) Có năm loại khối đa diện đều. Đó là các khối đa diện đều loại , loại , loại , loại , và loại .
Tùy theo số mặt của chúng, năm loại khối đa diện đều kể trên theo theo thứ tự được gọi là khối đa diện đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều.
Khối đa diện đều loại có đỉnh, cạnh và mặt thì:
- Khi trải phẳng các khối đa diện đều trên ta sẽ được các hình vẽ sau:
- Định lý Ơ-le: Mọi khối đa diện lồi đều có , ở đó lần lượt là số đỉnh, số cạnh, số mặt của khối đa diện.