Tìm kiếm
Lớp 12 Giải SGK, SBT, Chuyên đề Toán... Giải Toán 12 Bài 1: Số phức

Giải Toán 12 Bài 1: Số phức

74 lượt xem
Bài trước
Bài sau  

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 1: Số phức chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Số phức lớp 12.

Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 1: Số phức

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 130 SGK Giải tích 12: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: -3+5i; 4-i2; 0+πi; 1+0i

Phương pháp giải:

Số phức z=a+bi có phần thực là a và phần ảo là b.

Lời giải:

Số phức

Phần thực

Phần ảo

−3+5i

−3

5

4−i2

4

−2

0+πi

0

π

1+0i

1

0
Trả lời câu hỏi 2 trang 131 SGK Giải tích 12: Viết số phức z có phần thực 12, phần ảo bằng −32

Phương pháp giải:

Số phức có phần thực a và phần ảo b được viết là z=a+bi.

Lời giải:

Số phức đó là: z=12−32i

Trả lời câu hỏi 3 trang 132 SGK Giải tích 12: a) Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ các số phức sau: 3–2i,−4i,3

b) Các điểm biểu diễn số thực, số thuần ảo nằm ở đâu trên mặt phẳng tọa độ ?

Phương pháp giải:

Điểm M(a;b) biểu diễn số phức z=a+bi.

Lời giải:

Điểm biểu diễn số phức z=3−2i là A(3;−2).

Điểm biểu diễn số phức z=−4i là B(0;−4).

Điểm biểu diễn số phức z=3 là C(3;0).

b)

Các điểm biểu diễn số thực nằm trên Ox, các điểm biểu diễn số ảo nằm trên Oy

Trả lời câu hỏi 4 trang 132 SGK Giải tích 12: Số phức nào có môđun bằng 0?

Lời giải:

Số phức là môđun bằng 0 là z=0+0i.

Trả lời câu hỏi 5 trang 132 SGK Giải tích 12: Biểu diễn các cặp số phức sau trên mặt phẳng tọa độ và nêu nhận xét:

a) 2+3i và 2–3i;

b) −2+3i và −2–3i.

Lời giải:

a)

Hai điểm đối xứng nhau qua Ox.

b)

Hai điểm đối xứng nhau qua Ox.

Trả lời câu hỏi 6 trang 133 SGK Giải tích 12: Cho z=3–2i.

a) Hãy tính z¯;z¯¯. Nêu nhận xét.

b) Tính |z|;|z¯|. Nêu nhận xét.

Phương pháp giải:

a) Số phức z=a+bi có số phức liên hợp là z=a−bi.

b) Số phức z=a+bi có mô đun |z|=a2+b2

Lời giải:

a)

z¯=3+2i;z¯¯=3−2i

Vậy z¯¯=z

b)

|z|=32+(−2)2=13

|z¯|=32+22=13

Vậy z=z¯

Câu hỏi và bài tập (trang 133, 134 SGK Giải tích 12)

Bài 1 trang 133 SGK Giải tích 12: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết:

a) z=1−πi; 

b) z=2−i;

c) z=22; 

d) z=−7i. 

Phương pháp giải:

Cho số phức z=a+bi với a,b∈R.

Ta có a được gọi là phần thực của số phức z và  b được gọi là phần ảo của số phức z.

Lời giải:

a)

z=1−πi=1+(−π).i

Phần thực: 1, phần ảo −π;        

b)

z=2−i=2+(−1).i

Phần thực: 2, phần ảo −1;            

c)

z=22=22+0.i

Phần thực 22, phần ảo 0;          

d)

z=−7i=0+(−7)i

Phần thực 0, phần ảo −7.

Bài 2 trang 133 SGK Giải tích 12: Tìm các số thực x và y, biết:

a) (3x−2)+(2y+1)i=(x+1)−(y−5)i

b) (1−2x)−i3=5+(1−3y)i

c) (2x+y)+(2y−x)i =(x−2y+3)+(y+2x+1)i

Phương pháp giải:

Cho hai số phức: z1=a1+b1i và z2=a2+b2i. 

Khi đó: z1=z2⇔{a1=a2b1=b2.

Lời giải:

a)

Từ định nghĩa bằng nhau của hai số phức, ta có:

(3x−2)+(2y+1)i=(x+1)−(y−5)i  ⇔{3x−2=x+12y+1=−(y−5)

⇔{2x=33y=4

⇔{x=32y=43.

Vậy (x;y)=(32;43).

b)

Từ định nghĩa bằng nhau của hai số phức, ta có:

(1−2x)−i3=5+(1−3y)i

⇔{1−2x=51−3y=−3

⇔{2x=1−53y=1+3

⇔{x=1−52y=1+33.

Vậy (x;y)=(1−52;1+33).

c)

Từ định nghĩa bằng nhau của hai số phức, ta có:

(2x+y)+(2y−x)i=(x−2y+3)+(y+2x+1)i

⇔{2x+y=x−2y+32y−x=y+2x+1⇔{x+3y=3−3x+y=1

⇔{x=0y=1.

Vậy (x;y)=(0;1).

Bài 3 trang 134 SGK Giải tích 12: Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:

a) Phần thực của z bằng −2;

b) Phần ảo của z bằng 3;

c) Phần thực của z thuộc khoảng (−1;2);

d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1;3];

e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [−2;2].

Phương pháp giải:

Cho số phức z=x+yi,(x,y∈R). Khi đó trên mặt phẳng toạ độ Oxy, điểm M(x;y) là điểm biểu diễn hình học của số phức z.

Lời giải:

a)

Giả sử z=x+yi (x,y∈R), khi đó trên mặt phẳng toạ độ Oxy, điểm M(x;y) biểu diễn số phức z.

Phần thực của z bằng −2, tức là x=−2,y∈R.

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x=−2 trên mặt phẳng toạ độ Oxy 

b)

Giả sử z=x+yi (x,y∈R), khi đó trên mặt phẳng toạ độ Oxy, điểm M(x;y) biểu diễn số phức z.

Phần ảo của số phức z bằng 3 nên x∈R và y=3.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng y=3 trên mặt phẳng Oxy.

c)

Giả sử z=x+yi (x,y∈R), khi đó trên mặt phẳng toạ độ Oxy, điểm M(x;y) biểu diễn số phức z.

Ta có x∈(−1;2) và y∈R.

Vậy tập hợp số phức z cần tìm là các điểm nằm giữa hai đường thẳng x=−1 và x=2 trên mặt phẳng Oxy 

d)

Giả sử z=x+yi (x,y∈R), khi đó trên mặt phẳng toạ độ Oxy, điểm M(x;y) biểu diễn số phức z.

Ta có x∈R và y∈[1;3]

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là phần mặt phẳng nằm giữa hai đường thẳng y=1 và y=3 (kể cả các điểm trên hai đường đó). 

e)

Giả sử z=x+yi (x,y∈R), khi đó trên mặt phẳng toạ độ Oxy, điểm M(x;y) biểu diễn số phức z.

Ta có x∈[−2;2] và y∈[−2;2]

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là phần mặt phẳng thuộc hình vuông (kể cả cạnh) được giới hạn bởi bốn đường thẳng x=2;x=−2;y=2;y=−2.

Bài 4 trang 134 SGK Giải tích 12: Tính |z| với:

a) z=−2+i3;

b) z=2−3i;

c) z=−5;   

d) z=i3.

Phương pháp giải:

Cho số phức z=x+yi,(x,y∈R). Khi đó modun của số phức z được tính bởi công thức: |z|=x2+y2.

Lời giải:

a)

|z|=(−2)2+(3)2=7

b)

|z|=(2)2+(−3)2=11;

c)

|z|=(−5)2=5; 

d)

|z|=(3)2=3

Bài 5 trang 134 SGK Giải tích 12: Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:

a) |z|=1; 

b) |z|≤1;

c) 1<|z|≤2;   

d) |z|=1 và phần ảo của z bằng 1.

Phương pháp giải:

+) Giả sử z=x+yi,(x,y∈R), khi đó trên mặt phẳng toạ độ Oxy, điểm M(x;y) biểu diễn số phức z.

+) |z|=x2+y2.

+) Phương trình đường thẳng có dạng: ax+by+c=0.

+) Phương trình đường tròn có dạng: (x−a)2+(y−b)2=R2.

Lời giải:

a)

Ta có |z|=1 ⇔x2+y2=1⇔x2+y2=1.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm O, bán kính bằng 1.

b)

Ta có |z|≤1 ⇔x2+y2≤1⇔x2+y2≤1.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là hình tròn tâm O, bán kính bằng 1 (kể cả các điểm trên đường tròn).

c)

Ta có 1<|z|≤2 ⇔1<x2+y2≤2 ⇔1<x2+y2≤4.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là phần nằm giữa đường tròn tâm O, bán kính bằng 1 (không kể điểm trên đường tròn này) và đường tròn tâm O, bán kính bằng 2 (kể cả các điểm trên đường tròn này).

d)

Ta có |z|=1 ⇔x2+y2=1 ⇔x2+y2=1 và phần ảo của z bằng 1 tức y=1. Suy ra x=0 và y=1.

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là điểm A(0;1).

Bài 6 trang 134 SGK Giải tích 12: Tìm z¯, biết:

a) z=1−i2; 

b) z=−2+i3.

c) z=5;  

d) z=7i. 

Phương pháp giải:

Cho số phức z=a+bi,(a,b∈R). Khi đó số phức liên hợp của z là: z¯=a−bi.

Lời giải:

a)

z¯=1+i2;              

b)

z¯=−2−i3;            

c)

 z¯=5;                           

d)

z¯=−7i.

Lý thuyết Bài 1: Số phức

Kiến thức cơ bản

- Số phức z=a+bi có phần thực là a, phần ảo là b (a,b∈R và i2=−1)

- Số phức bằng nhau a+bi=c+di⇔a=c và b=d

- Số phức z=a+bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ.

- Độ dài của OM→ là môđun của số phức z, kí hiệu là |z|=OM→=a2+b2

- Số phức liên hợp của z=a+bi và z¯=a−bi.

Chú ý

- Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có R⊂C.

- Số phức bi (b∈R) là số thuần ảo (phần thực bằng 0)

- Số i được gọi là đơn vị ảo.

- Số phức viết dưới dạng z=a+bi (a,b∈R), gọi là dạng đại số của số phức.

- Ta có: |z¯|=|z|

            z=z¯⇔z là số thực.

            z=−z¯⇔z là số ảo.

Sơ đồ tư duy về số phức

 

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước
Bài sau