Giải Toán 12 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức lớp 12.

Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 134 SGK Giải tích 12: Theo quy tắc cộng, trừ đa thức (coi i là biến), hãy tính:

(3+2i)+(5+8i);

(7+5i)(4+3i);

Lời giải:

(3+2i)+(5+8i)=(3+5)+(2+8)i=8+10i.

(7+5i)(4+3i)=(74)+(53)i=3+2i.

Trả lời câu hỏi 2 trang 135 SGK Giải tích 12: Theo quy tắc nhân đa thức với chú ý i2=1, hãy tính (3+2i)(2+3i).

Lời giải:

(3+2i)(2+3i) =3.2+3.3i+2i.2+2i.3i =6+9i+4i6=13i.

Trả lời câu hỏi 3 trang 135 SGK Giải tích 12: Hãy nêu các tính chất của phép cộng và phép nhân số phức.

Phương pháp giải:

Phép cộng và nhân số phức có đầy đủ tính chất của phép cộng, nhân số thực.

Lời giải:

* Các tính chất của phép cộng:

- Giao hoán: z+z=z+z

- Kết hợp: z1+(z2+z3) =(z1+z2)+z3=z1+z2+z3

* Các tính chất của phép nhân:

- Giao hoán: z.z=z.z

- Kết hợp: z1.(z2.z3) =(z1.z2).z3=z1.z2.z3

* Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng: z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

Câu hỏi và bài tập (trang 135, 136 SGK Giải tích 12)
Bài 1 trang 135 SGK Giải tích 12: Thực hiện các phép tính sau:

a) (35i)+(2+4i);

b) (23i)+(17i);

c) (4+3i)(57i);

d) (23i)(54i)

Phương pháp giải:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i

Lời giải:

a)

(35i)+(2+4i) =(3+2)+(5i+4i)=5i

b)

(23i)+(17i) =(21)+(3i7i)=310i

c)

(4+3i)(57i) =(45)+(3i+7i)=1+10i

d)

(23i)(54i) =(25)+(3i+4i)=3+i

Bài 2 trang 136 SGK Giải tích 12: Tính α+β,αβ, biết:

a) α=3,β=2i

b) α=12i,β=6i.

c) α=5i,β=7i

d) α=15,β=42i

Phương pháp giải:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i

Lời giải:

a)

α+β=3+2iαβ=32i

b)

α+β=12i+6i=1+4i

αβ=12i6i=18i

c)

α+β=5i+(7i)=2i

αβ=5i(7i)=12i   

d)

α+β=15+42i=192i

αβ=15(42i)=11+2i

Bài 3 trang 136 SGK Giải tích 12: Thực hiện các phép tính sau:

a) (32i)(23i);   

b) (1+i)(3+7i);

c) 5(4+3i)   

d) (25i).4i 

Phương pháp giải:

(a+bi).(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i

Lời giải:

a)

(32i)(23i)=3.22i.23.3i+2i.3i=64i9i+6i2=613i6=13i

b)

(1+i)(3+7i)=1.3+3i1.7i+7i2=3+3i7i7=(37)+(37)i=104i

c)

5(4+3i)=5.4+5.3i=20+15i

d)

(25i).4i=2.4i5i.4i =8i20i2=8i+20

Bài 4 trang 136 SGK Giải tích 12: Tính i3,i4,i5.

Nêu cách tính in với n là một số tự nhiên tuỳ ý.

Phương pháp giải:

Phân tích i3=i2.i;i4=i3.i;i5=i4.i, sử dụng quy ước i2=1.

Lời giải:

i3=i2.i=1.i=ii4=i3.i=i.i=i2=1i5=i4.i=1.i=i.

Ta có: 

Với n=4k thì in=i4k=(i4)k=1k=1

Với n=4k+1 thì in=i4k+1=i4k.i=1.i=i

Với n=4k+2 thì i4k+2=i4k.i2=1.(1)=1

Với n=4k+3 thì i4k+3=i4k.i3=1.(i)=i

Vậy i4k=1, i4k+1=i,i4k+2=1,i4k+3=i.

Bài 5 trang 136 SGK Giải tích 12: Tính:

a) (2+3i)2

b) (2+3i)3

Phương pháp giải:

Sử dụng các hằng đẳng thức: 

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

với lưu ý rằng i2=1.

Lời giải:

a)

(2+3i)2=22+2.2.3i+(3i)2=4+12i+9i2=4+12i9=5+12i

b)

(2+3i)3=23+3.22.3i+3.2.(3i)2+(3i)3=8+36i+54i2+27i3=8+36i+54.(1)+27.(i)=8+36i5427i=46+9i

Lý thuyết Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

Kiến thức cơ bản

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i;

(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i.

Nhận xét

- Phép cộng và phép nhân số phức được thực hiện tương tự như đối với số thực, với chú ý  i2=1 .

- Với mọi z,zC, ta có:

z+z¯=2a (với z=a+bi)

z+z¯ = z¯+z¯

z.z¯=|z|2=|z¯|2

zz¯=z¯.z¯

|zz|=|z|.|z|

|z+z||z|+|z|.

Sơ đồ tư duy về số phức