Giải Toán 12 Bài 2: Mặt cầu

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 2: Mặt cầu chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Mặt cầu lớp 12.

Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 2: Mặt cầu

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 43 SGK Hình học 12: Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua hai điểm cố định A và B cho trước.

Lời giải:

Do tâm mặt cầu cách đều hai điểm A, B nên tập hợp tâm cần tìm chính là tập hợp các điểm cách đều hai điểm A, B.

Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua hai điểm cố định A và B cho trước là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Trả lời câu hỏi 2 trang 45 SGK Hình học 12: a) Hãy xác định đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (α) biết rằng khoảng cách từ tâm O đến (α) bằng r2

b) Cho mặt cầu S(O; r), hai mặt phẳng (α) và (β) có khoảng cách đến tâm O của mặt cầu đã cho lần lượt là a và b (0 < a < b < r). Hãy so sánh hai bán kính của các đường tròn giao tuyến.

Phương pháp giải:

- Dựng hình, tính bán kính của từng đường tròn giao tuyến bằng cách áp dụng định lý Pi-ta-go.

- Từ đó kết luận cho từng câu a, b.

Lời giải:

a)

Xét tam giác OAH vuông tại H có OA=r,OH=r2 nên: HA=OA2OH2 =r2r24=r32.

Vậy đường tròn giao tuyến có bán kính r32.

b)

 

Xét tam giác OHA vuông tại H có HA=OA2OH2 =r2a2

Xét tam giác OKB vuông tại K có KB=OB2OK2 =r2b2

Mà 0<a<b<r nên 0<r2b2<r2a2 r2b2<r2a2 hay KB<HA.

Vậy đường tròn cắt bởi (β) có bán kính nhỏ hơn bán kính đường tròn cắt bởi (α).

Trả lời câu hỏi 3 trang 48 SGK Hình học 12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu:

a) Đi qua 8 đỉnh của hình lập phương.

b) Tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương.

c) Tiếp xúc với 6 mặt của hình lập phương.

Lời giải:

a) Tâm mặt cầu là giao điểm các đường chéo chính.

Bán kính mặt cầu là OA=12AC

Đường chéo hình vuông cạnh a là AC=a2

Xét tam giác vuông ACC tại C:

Ta có: AC=AC2+CC2 =(a2)2+a2=a3

Do đó AO=12AC=a32.

Vậy bán kính mặt cầu đi qua 8 đỉnh hình lập phương cạnh a là R=a32.

b)

Vì ABCDA'B'C'D' là hình lập phương nên các tứ giác: ABC’D’ , BCD’A’, CDA’B’, DAB’C’, AA’C’C, BB’D’D là các hình chữ nhật bằng nhau.

Xét hình chữ nhật ABC’D’ ta có:

O là trung điểm của AC’ và BD’ OA=OB=OC=OD

ΔOAB=ΔOCDd(O,AB)=d(O,CD)=BC2=a22

Tương tự ta cũng chứng minh được khoảng cách từ O đến các cạnh còn lại là a22

Suy ra tồn tại mặt cầu tâm O, bán kính a22 tiếp xúc với 12 cạnh.

Vậy mặt cầu (O,a22) tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương.

c) Tâm mặt cầu tiếp xúc 6 mặt của hình lập phương là trung điểm I của đường nối hai tâm đáy.

Bán kính mặt cầu là r=12AA =a2

Trả lời câu hỏi 4 trang 48 SGK Hình học 12: Cho hình lập phương ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước. Hãy tính thể tích của hình lập phương đó.
Phương pháp giải:

Dựng hình, nhận xét cạnh hình lập phương và tính thể tích.

Lời giải:

Hình lập phương ngoại tiếp mặt cầu bán kính r có cạnh bằng 2r

Thể tích hình lập phương đó là: V=(2r)3=8r3.

Câu hỏi và bài tập (trang 49 SGK Hình học 12)
Bài 1 trang 49 SGK Hình học 12: Tìm tập hợp tất cả các điểm trong không gian luôn luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông.

Phương pháp giải:

+) Trong tam giác vuông có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

+) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

Lời giải:

Gọi O là trung điểm đoạn thẳng AB, vì tam giác AMB vuông tại M nên trung tuyến MO bằng nửa cạnh huyền, tức MO=AB2=R.

Vậy tập hợp các điểm M nhìn AB dưới một góc vuông nằm trên mặt cầu đường kính AB

Ngược lại, lấy M thuốc mặt cầu đường kính AB thì MO=AB2.

Do đó nếu M khác A và B  thì tam giác MAB vuông tại M, còn khi MA hoặc MB ta cũng coi M nhìn AB một góc vuông.

Kết luận: Tập hợp các điểm M trong không gian nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là mặt cầu đường kính AB.

Bài 2 trang 49 SGK Hình học 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng đính lý Pi-ta-go để tính các cạnh và tìm tâm, tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Lời giải:

Gọi I=ACBD

Ta có ABCD là hình vuông cạnh a nên ta có:  AC=BD=AB2=a2.

ΔASC có SA2+SC2=a2+a2=2a2=AC2 nên là tam giác vuông cân tại S.

Tương tự tam giác SBD cũng vuông cân tại S.

1SI2=1SA2+1SC2 =1a2+1a2=2a2SI=a22.

IA=IB=IC=ID=IS=a22

Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD có tâm I và bán kính R=a22.

Cách khác:

Có thể tính IS như sau:

IS=SA2AI2 =a22a24=a22

Từ đó ta cũng kết luận được I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính bằng a22.

Bài 3 trang 49 SGK Hình học 12: Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước.
Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất của mặt cầu để làm bài.

Lời giải:

Gọi O là tâm của mặt cầu chứa đường tròn (C) cố định cho trước.

⇒ O cách đều tất cả các điểm M thuộc đường tròn (C)

⇒ O nằm trên đường thẳng đi qua tâm của đường tròn (C) và vuông góc với mặt phẳng chứa (C).

Kết luận: Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước là đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của nó.

Bài 4 trang 49 SGK Hình học 12: Tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.

Lời giải:

* Lấy một mặt cầu bất kì (S) thỏa mãn ycđb.

Giả sử (S) có  tâm J, bán kính R và tiếp xúc với ba cạnh: AB,BC,AC lần lượt tại M,NvàP.

Gọi I là hình chiếu vuông góc của J lên mp (ABC)IJ(ABC). Ta sẽ chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

* Ta có: {JMABJIABIMAB (định lí 3 đường vuông góc)

Chứng minh tương tự có:INBC,IPAC (1)

* Xét ba tam giác JIM;JINvàJIP có:

JIM^=JIN^=JIP^=900

JI chung

JN=JM=JP=R

⇒ JIM=JIN=JIP (ch- cgv)

⇒ IN=IM=IP (2)

Từ (1) và (2) suy ra, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Vậy J thuộc đường thẳng d qua I, vuông góc với mp (ABC)

* Ngược lại lấy điểm J bất kì thuộc d, ta chứng minh tồn tại mặt cầu tâm J tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác ABC.

Gọi  M,NvàP lần lượt là hình chiếu của I xuống 3 cạnh  AB,BCvàCA

Ta có: {IMABJIABJMAB

JNBC,JPAC (1)

Mặt khác; IM=IN=IP=r.

⇒ JIM=JIN=JIP (c-g-c)

⇒ JM=JN=JP (2)

Từ (1) và (2) suy ra, mặt cầu (S) tâm J, bán kính JM  tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC.

Vậy tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC cho trước là đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của ∆ABC và vuống góc với mp (ABC)

Bài 5 trang 49 SGK Hình học 12: Từ một điểm M nằm nằm bên ngoài mặt cầu S(O;r) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A,B và C,D.

a) Chứng minh rằng MA.MB=MC.MD.

b) Gọi MO=d. Tính MA.MB theo r và d.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các tam giác đồng dạng để chứng minh các tỉ lệ giữa các cạnh. Từ đó suy ra tích cần chứng minh.

+) Sử dụng định lý Pi-ta-go và tỉ lệ vừa chứng minh ở câu a để tính đại lượng cần tính.

Lời giải:

a)

Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng đã cho. Mặt phẳng(P) cắt mặt cầu S(O;r) theo một đường tròn tâm I, là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P).

Xét hai tam giác MAD và MCB có:

+) B^=D^ (Hai góc cùng chắn một cung)

+) M^ chung

ΔMAD đồng dạng với ΔMCB.

MAMC=MDMB (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

MA.MB=MC.MD(dpcm)

b) Đặt MO=d, ta có OI vuông góc với (P) và ta có:

OM2=MI2=OI2;OA2=OI2+IA2

Hạ IH vuông góc AB, ta có H là trung điểm của AB.

Ta có MA=MHHAMB=MH+HB=MH+HA.

MA.MB=MH2HA2 =(MH2+HI2)(HA2+IH2) =MI2IA2 =(MI2+OI2)(IA2+OI2) =OM2OA2 =d2r2

Vậy MA.MB=d2r2.

Bài 6 trang 49 SGK Hình học 12: Gọi mặt cầu S(O;r) tiếp xúc với (P) tại I. Gọi M là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với I qua tâm O. Từ M kẻ hai tiếp tuyến cắt của mặt cầu cắt (P) tại A và B. Chứng minh rằng AMB^=AIB^.
Phương pháp giải:

+) Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.

+) Chứng minh hai tam giác bằng nhau suy ra các góc tương ứng bằng nhau.

Lời giải:

Do mặt cầu S(O; r) tiếp xúc với mp (P) tại I nên: OI ⊥ (P) ⇒ OI ⊥ IA

Suy ra, AI là tiếp tuyến của mặt cầu đã cho tại điểm I.

Theo tính chất của mặt cầu, ta có AI và AM là hai tiếp tuyến với cầu kẻ từ A, cho nên AI=AM, tương tự BI=BM

Hai tam giác ABI và ABM bằng nhau (c.c.c)

AMB^=AIB^ (Hai góc tương ứng).

Bài 7 trang 49 SGK Hình học 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AA=a,AB=b,AD=c.

a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó.

b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên.

Phương pháp giải:

a) Xác định tâm và bán kính của hình hộp dựa vào tính chất các đường chéo của hình hộp thì bằng nhau

b) Đường tròn cần tìm là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.

Lời giải:

a) Trong hình hộp chữ nhật, bốn đường chéo AC,BD,CAvàDB cắt nhau tại điểm I là trung điểm của mỗi đường.

Vì 4 đường chéo trong hình hộp chữ nhật bằng nhau, nên điểm I cách đều 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật. Nó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp.

Vì AB=b,AD=c,AA=a nên bán kính mặt cầu R=12AC

ΔAAC vuông tại A nên theo Pitago ta có: AC2=AA2+AC2

ΔABC vuông tại B nên theo Pitago ta có: AC2=AB2+BC2 =b2+c2

Do đó

AC2=AA2+AC2=a2+b2+c2AC=a2+b2+c2R=AC2=a2+b2+c22

b) Giao tuyến của mặt phẳng(ABCD) với mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. Nên bán kính của đường trong giao tuyến là: 

r=12AC=12b2+c2

Bài 8 trang 49 SGK Hình học 12: Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện tứ diện bằng nhau.
Phương pháp giải:

Gọi các tiếp điểm và sử dụng tính chất tiếp tuyến cắt nhau của mặt cầu để chứng minh.

Lời giải:

Giả sử tứ diện ABCD có mặt cầu tiếp xúc với cả 6 cạnh của tứ diện; tiếp xúc với AB,BC,CD,AD,AC,BD lần lượt tại M,N,P,Q,R,S. Vì các đoạn thẳng kẻ từ một điểm đến tiếp điểm của các tiếp tuyến đó bằng nhau, nên ta có:

{AM=AR=AQBM=BN=BSCN=CP=CRDP=DQ=DS

Ta chứng minh: AB+CD=AC+BD=AD+BC.

Ta có

AM+MB+CP+PD=AR+RC+BS+SD

=AQ+QD+BN+NC

Hay:  AB+CD=AC+BD=AD+BC.

Bài 9 trang 49 SGK Hình học 12: Cho một điểm A cố định và một đường thẳng a cố định không đi qua A. Gọi O là một điểm thay đổi trên a. Chứng minh rằng các mặt cầu tâm O và bán kính r=OA luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.

Lời giải:

Xét mặt phẳng (P) qua điểm A và (P) vuông góc với đường thẳng a. Goi giao của (P) với a là điểm H.

Xét mặt cầu tâm O bán kính r=OA; mặt cầu này giao với mặt phẳng (P) theo đường tròn tâm H là hình chiếu vuông góc của O lên (P) và bán kính HA cố định.

Bài 10 trang 49 SGK Hình học 12: Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA=a,SB=b,SC=c và ba cạnh SA,SB,SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo bởi mặt cầu đó.
Phương pháp giải:

+) Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính r là: S=4πr2.

+) Công thức tính thể tích mặt cầu bán kính r là: V=43πr3.

Lời giải:

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác S.ABC. Hạ IJ vuông góc (SAB), vì I cách đều 3 điểm S,A,B nên J cũng cách đều 3 điểm S,A,B.

Vì tam giác SAB vuông đỉnh S nên J là trung điểm của AB.

Ta có SJ=12AB=12a2+b2

Do SC vuông góc (SAB) nên IJ//SC.

Gọi H là trung điểm SC, ta có SC=SI nên IHSC.

Xét tứ giác SHIJ ta có: SHI^=900 do IHSC

HSJ^=900 do SC(SAB) chứa SJ;

IJS^ do IJ(SAB) chứa SJ

Suy ra tứ giác SHIJ là hình chữ nhật.

SH=IJ=c2.

Do vậy, IS2=IJ2+SJ2=(a2+b2+c2)4 và  bán kính hình cầu ngoại tiếp S.ABC là 

R=IS=12a2+b2+c2

Diện tích mặt cầu là:

S=4πR2=π(a2+b2+c2)

Thể tích khối cầu là :
V=43πR3=16π(a2+b2+c2)32.
Cách khác tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC
Phương pháp:
Bước 1: Dựng trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB (Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (SAB) tại tâm đường tròn)
Bước 2: Dựng mặt phẳng trung trực của SC.
Bước 3. Tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC là giao của trục và mặt phẳng trên
Giải chi tiết
Gọi Δ là đường trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB. Khi đó Δ đi qua trung điểm J của AB và vuông góc với (SAB). Ta lại có SC(SAB)

Δ//SC

Do đó mọi điểm trên Δ cách đều S,A,B. (Theo bài 3)

Dựng mặt phẳng trung trực của SC cắt Delta tại I. 

Khi đó ta có: IS=IC.

IΔIA=IS=IB. Vậy I là tâm đường tròn ngoại tiếp S.ABC

Lý thuyết Bài 2: Mặt cầu

1. Định nghĩa

Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi r(r>0) được gọi là một mặt cầu tâm O bán kính r.

Kí hiệu: S(O;R)={M|OM=R}

* Cho mặt cầu S(O;r) và điểm A trong không gian.

- Nếu OA=r thì điểm A nằm trên mặt cầu

- Nếu OA<r thì điểm A nằm trong mặt cầu.

- Nếu OA>r thì điểm A nằm ngoài mặt cầu.

2. Tính chất

Nếu điểm A ngoài mặt cầu S(O;r) thì:

- Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu.

- Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.

- Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.

3. Giao của mặt cầu với mặt phẳng

Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R và mặt phẳng (P), gọi H là hình chiếu của O trên (P).

+ Nếu OH<R thì (S) cắt (P) theo đường tròn tâm H và bán kình r=R2OH2.

+ Nếu OH=R thì (S) tiếp xúc (P) tại tiếp điểm H.

+ Nếu OH>R thì (S) và (P) không có điểm chung.

Đặc biệt: Nếu OH=0(OH) thì đường tròn giao tuyến của (P) và (S) được gọi là đường tròn lớn, (P) được gọi là mặt phẳng kính.

4. Giao của mặt cầu với đường thẳng.

Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R và đường thẳng d, gọi H là hình chiếu của O trên d.

+ Nếu OH<R thì (S) cắt d tại 2 điểm phân biệt.

+ Nếu OH=R thì (S) cắt d tại một điểm duy nhất H. (d là tiếp tuyến với mặt cầu, H là tiếp điểm)

+ Nếu OH>R thì (S) và d không có điểm chung.

5. Tiếp tuyến với mặt cầu (Đọc thêm)

- Qua một điểm nằm trong mặt cầu không vẽ được tiếp tuyến nào với mặt cầu.

- Qua một điểm nằm trên mặt cầu vẽ được vô số tiếp tuyến với mặt cầu tại điểm đó. Tập hợp các tiếp tuyến chính là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu.

- Qua một điểm nằm ngoài mặt cầu vẽ được vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Tập hợp các tiếp điểm với mặt cầu là đường tròn nằm trên mặt cầu.

6. Công thức diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

Mặt cầu bán kính r có diện tích là S=4πr2.
Khối cầu bán kính r có thể tích là V=43πr3
Sơ đồ tư duy về mặt cầu
Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp đa diện

1. Các khái niệm cơ bản

- Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu nó đi qua mọi đỉnh của đa diện.

- Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu nó tiếp xúc với mọi mặt của đa diện.

- Trục đa giác đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.

+ Mọi điểm nằm trên trục đa giác đáy thì cách đều các đỉnh của đa giác đáy và ngược lại. 

- Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn 
thẳng đó.

+ Mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng và ngược lại.

2. Mặt cầu nội, ngoại tiếp một số đa diện cơ bản

- Hình hộp chữ nhật có mặt cầu ngoại tiếp, hình lập phương có cả mặt cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp.

- Hình chóp nội tiếp được mặt cầu nếu và chỉ nếu đáy của nó là đa giác nội tiếp được đường tròn.

+ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông.

- Hình chóp đều:

Bán kính: R=b22h với b là độ dài cạnh bên,

h là chiều cao hình chóp.

- Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy:

Bán kính R=r2+h24 với r là bán kính đường tròn đáy, h là chiều cao hình chóp.

Đặc biệt: tứ diện vuông: R=a2+b2+c24 với a,b,c là ba cạnh bên xuất phát từ đỉnh các góc vuông.

- Lăng trụ nội tiếp được mặt cầu nếu nó là lăng trụ đứng và đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn.

Bán kính R=r2+h24 với  r là bán kính đường tròn đáy, h là chiều cao lăng trụ đứng.

3. Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

Cho mặt cầu (S) có bán kính R, khi đó:

- Công thức tính diện tích mặt cầu: S=4πR2

- Công thức tính thể tích khối cầu: V=43πR3