Giải Toán 12 Bài 2: Mặt cầu

Lời giải:

Do tâm mặt cầu cách đều hai điểm A, B nên tập hợp tâm cần tìm chính là tập hợp các điểm cách đều hai điểm A, B.

Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua hai điểm cố định A và B cho trước là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

b) Cho mặt cầu S(O; r), hai mặt phẳng (α) và (β) có khoảng cách đến tâm O của mặt cầu đã cho lần lượt là a và b (0 < a < b < r). Hãy so sánh hai bán kính của các đường tròn giao tuyến.

Phương pháp giải:

- Dựng hình, tính bán kính của từng đường tròn giao tuyến bằng cách áp dụng định lý Pi-ta-go.

- Từ đó kết luận cho từng câu a, b.

Dựng hình, nhận xét cạnh hình lập phương và tính thể tích.

Lời giải:

Hình lập phương ngoại tiếp mặt cầu bán kính $r$ có cạnh bằng $2r$

Thể tích hình lập phương đó là: $V=(2r{)}^3=8r^3$.

Phương pháp giải:

+) Trong tam giác vuông có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

+) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

Lời giải:

Gọi $O$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$, vì tam giác $AMB$ vuông tại $M$ nên trung tuyến $MO$ bằng nửa cạnh huyền, tức $MO=\frac{AB}{2}=R$.

Vậy tập hợp các điểm $M$ nhìn $AB$ dưới một góc vuông nằm trên mặt cầu đường kính $AB$

Ngược lại, lấy $M$ thuốc mặt cầu đường kính $AB$ thì $MO=\frac{AB}{2}$.

Do đó nếu $M$ khác $A$ và $B$  thì tam giác $MAB$ vuông tại $M$, còn khi $M\equiv A$ hoặc $M\equiv B$ ta cũng coi $M$ nhìn $AB$ một góc vuông.

Kết luận: Tập hợp các điểm $M$ trong không gian nhìn đoạn thẳng $AB$ dưới một góc vuông là mặt cầu đường kính $AB$.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng đính lý Pi-ta-go để tính các cạnh và tìm tâm, tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Lời giải:

Gọi $I=AC\cap BD$. 

Ta có ABCD là hình vuông cạnh $a$ nên ta có:  $AC=BD=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}.$

$\mathrm{\Delta }ASC$ có $S{A}^2+S{C}^2=a^2+a^2=2a^2=A{C}^2$ nên là tam giác vuông cân tại $S$.

Tương tự tam giác SBD cũng vuông cân tại S.

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{S{I}^2}}={\displaystyle \frac{1}{S{A}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{S{C}^2}}$ $={\displaystyle \frac{1}{a^2}}+{\displaystyle \frac{1}{a^2}}={\displaystyle \frac{2}{a^2}}\Rightarrow SI={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}.$

$\Rightarrow IA=IB=IC=ID=IS={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}$

Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $SABCD$ có tâm $I$ và bán kính $R={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}.$

Cách khác:

Có thể tính IS như sau:

$IS=\sqrt{S{A}^2-A{I}^2}$ $=\sqrt{a^2-{\displaystyle \frac{2a^2}{4}}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}$

Từ đó ta cũng kết luận được I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính bằng ${\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}$.

Sử dụng các tính chất của mặt cầu để làm bài.

Gọi O là tâm của mặt cầu chứa đường tròn (C) cố định cho trước.

⇒ O cách đều tất cả các điểm M thuộc đường tròn (C)

⇒ O nằm trên đường thẳng đi qua tâm của đường tròn (C) và vuông góc với mặt phẳng chứa (C).

Kết luận: Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước là đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của nó.

Bài 4 trang 49 SGK Hình học 12: Tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.

Lời giải:

* Lấy một mặt cầu bất kì (S) thỏa mãn ycđb.

Giả sử (S) có  tâm J, bán kính R và tiếp xúc với ba cạnh: $AB,BC,AC$ lần lượt tại $M,NvàP$.

Gọi I là hình chiếu vuông góc của J lên mp $(ABC)\Rightarrow IJ\perp (ABC)$. Ta sẽ chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

* Ta có: $\{\begin{array}{l}JM\mathrm{\perp }AB\\ JI\mathrm{\perp }AB\end{array}\Rightarrow IM\mathrm{\perp }AB$ (định lí 3 đường vuông góc)

Chứng minh tương tự có:$IN\mathrm{\perp }BC,IP\mathrm{\perp }AC$ (1)

* Xét ba tam giác $JIM;JINvàJIP$ có:

$\widehat{JIM}=\widehat{JIN}=\widehat{JIP}={90}^0$

$JI$ chung

$JN=JM=JP=R$

⇒ $∆JIM=∆JIN=∆JIP$ (ch- cgv)

⇒ $IN=IM=IP$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Vậy J thuộc đường thẳng d qua I, vuông góc với mp (ABC)

* Ngược lại lấy điểm J bất kì thuộc d, ta chứng minh tồn tại mặt cầu tâm J tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác ABC.

Gọi  $M,NvàP$ lần lượt là hình chiếu của I xuống 3 cạnh  $AB,BCvàCA$

Ta có: $\{\begin{array}{l}IM\mathrm{\perp }AB\\ JI\mathrm{\perp }AB\end{array}\Rightarrow JM\mathrm{\perp }AB$

$JN\mathrm{\perp }BC,JP\mathrm{\perp }AC$ (1)

Mặt khác; $IM=IN=IP=r$.

⇒ $∆JIM=∆JIN=∆JIP$ (c-g-c)

⇒ $JM=JN=JP$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra, mặt cầu (S) tâm J, bán kính JM  tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC.

Vậy tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC cho trước là đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của ∆ABC và vuống góc với mp (ABC)

+) Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.

+) Chứng minh hai tam giác bằng nhau suy ra các góc tương ứng bằng nhau.

Do mặt cầu S(O; r) tiếp xúc với mp (P) tại I nên: OI ⊥ (P) ⇒ OI ⊥ IA

Suy ra, AI là tiếp tuyến của mặt cầu đã cho tại điểm I.

Theo tính chất của mặt cầu, ta có $AI$ và $AM$ là hai tiếp tuyến với cầu kẻ từ $A$, cho nên $AI=AM$, tương tự $BI=BM$

Hai tam giác $ABI$ và $ABM$ bằng nhau (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{AMB}=\widehat{AIB}$ (Hai góc tương ứng).

Bài 7 trang 49 SGK Hình học 12: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A{A}^{\prime }=a,AB=b,AD=c$.

Gọi các tiếp điểm và sử dụng tính chất tiếp tuyến cắt nhau của mặt cầu để chứng minh.

Giả sử tứ diện $ABCD$ có mặt cầu tiếp xúc với cả $6$ cạnh của tứ diện; tiếp xúc với $AB,BC,CD,AD,AC,BD$ lần lượt tại $M,N,P,Q,R,S$. Vì các đoạn thẳng kẻ từ một điểm đến tiếp điểm của các tiếp tuyến đó bằng nhau, nên ta có:

$\{\begin{array}{c}AM=AR=AQ\\ BM=BN=BS\\ CN=CP=CR\\ DP=DQ=DS\end{array}$

Ta chứng minh: $AB+CD=AC+BD=AD+BC$.

Ta có

$AM+MB+CP+PD$$=AR+RC+BS+SD$

$=AQ+QD+BN+NC$

Hay:  $AB+CD=AC+BD=AD+BC$.

Lời giải:

Xét mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A$ và $(P)$ vuông góc với đường thẳng $a$. Goi giao của $(P)$ với $a$ là điểm $H$.

Xét mặt cầu tâm $O$ bán kính $r=OA$; mặt cầu này giao với mặt phẳng $(P)$ theo đường tròn tâm $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $(P)$ và bán kính $HA$ cố định.

+) Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính $r$ là: $S=4\pi r^2.$

+) Công thức tính thể tích mặt cầu bán kính $r$ là: $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3.$

Gọi $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác $S.ABC$. Hạ $IJ$ vuông góc $(SAB)$, vì $I$ cách đều $3$ điểm $S,A,B$ nên $J$ cũng cách đều $3$ điểm $S,A,B$.

Vì tam giác $SAB$ vuông đỉnh $S$ nên $J$ là trung điểm của $AB$.

Ta có $SJ=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}$

Do $SC$ vuông góc $(SAB)$ nên $IJ//SC$.

Gọi $H$ là trung điểm $SC$, ta có $SC=SI$ nên $IH\mathrm{\perp }SC$.

Xét tứ giác $SHIJ$ ta có: $\widehat{SHI}={90}^0$ do $IH\mathrm{\perp }SC$; 

$\widehat{HSJ}={90}^0$ do $SC\mathrm{\perp }(SAB)$ chứa $SJ$;

$\widehat{IJS}$ do $IJ\mathrm{\perp }(SAB)$ chứa $SJ$

Suy ra tứ giác $SHIJ$ là hình chữ nhật.

$\to SH=IJ=\frac{c}{2}$.

Do vậy, $I{S}^2=I{J}^2+S{J}^2=\frac{(a^2+b^2+c^2)}{4}$ và  bán kính hình cầu ngoại tiếp $S.ABC$ là 

$R=IS=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Diện tích mặt cầu là:

$S=4\pi R^2=\pi (a^2+b^2+c^2)$

1. Định nghĩa

Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm $O$ cố định một khoảng không đổi $r(r>0)$ được gọi là một mặt cầu tâm $O$ bán kính $r$.

Kí hiệu: $S\left(O;R\right)=\left\{M|OM=R\right\}$

* Cho mặt cầu $S(O;r)$ và điểm $A$ trong không gian.

- Nếu $OA=r$ thì điểm $A$ nằm trên mặt cầu

- Nếu $OA<r$ thì điểm $A$ nằm trong mặt cầu.

- Nếu $OA>r$ thì điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu.

2. Tính chất

Nếu điểm $A$ ngoài mặt cầu $S(O;r)$ thì:

- Qua $A$ có vô số tiếp tuyến với mặt cầu.

- Độ dài các đoạn thẳng nối $A$ với các tiếp điểm đều bằng nhau.

- Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.

3. Giao của mặt cầu với mặt phẳng

Cho mặt cầu $\left(S\right)$ tâm $O$, bán kính $R$ và mặt phẳng $\left(P\right)$, gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $\left(P\right)$.

+ Nếu $OH<R$ thì $\left(S\right)$ cắt $\left(P\right)$ theo đường tròn tâm $H$ và bán kình $r=\sqrt{R^2-O{H}^2}$.

+ Nếu $OH=R$ thì $\left(S\right)$ tiếp xúc $\left(P\right)$ tại tiếp điểm $H$.

+ Nếu $OH>R$ thì $\left(S\right)$ và $\left(P\right)$ không có điểm chung.

Đặc biệt: Nếu $OH=0\left(O\equiv H\right)$ thì đường tròn giao tuyến của $\left(P\right)$ và $\left(S\right)$ được gọi là đường tròn lớn, $\left(P\right)$ được gọi là mặt phẳng kính.

4. Giao của mặt cầu với đường thẳng.

Cho mặt cầu $\left(S\right)$ tâm $O$, bán kính $R$ và đường thẳng $d$, gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $d$.

+ Nếu $OH<R$ thì $\left(S\right)$ cắt $d$ tại $2$ điểm phân biệt.

+ Nếu $OH=R$ thì $\left(S\right)$ cắt $d$ tại một điểm duy nhất $H$. ($d$ là tiếp tuyến với mặt cầu, $H$ là tiếp điểm)

+ Nếu $OH>R$ thì $\left(S\right)$ và $d$ không có điểm chung.

5. Tiếp tuyến với mặt cầu (Đọc thêm)

- Qua một điểm nằm trong mặt cầu không vẽ được tiếp tuyến nào với mặt cầu.

- Qua một điểm nằm trên mặt cầu vẽ được vô số tiếp tuyến với mặt cầu tại điểm đó. Tập hợp các tiếp tuyến chính là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu.

- Qua một điểm nằm ngoài mặt cầu vẽ được vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Tập hợp các tiếp điểm với mặt cầu là đường tròn nằm trên mặt cầu.

6. Công thức diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

Mặt cầu bán kính $r$ có diện tích là $S=4\pi r^2$.

Khối cầu bán kính $r$ có thể tích là $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$

Sơ đồ tư duy về mặt cầu