Giải Toán 12 Ôn tập chương II - Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

a) Đường tròn qua ba điểm $A,B,C$ nằm trên mặt cầu.

b) $AB$ là một đường kính của mặt cầu đã cho.

c) $AB$ không  phải là đường kính của mặt cầu.

d) $AB$ là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng $(ABC)$

Lời giải:

Câu a) đúng ba điểm $A,B,C$ xác định một mặt phẳng $(ABC)$, giao tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ với mặt cầu là một đường tròn, do đó đường tròn đi qua ba điểm $A,B,C$ nằm trên mặt cầu.

Câu d) đúng vì trong đường tròn giao tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ với mặt cầu là một đường tròn, với giả thiết $\widehat{ACB}={90}^0$ suy ra $AB$ là đường kính của đường tròn giao tuyến.

Câu b) và c) sai vì chưa kết luận được $AB$ là đường kính của mặt cầu hay không là đường kính của mặt cầu.

$AD\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\Rightarrow AD\mathrm{\perp }AB\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABD$ vuông tại A.

Vì $∆ABD$ vuông góc tại $A$, nên khi quay $BDA$ quanh $AB$ ta được hình nón tròn xoay đường cao $h=AB=a$ và bán kính đáy bằng $r=AD=a$.

Gọi $l$ là độ dài đường sinh của hình nón ta có: $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$

Vậy $S_{xq}=\pi rl=\pi .a.a\sqrt{2}=\pi a^2\sqrt{2},$ $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi .a^2.a={\displaystyle \frac{\pi a^3}{3}}$

Giả sử ta có hình chóp $S.A_1{A}_2{A}_3...A_n$ với $A_1{A}_2{A}_3...A_n$ là đa giác đáy.

Ta có: $S{A}_1=S{A}_2=S{A}_3=...=S{A}_n$

Kẻ  $SH$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Dễ thấy: $\mathrm{\Delta }SH{A}_1=\mathrm{\Delta }SH{A}_2=\mathrm{\Delta }SH{A}_3=...=\mathrm{\Delta }SH{A}_n$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow H{A}_1=H{A}_2=H{A}_3=...=H{A}_n$ 

$\Rightarrow$ H là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy $A_1{A}_2{A}_3...A_n$

Xét tam giác $\mathrm{\Delta }SH{A}_1$, kẻ đường trung trực của cạnh $S{A}_1$, đường này cắt $SH$ ở điểm $I$

$\Rightarrow IA=IS$.

Xét $\mathrm{\Delta }SI{A}_1,\mathrm{\Delta }SI{A}_2,\mathrm{\Delta }SI{A}_3,...,\mathrm{\Delta }SI{A}_n$ ta có:

$\begin{array}{l}IS\text{ chung}\\ S{A}_1=S{A}_2=...=S{A}_n\\ \widehat{SI{A}_1}=\widehat{SI{A}_2}=...=\widehat{SI{A}_n}\end{array}\}$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }SI{A}_1=\mathrm{\Delta }SI{A}_2=...=\mathrm{\Delta }SI{A}_n$

$\Rightarrow I{A}_1=I{A}_2=I{A}_3=...=I{A}_n=IS$

 hay điểm $I$ cách đều các đỉnh của hình chóp, do đó $I$ là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp.

Lời giải:

Gọi $M,N,P$ theo thứ tự là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh $SA,SB,SC$; $D,E,F$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CA$, các điểm $D,E,F$ đồng thời cũng là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh $AB,BC,CA$.

Ta có:

$AD=AF$ (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  $\Rightarrow AB=AC$

Tương tự: $BD=BE\Rightarrow BC=AB$

$\Rightarrow AB=BC=CA$ hay $△ABC$ là tam giác đều  (1)

Lại có $AM=AD;BN=BD=AD$

và $SM=SN=SP$

$\Rightarrow SM+AM=SN+NB$ hay $SA=SB$

Chứng minh tương tự ta có: $SA=SB=SC$.     (2)

Từ (1) và (2) suy ra hình chóp $S.ABC$ là chóp tam giác đều.

Lời giải:

* Xác định mặt cầu ngoại tiếp

+ $\mathrm{\Delta }$ là trục của mp đáy

Ta có $ABCD$ là hình vuông nên $O$ là tâm đường tròng ngoại tiếp hv $ABCD$ .

Lại có: $O\in \mathrm{\Delta };\mathrm{\Delta }\mathrm{\perp }ABCD$ 

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }$ là trục của mp đáy

+ Xác định tâm $I$

Do $\mathrm{\Delta }$ là trục của hình vuông $ABCD$, nên $I$ thuộc $\mathrm{\Delta }$.

Ta có: $ABCD$ là hình vuông cạnh a $\Rightarrow AC=a\sqrt{2}\Rightarrow OC={\displaystyle \frac{1}{2}}AC={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}$

Mà $SO={\displaystyle \frac{a}{2}<OC}$ nên $I$ thuộc phần kéo dài của tia $SO$.

+ Tìm bán kính $R$

Ta có: $SI=IC\Rightarrow {\displaystyle \frac{a}{2}+OI=\sqrt{O{I}^2+O{C}^2}}$

$\Rightarrow {\left({\displaystyle \frac{a}{2}+OI}\right)}^2=O{I}^2+{\displaystyle \frac{a^2}{2}}$

$\Rightarrow O{I}^2+a.OI+{\displaystyle \frac{a^2}{4}=O{I}^2+{\displaystyle \frac{a^2}{2}}}$

$\Rightarrow OI={\displaystyle \frac{a}{4}\Rightarrow R=SI=SO+OI={\displaystyle \frac{3a}{4}}}$

Vậy tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ thuộc tia $SO$ mà $SI=R=$ ${\displaystyle \frac{3a}{4}}$ ; ($R$ là bán kính hình cầu).

Khi đó diện tích mặt cầu là: $S=4\pi R^2={\displaystyle \frac{9}{4}\pi a^2}$ (đvdt)

Thể tích của khối cầu là: $V={\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^3={\displaystyle \frac{9}{16}\pi a^3}}$ (đvdt)

Cách khác:

Gọi $H$ là trung điểm cạnh $SA$

Trong  mặt phẳng $(SAO)$, đường trung trực của đoạn $SA$ cắt đường thẳng $SO$ tại $I$, ta có:

$\mathrm{\Delta }SAO$ đồng dạng với $\mathrm{\Delta }SIH$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{SA}{SO}}={\displaystyle \frac{SI}{SH}}\iff SI={\displaystyle \frac{SA.SH}{SO}}={\displaystyle \frac{S{A}^2}{2SO}}$

Mà $S{A}^2=S{O}^2+O{A}^2$

$\begin{array}{l}\Rightarrow S{A}^2={\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{3a^2}{4}}\\ \Rightarrow SA={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}\end{array}$

Khi đó: $SI=\frac{\frac{3a^2}{4}}{2.\frac{a}{2}}={\displaystyle \frac{3a}{4}}$

Lại có: 

$\begin{array}{l}IS=IA\\ IA=IB=IC=ID={\displaystyle \frac{3a}{4}}\end{array}\}\Rightarrow IS={\displaystyle \frac{3a}{4}}$

Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ có tâm là $I$ và bán kính $R=IS={\displaystyle \frac{3a}{4}}$

Diện tích mặt cầu là: $S=4\pi R^2=4\pi {\left({\displaystyle \frac{3a}{4}}\right)}^2={\displaystyle \frac{9\pi a^2}{4}}$

Thể tích khối cầu là: $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^2={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi {\left({\displaystyle \frac{3a}{4}}\right)}^3={\displaystyle \frac{9\pi a^2}{16}}$

(A) ${\displaystyle \pi a^2}$;                            (B) ${\displaystyle \pi a^2\sqrt{2}}$ ;

(C) ${\displaystyle \pi a^2\sqrt{3}}$;                      (D) ${\displaystyle \frac{\pi {\mathrm{a}}^2\sqrt{2}}{2}}$.

Lời giải:

Xét tam giác vuông ABC có: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$

Hình trụ là hình ngoại tiếp hình vuông cạnh $a$ nên có đường kính $a\sqrt{2}$ đường cao của hình trụ là $a$ $\Rightarrow R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow S_{xq}=2\pi Rh=2\pi .\frac{a\sqrt{2}}{2}.a=\pi a^2\sqrt{2}$

Chọn (B).

(A) $\pi b^2$;                           (B) $\pi b^2\sqrt{2}$ ;

(C) $\pi b^2\sqrt{3}$ ;                     (D) $\pi b^2\sqrt{6}$.

Lời giải:

Hình nón tạo bởi khi quay $A{C}^{\prime }$ xung quanh $A{A}^{\prime }$ có đường sinh $l=A{C}^{\prime }$ và bán kính đáy $r=C^{\prime }{A}^{\prime }$

Xét tam giác vuông $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có: $A^{\prime }{C}^{\prime }=\sqrt{A^{\prime }B{}^{\prime 2}+B^{\prime }C{}^{\prime 2}}=\sqrt{b^2+b^2}=b\sqrt{2}=r$

Xét tam giác vuông $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }$ có: $A{C}^{\prime }=\sqrt{AA{}^{\prime 2}+A^{\prime }C{}^{\prime 2}}=\sqrt{b^2+2b^2}=b\sqrt{3}=l$

Vậy $S_{xq}=\pi rl=\pi b\sqrt{2}.b\sqrt{3}=\pi b^2\sqrt{6}$

Chọn (D).

(A) $\frac{2(a+b+c)}{3}$ ;              (B) 2$\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

(C) $\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ ;  (D) $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Lời giải:

Tâm $I$ của mặt cầu đi qua $A,B,C,S$ là giao của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và mặt phẳng trung trực của $SA$

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên trục đường tròn $Mx$ với $M$ là trung điểm của $BC$.

Bán kính mặt cầu $R=IA$ 

$MI=\frac{1}{2}SA=\frac{a}{2}$, $AM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+c^2}$

Xét tam giác vuông $IAM$ có: $R=IA=\sqrt{I{M}^2+A{M}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2+c^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Chọn (C).

(A) Mặt nón;                         (B) Mặt trụ;

(C) Mặt cầu;                         (D) Mặt phẳng.

Lời giải:

Ta có: $\widehat{MAB}=\alpha (0<\alpha <{90}^o)$

Vậy $M$ thuộc mặt nón đỉnh là $A$, trục là đường thẳng $AB$ và góc ở đỉnh bằng $2\alpha$.

(A) 0 ;                                         (B) 1 ;

(C) 2 ;                                         (D) vô số.

Lời giải:

Chọn (D) vô số.

Chẳng hạn: 

(A) Hình chóp tam giác (tứ diện)

(B) Hình chóp ngũ giác đều;

(C) Hình chóp tứ giác;

(D) Hình hộp chữ nhật.

Lời giải:

Chọn (C).

Nhận xét:

Giả sử hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp, khi đó mặt phẳng đáy luôn cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn.

Hơn nữa, đường tròn này là đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (vì các đỉnh của đa giác đáy cũng là giao điểm của mp đáy và mặt cầu).

Như vậy Nếu hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp thì đa giác đáy phải có đường tròn ngoại tiếp.

Trong 4 đáp án: 

(A) Hình chóp tam giác (tứ diện)

(B) Hình chóp ngũ giác đều;

(C) Hình chóp tứ giác;

(D) Hình hộp chữ nhật.

Thì tam giác, ngũ giác và hình chữ nhật đều luôn luôn có đường tròn ngoại tiếp, còn tứ giác (thường) không luôn luôn có đường tròn ngoại tiếp.

Nói cách khác hình chóp tứ giác không luôn luôn có mặt cầu ngoại tiếp.

(A) 1;                                (B) 2;

(C) 3;                                (D) 4.

Lời giải:

Khi quay các cạnh tứ diện đó xung quanh trục là cạnh $AB$ ta được hai hình nón.

Hình nón khi quay BD quanh cạnh AB là hình nón đỉnh B, bán kính đáy AD, chiều cao AB.

Hình nón khi quay AC quanh cạnh AB là hình nón đỉnh A, bán kính đáy BC, chiều cao AB.

Ta có: $\{\begin{array}{l}BC\mathrm{\perp }BD\\ BC\mathrm{\perp }AD\end{array}$ $\Rightarrow BC\mathrm{\perp }\left(ABD\right)\Rightarrow BC\mathrm{\perp }AB$.

Do đó khi quay quanh cạnh AB thì BC vạch nên một hình tròn chứ không tạo nên hình nón.

Tương tự khi quay AD quanh cạnh AB ta cũng không tạo nên được hình nón.

CD không cắt AB nên khi quay CD quanh cạnh AB ta cũng không tạo nên được hình nón.

Vậy có hai hình nón được tạo thành.

Chọn B.

(A) $\frac{\pi a^2\sqrt{3}}{3}$                          (B) $\frac{\pi a^2\sqrt{2}}{2}$

(C) $\frac{\pi a^2\sqrt{3}}{2}$                          (D) $\frac{\pi a^2\sqrt{6}}{2}$

Lời giải:

Vì $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình vuông cạnh $a$ nên $A^{\prime }{C}^{\prime }=a\sqrt{2}$.

Gọi $O^{\prime }$ là tâm của hình vuông $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ thì $O^{\prime }{A}^{\prime }=\frac{1}{2}{A}^{\prime }{C}^{\prime }=\frac{a\sqrt{2}}{2}=SA$

Xét tam giác vuông $SA{A}^{\prime }$ có: $S{A}^{\prime }=\sqrt{S{A}^2+AA{}^{\prime 2}}=\sqrt{\frac{a^2}{2}+a^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

Hình nón có đường sinh $l=S{A}^{\prime }=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ và và bán kính đáy $r=O^{\prime }{A}^{\prime }=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ nên có diện tích xung quanh là:

$S_{xq}=\pi .\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{2}=\frac{\pi a^2\sqrt{3}}{2}$

Chọn (C).

(A) $\pi a^2$ ;                                 (B) $2\pi a^2$ ;

(C) $\frac{1}{2}\pi a^2$ ;                        (D) $\frac{3}{4}\pi a^2$.

Lời giải:

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ quay xung quanh đường cao $AH$ ta được một hình nón đỉnh A, bán kính đáy BH và đường cao AH.

Hình nón sinh ra có bán kính đáy $r=\frac{a}{2}$ đường sinh $l=a$ nên có diện tích xung quanh là: $S_{xq}=\pi rl=\pi \frac{a}{2}.a=\frac{\pi a^2}{2}$

Chọn (C).

(A) Mặt trụ và mặt nón có chứa các đường thẳng.

(B) Mọi hình chóp luôn nội tiếp trong mặt cầu.

(C) Có vô số mặt phẳng cắt mặt cầu theo những đường tròn bằng nhau.

(D) Luôn có hai đường tròn có bán kính khác nhau cùng nằm trên một mặt nón.

Lời giải:

Chọn (B) 

*A đúng vì các đường sinh là các đường nằm trên mặt trụ, mặt nón.

*B sai vì chỉ khi hình chóp có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn thì mới có mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

*C đúng vì các mặt phẳng cách đều tâm mặt cầu thì cắt mặt cầu theo những đường tròn bằng nhau.

*D đúng vì tồn tại có hai đường tròn có bán kính khác nhau và cùng nằm trên một mặt nón.

(A) Diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ.

(B) Diện tích mặt cầu bằng ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ diện tích toàn phần của hình trụ.

(C) Thể tích khối cầu bằng ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ thể tích khối trụ.

(D) Thể tích khối cầu bằng ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ thể tích khối trụ.

Lời giải:

Mặt cầu có đường kính ${\displaystyle 2r}$ nên có bán kính là ${\displaystyle r}$ và có diện tích:

${\displaystyle S=4\pi r^2}$ và ${\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^3}$

Mặt trụ có bán kính ${\displaystyle r}$ và chiều cao ${\displaystyle 2r}$ nên có:

${\displaystyle S_{xq}=2\pi rh=2\pi .r.2r=4\pi r^2}$;

${\displaystyle S_{tp}=S_{xq}+S_{2d}=4\pi r^2+2\pi r^2=6\pi r^2}$;

${\displaystyle V=\pi r^{2}h=\pi .r.2r=2\pi r^3}$.

Do đó A, B, D đúng.

Chọn (C).

(A) ${\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$;

(B) ${\displaystyle \sqrt{a^2+b^2+c^2}}$;

(C) ${\displaystyle \sqrt{2(a^2+b^2+c^2)}}$;

(D) ${\displaystyle \frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{3}}$.

Lời giải:

Gọi $O$ là tâm của hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có các kích thước $AB=a;AD=b;A{A}^{\prime }=c$ thì $O$ chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đó. Do đó bán kính của mặt cầu này là $R=OA=\frac{1}{2}A{C}^{\prime }$.

Xét tam giác vuông $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có: $A^{\prime }C{}^{\prime 2}=A^{\prime }B{}^{\prime 2}+B^{\prime }C{}^{\prime 2}=a^2+b^2$

$A{A}^{\prime }\mathrm{\perp }\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\right)\Rightarrow A{A}^{\prime }\mathrm{\perp }{A}^{\prime }{C}^{\prime }\Rightarrow \mathrm{\Delta }A{A}^{\prime }{C}^{\prime }$ vuông tại A', do đó:

$\begin{array}{l}A{C}^{\prime }=\sqrt{AA{}^{\prime 2}+A^{\prime }C{}^{\prime 2}}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\ \Rightarrow R=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{array}$

Chọn (A).

(A) $\frac{1}{2}{a}^3\pi$ ;                         (B) $\frac{1}{4}{a}^3\pi$ ;

(C) $\frac{1}{3}{a}^3\pi$ ;                         (D) $a^3\pi$.

Lời giải:

Giả sử ta vẽ được một hình trụ thỏa mãn yêu cầu bài toán như trên, ta có chiều cao của khối trụ $h=a$ và bán kính đáy của khối trụ $R={\displaystyle \frac{a}{2}}$.

$\Rightarrow V=\pi R^{2}h=\pi .{\displaystyle \frac{a^2}{4}}.a={\displaystyle \frac{1}{4}}{a}^3\pi$

Chọn (B)

(A) $\frac{1}{2}\pi a^2\sqrt{3}$ ;             (B) $\frac{1}{3}\pi a^2\sqrt{2}$ ;

(C) $\frac{1}{3}\pi a^2\sqrt{3}$ ;             (D) $\pi a^2\sqrt{3}$ .

Lời giải:

Giả sử có tứ diện đều $SABC$ , hình nón có đỉnh trùng với $S$  và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bán kính đường tròn đáy bằng $\frac{2}{3}$ độ dài trung tuyến $ABC$

$r=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Đường sinh hình nón bằng cạnh $SA=a$. 

Diện tích xung quanh của hình nón là:

$S_{xq}=\pi rl=\frac{1}{3}\pi a^2\sqrt{3}$

Chọn (C).

(A) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình tứ diện bất kì.

(B) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp đều.

(C) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình hộp.

(D) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình hộp chữ nhật.

Lời giải:

Đáp án A: Đúng vì hình tứ diện là hình chóp tam giác nên đáy nội tiếp được đường tròn hay có một mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Đáp án B: Đáy của hình chóp đều là một đa giác đều nên luôn nội tiếp đường tròn hay có một mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều.

Đáp án C: Sai vì nếu đáy của hình hộp là hình bình hành thì không nội tiếp được đường tròn.

Đáp án D: Hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật nội tiếp được đường tròn nên có một mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật.

Chọn C.