Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 2: Tích phân chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Tích phân lớp 12.
Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 2: Tích phân
Trả lời câu hỏi giữa bài
a) Tính diện tích của hình khi (H.46).
c) Chứng minh rằng là một nguyên hàm của và diện tích .
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức tính diện tích hình thang là:
Lời giải:
a)
(Hình 46)
Kí hiệu là điểm có tọa độ là điểm có tọa độ . lần lượt là giao điểm của đường thẳng và với đường thẳng .
- Khi đó và sẽ có tọa độ lần lượt là và .
- Ta có: . Diện tích hình thang:
b)
Kí hiệu là điểm có tọa độ , là điểm có tọa độ . B, C\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng và với đường thẳng .
- Khi đó ta có và .
- Ta có .
- Khi đó diện tích hình thang:
Do đó
c)
Vì nên hàm số là một nguyên hàm của hàm số .
Dễ thấy hay .
Lời giải:
- Vì và đều là nguyên hàm của nên tồn tại một hằng số sao cho:
- Khi đó .
Lời giải:
Tính chất 1:
+) Nếu thì tính chất đúng.
+) Nếu thì
Do đó và
Từ đó suy ra .
Tính chất 2:
Giả sử lần lượt là các nguyên hàm của hai hàm số .
Ta có:
Khi đó .
Lại có .
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Trả lời câu hỏi 4 trang 108 SGK Giải tích 12: Cho tích phâna) Tính bằng cách khai triển
b) Đặt . Biến đổi biểu thức thành .
Lời giải:
a)
b)
Vì nên . Ta có:
c)
. Ta có:
Vậy
Lời giải:
a)
Đặt
b)
Vì là một nguyên hàm của hàm số nên
a)
b)
c)
d)
e)
g)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng
b) Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng:
c) Sử dụng phân tích: sau đó sử dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng: .
d) Nhân đa thức và áp dụng công thức nguyên hàm: .
e) Phân tích đa thức trong tích phân dưới dạng : và sử dụng các công thức nguyên hàm:
g) Cách 1: Chứng minh hàm số là hàm số lẻ và áp dụng công thức (Với f(x) là hàm số lẻ, .
Cách 2: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.
Lời giải:
a)
b)
c)
Ta có:
.
d)
e)
g)
Cách 1:
Đặt ta có:
hàm số đã cho là hàm số lẻ, từ đó ta có:
.
Cách 2:
a)
Phương pháp giải:
a) Phá dấu giá trị tuyệt đối.
b) Sử dụng công thức hạ bậc:
Lời giải:
a)
Ta có:
b)
c)
d)
a) (Đặt )
Phương pháp giải:
a) Đặt và sử dụng công thức nguyên hàm cỏ bản:
b) Đặt
Sử dụng công thức hạ bậc:
Sử dụng công thức nguyên hàm:
Lời giải:
a)
Đặt và .
Đổi cận:
b)
Đặt , . Ta có:
và
Đổi cận:
c)
Đặt:
.
Đổi cận:
d)
Đặt
Đổi cận:
.
a)
b)
c) ;
d)
Phương pháp giải:
Phương pháp tích phân từng phần: .
a) Đặt
Lời giải:
a)
Đặt
b)
Đặt
c)
Đặt
d)
Đặt
Đặt .
.
Vậy .
a) ;
b)
c)
Phương pháp giải:
a) .
b) +) Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn phân thức trong dấu tích phân.
+) Chia tử số cho mẫu số.
Lời giải:
a)
b)
c)
Đặt
a) Đổi biến số: ;
b) Tính tích phân từng phần.
Phương pháp giải:
a) Đổi biến thành bằng cách: Đặt .
Lời giải:
a)
Đặt
.
Đổi cận:
b)
Đặt
1. Khái niệm và tính chất
a. Định nghĩa
Cho hàm số liên tục trên đoạn . Giả sử là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn , hiệu số được gọi là tích phân từ đến (hay tích phân xác định trên đoạn của hàm số .
Kí hiệu là :
Vậy ta có :
Chú ý : Trong trường hợp a = b, ta định nghĩa:
Trường hợp a>b, ta định nghĩa:
Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là :
(vì đều bằng )
b. Tính chất của tích phân
( với là hằng số)
(với )
2. Phương pháp tinh tích phân
a. Phương pháp đổi biến số
Định lí. Cho hàm số liên tục trên . Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn sao cho và . Khi đó:
Chú ý. Có thể dử dụng phép biến đổi số ở dạng sau:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] sao cho α ≤ u(x) ≤ β, ∀ x∈ [a;b]. Nếu f(x) =g[u(x)].u’(x) ∀ x∈ [a;b], trong đó g(u) liên tục trên đoạn [α;β] thì:
b. Phương pháp tính tích phân từng phần
Định lí. Nếu u =u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b], thì :
hay
3. Bất đẳng thức (phần kiến thức bổ sung).
Nếu f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì :
Từ đó ta có:
Nếu g(x), f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và 0 ≤ g(x) ≤ f(x), ∀ x ∈ [a;b] thì
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi g(x) ≡ f(x).
Suy ra: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và m ≤ f(x) ≤ M, ∀ x ∈ [a;b] thì
1. Tính tích phân sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản
Khi tính tích phân các hàm số cơ bản (đa thức, lượng giác, mũ,...) các em cần chú ý sử dụng bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản kết hợp với công thức Leibnitz:
ở đó, là hàm liên tục trên và là một nguyên hàm của .
Bảng nguyên hàm
2. Tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Đối với các tích phân dạng , phương pháp chung là ta cố gắng phá dấu giá trị tuyệt đối hàm trên từng khoảng nhỏ nằm trong khoảng rồi tính lần lượt các tích phân đó.
1. Một số dạng toán thường gặp áp dụng phương pháp đổi biến
Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến .
- Bước 1: Đặt , đổi cận .
- Bước 2: Tính vi phân .
- Bước 3: Biến đổi thành .
- Bước 4: Tính tích phân .
Ví dụ: Tính tích phân .
Giải:
Đặt .
Đổi cận
Do đó: .
Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến .
- Bước 1: Đặt , đổi cận .
- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế .
- Bước 3: Biến đổi .
- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức
Ví dụ: Cho , nếu đặt thì:
A.
B.
C.
D.
Giải:
Đặt và
Đổi cận
Suy ra
Chọn C.
Chú ý:
Các dấu hiệu thường dùng phương pháp trên là:
Dạng 1: Tích phân có chứa hàm số logarit.
Tính tích phân (trong đó là hàm số đa thức)
Phương pháp:
- Bước 1: Đặt
- Bước 2: Tính tích phân theo công thức
Ví dụ: Tính tích phân
Giải: Đặt
Khi đó
Dạng 2: Tích phân có chứa hàm số mũ.
Tính tích phân . (trong đó là hàm số đa thức)
Phương pháp:
- Bước 1: Đặt
- Bước 2: Tính tích phân theo công thức
Ví dụ: Tính
Giải: Đặt
Khi đó
Dạng 3: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm đa thức.
Tính tích phân hoặc . (trong đó là hàm số đa thức)
Phương pháp:
- Bước 1: Đặt hoặc
- Bước 2: Tính tích phân theo công thức hoặc
Ví dụ: Tính tích phân
Giải: Đặt
Khi đó
Dạng 4: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm số mũ.
Tính tích phân hoặc .
- Bước 1: Đặt hoặc
- Bước 2: Tính tích phân theo công thức
Ví dụ: Tính
Giải: Đặt
Suy ra
Tính
Ta đặt
Suy ra
Khi đó