Giải Toán 12 Bài 2: Tích phân

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 2: Tích phân chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Tích phân lớp 12.

Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 2: Tích phân

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 101 SGK Giải tích 12: Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y=2x+1, trục hoành và hai đường thẳng x=1,x=t (1t5) (H.45).

a) Tính diện tích S của hình T khi t=5 (H.46).

b) Tính diện tích S(t) của hình T khi x[1;5]

c) Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của f(t)=2t+1,t[1;5] và diện tích S=S(5)S(1).

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tính diện tích hình thang ABCD(AB//CD) là:S=(AB+CD).h2

Lời giải:

a)

(Hình 46)

Kí hiệu A là điểm có tọa độ (1,0),D là điểm có tọa độ (5,0)B,C lần lượt là giao điểm của đường thẳng x=1 và x=5 với đường thẳng y=2x+1.

- Khi đó B và C sẽ có tọa độ lần lượt là (1,3) và (5,11).

- Ta có: AB=3,CD=11,AD=4. Diện tích hình thang:

ABCD=(AB+CD).AD2=28

b)

Kí hiệu A là điểm có tọa độ (1,0)D là điểm có tọa độ (t,0). B, C\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng x=1 và x=t với đường thẳng y=2x+1.

- Khi đó ta có B(1,3) và C(t,2t+1).

- Ta có AB=3,AD=t1,CD=2t+1.

- Khi đó diện tích hình thang:

S(t)=(AB+CD).AD2 =(3+2t+1).(t1)2 =t2+t2

Do đó S(t)=t2+t2

c)

Vì S(t)=(t2+t2) =2t+1 nên hàm số S(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t)=2t+1,t[1;5].

Dễ thấy S(5)S(1) =(52+52)(12+12) =28=S hay S=S(5)S(1).

Trả lời câu hỏi 2 trang 104 SGK Giải tích 12: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b],F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x). Chứng minh rằng F(b)F(a)=G(b)G(a), (tức là hiệu số F(b)F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm).

Lời giải:

- Vì F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của f(x) nên tồn tại một hằng số C sao cho: F(x)=G(x)+C

- Khi đó F(b)F(a)=G(b)+CG(a)C=G(b)G(a).

Trả lời câu hỏi 3 trang 106 SGK Giải tích 12: Hãy chứng minh các tính chất 1 và 2.

Lời giải:

Tính chất 1:

+) Nếu k=0 thì tính chất đúng.

+) Nếu k0 thì kf(x)dx=kf(x)dx=F(x) f(x)dx=F(x)k

Do đó abkf(x)dx=F(x)|ab=F(b)F(a) và kabf(x)dx=k.F(x)k|ab =F(b)F(a)

Từ đó suy ra abkf(x)dx=kabf(x)dx.

Tính chất 2:

Giả sử F(x),G(x) lần lượt là các nguyên hàm của hai hàm số f(x),g(x).

Ta có: [f(x)±g(x)]dx=f(x)dx±g(x)dx =F(x)±G(x)

Khi đó ab[f(x)±g(x)]dx=[F(x)±G(x)]|ab =[F(b)±G(b)][F(a)±G(a)] =[F(b)F(a)]±[G(b)G(a)].

Lại có abf(x)dx±abg(x)dx =F(x)|ab±G(x)|ab =[F(b)F(a)]±[G(b)G(a)].

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Trả lời câu hỏi 4 trang 108 SGK Giải tích 12: Cho tích phân I=01(2x+1)2dx

a) Tính I bằng cách khai triển (2x+1)2

b) Đặt u=2x+1. Biến đổi biểu thức (2x+1)2dx thành g(u)du.

c) Tính u(0)u(1)g(u)du và so sánh kết quả với I trong câu 1.

Lời giải:

a)

I=01(2x+1)2dx=01(4x2+4x+1)dx=(43x3+2x2+x)|01=133

b)

Vì u=2x+1 nên du=2dx. Ta có:

(2x+1)2dx=u2du2

c)

u(1)=3;u(0)=1. Ta có:

u(0)u(1)g(u)du=13u2du2=u36|13=133

Vậy I=133

Trả lời câu hỏi 5 trang 110 SGK Giải tích 12: a) Hãy tính (x+1)exdx bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
b) Từ đó tính 01(x+1)exdx

Lời giải:

a)

Đặt {u=x+1dv=exdx{du=dxv=ex (x+1)exdx=(x+1)exexdx =(x+1)exex+C =xex+C

b)

Vì F(x)=xex là một nguyên hàm của hàm số f(x)=(x+1)ex nên

01(x+1)exdx=xex|01 =1.e10.e0=e

Câu hỏi và bài tập (trang 112, 113 SGK Giải tích 12)
Bài 1 trang 112 SGK Giải tích 12:Tính các tích phân sau:

a) 1212(1x)23dx

b) 0π2sin(π4x)dx

c) 1221x(x+1)dx

d) 02x(x+1)2dx

e) 12213x(x+1)2dx

g) π2π2sin3xcos5xdx

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng (ax+b)ndx=1a(ax+b)n+1n+1+C

b) Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng:

sin(ax+b)dx=1acos(ax+b)+C

c) Sử dụng phân tích: 1x(x+1)=1x1x+1 sau đó sử dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng: 1ax+bdx=1a.ln|ax+b|+C.

d) Nhân đa thức và áp dụng công thức nguyên hàm: xndx=xn+1n+1+C.

e) Phân tích đa thức trong tích phân dưới dạng : 13x(x+1)2=Ax+1+B(x+1)2 và sử dụng các công thức nguyên hàm:

dxax+b=1aln|ax+b|+C

dx(ax+b)2=1a1ax+b+C

g) Cách 1: Chứng minh hàm số f(x)=sin3xcos5x là hàm số lẻ và áp dụng công thức aaf(x)dx=0 (Với f(x) là hàm số lẻ, aR.

Cách 2: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.

Lời giải:

a)

1212(1x)23dx=1212(1x)23dx=11.(1x)23+123+1|1212=1.(1x)5353|1212=35(1x)53|1212=35.[(12)53(32)53]=35[1253353253]=35[123.22333.32323.223]=35[1243393243]=31043(3931)

b)

0π2sin(π4x)dx

=11cos(π4x)|0π2

=cos(π4x)|0π2

=cos(π4)cosπ4=0

c)

Ta có: 1x(x+1)

=x+1xx(x+1)=x+1x(x+1)xx(x+1)

=1x1x+1

1221x(x+1)dx=122(1x1x+1)dx=(ln|x|ln|x+1|)|122=ln|xx+1||122=ln23ln13=ln(23:13)=ln2.

d)

x(x+1)2=x(x2+2x+1)=x3+2x2+x02x(x+1)2dx=02(x3+2x2+x)dx=(x44+2x33+x22)|02=(244+2.233+222)0=343

e)

13x(x+1)2=3x3+4(x+1)2=3(x+1)+4(x+1)2=3x+1+4(x+1)212213x(x+1)2dx=122(3x+1+4(x+1)2)dx=3122dxx+1+4122dx(x+1)2=3ln|x+1||1224x+1|122=3(ln3ln32)4(1323)=3ln2+43

g)

Cách 1:

Đặt f(x)=sin3xcos5x ta có:

f(x)=sin(3x)cos(5x)=sin3xcos5x=f(x)

 hàm số đã cho là hàm số lẻ, từ đó ta có:

π2π2sin3xcos5xdx=0.

Cách 2:

sin3xcos5x=12[sin(3x+5x)+sin(3x5x)]=12(sin8x+sin(2x))=12(sin8xsin2x)π2π2sin3xcos5xdx=12π2π2(sin8xsin2x)dx=12(cos8x8+cos2x2)|π2π2=12(58(58))=0

Bài 2 trang 112 SGK Giải tích 12: Tính các tích phân sau:

a) 02|1x|dx

b) 0π2sin2xdx
c) 0ln2e2x+1+1exdx
d) 0πsin2xcos2xdx

Phương pháp giải:

a) Phá dấu giá trị tuyệt đối.

b) Sử dụng công thức hạ bậc: sin2x=1cos2x2

c) Chia tử cho mẫu và sử dụng công thức: eax+bdx=1aeax+b+C
d) Sử dụng công thức hạ bậc: cos2x=1+cos2x2.

Lời giải:

a)

Ta có: |1x|=[1xkhix1x1khix>1

02|1x|dx=01|1x|dx+12|1x|dx

=01(1x)dx+12(x1)dx

=(xx22)|01+(x22x)|12=12+12=1

b)

0π2sin2xdx=120π2(1cos2x)dx=12(xsin2x2)|0π2=12.π2=π4

c)

0ln2e2x+1+1exdx=0ln2(e2x+1x+ex)dx=0ln2(ex+1+ex)dx=(ex+1ex)|0ln2=eln2+1eln2(e1)

=eln2.e1(eln2)1e+1=2.e21e+1=2e12e+1=e+12

d)

sin2xcos2x=sin2x1+cos2x2=12sin2x+12sin2xcos2x=12sin2x+14sin4x0πsin2xcos2xdx=0π(12sin2x+14sin4x)dx=(14cos2x116cos4x)|0π=14116(14116)=0

Bài 3 trang 113 SGK Giải tích 12: Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính tích phân:

a) 03x2(1+x)32dx (Đặt u=x+1

b) 011x2dx (Đặt x=sint )
c) 01ex(1+x)1+x.exdx (Đặt u=1+x.ex)
d) 0a21a2x2dx (Đặt x=asint)

Phương pháp giải:

a) Đặt u=x+1 và sử dụng công thức nguyên hàm cỏ bản:

xαdx=xα+1α+1+C(α1)

b) Đặt x=sint

Sử dụng công thức hạ bậc: cos2α=1+cos2α2

Sử dụng công thức nguyên hàm: cos(ax+b)dx=sin(ax+b)a+C

c) Đặt u=1+x.ex.
d) Đặt x=asint.

Lời giải:

a)

Đặt u=x+1du=dx và x=u1.

Đổi cận: {x=0u=1x=3u=4

03x2(1+x)32dx=14(u1)2u32du=14u22u+1u32du=14(u122u12+u32)du=(u12+112+12.u12+112+1+u32+132+1)|14=(23u324u122u12)|14=113(163)=53

b)

Đặt x=sint0<t<π2. Ta có: dx=costdt

và 1x2=1sin2t=cos2t=|cost|=cost.

Đổi cận: {x=0t=0x=1t=π2

011x2dx=0π21sin2tcostdt=0π2cos2tdt=120π2(1+cos2t)dt=12(t+sin2t2)|0π2=12.π2=π4

c)

Đặt: u=1+x.ex

du=0+(ex+x.ex)dx=ex(1+x)dx.

Đổi cận: {x=0u=1x=1u=1+e

01ex(1+x)1+xexdx=11+eduu=ln|u||11+e=ln(1+e)ln1=ln(1+e)

d)

Đặt x=asintdx=acostdt

Đổi cận: {x=0t=0x=a2t=π6

0a21a2x2dx=0π6acostdta2a2sin2t=0π6acostdta.cost=0π6dt=t|0π6=π6.

Bài 4 trang 113 SGK Giải tích 12: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính tích phân:

a) 0π2(x+1)sinxdx

b) 1ex2lnxdx

c) 01ln(1+x)dx

d) 01(x22x1)exdx

Phương pháp giải:

Phương pháp tích phân từng phần: abudv=uv|ababvdu.

a) Đặt {u=x+1dv=sinxdx

b) Đặt {u=lnxdv=x2dx
c) Đặt {u=ln(1+x)dv=dx
d) Đặt {u=x22x1dv=exdx

Lời giải:

a)

Đặt {u=x+1dv=sinxdx {du=dxv=cosx

0π2(x+1)sinxdx=(x+1)cosx|0π2+0π2cosxdx=(x+1)cosx|0π2+sinx|0π2

=(π2+1)cosπ2+(0+1)cos0+sinπ2sin0

=0+1+10=2

b) 

Đặt {u=lnxdv=x2dx {du=dxxv=x33

1ex2lnxdx=(lnx.x33)|1e131ex2dx=(lnx.x33)|1ex39|1e

=lne.e33ln1.133(e39139)=e330e39+19=2e39+19=19(2e3+1)

c)

Đặt {u=ln(1+x)dv=dx{du=dx1+xv=x

01ln(x+1)dx=(x.ln(1+x))|0101xx+1dx=(x.ln(1+x))|0101x+11x+1dx=(x.ln(1+x))|0101(11x+1)dx=(x.ln(1+x))|01(xln|x+1|)|01

=1.ln(1+1)0.ln(0+1)(1ln|1+1|0+ln|0+1|)=ln21+ln2=2ln21

d)

Đặt {u=x22x+1dv=exdx{du=(2x2)dxv=ex

01(x22x1)exdx=ex(x22x1)|01+201(x1)exdx=ex(x22x1)|01+2I1=2e11+2I1

Đặt {u=x1dv=ex{du=dxv=ex.

I1=ex(x1)|01+01exdx=ex(x1)|01ex|01=1(e11)=e1.

Vậy I=2e112e1=1.

Bài 5 trang 113 SGK Giải tích 12: Tính các tích phân sau:

a) 01(1+3x)32dx;

b) 012x31x21dx

c) 12ln(1+x)x2dx

Phương pháp giải:

a) (ax+b)n=1a(ax+b)n+1n+1+C.

b) +) Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn phân thức trong dấu tích phân.

+) Chia tử số cho mẫu số.

c) Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt {u=ln(1+x)dv=1x2dx

Lời giải:

a)

01(1+3x)32dx=13.(1+3x)32+132+1|01=215.(1+3x)52|01=215(4521)=215.31=6215

b)

012x31x21dx=012(x1)(x2+x+1)(x1)(x+1)dx=012x2+x+1x+1dx=012x(x+1)+1x+1dx=012(x+1x+1)dx=(x22+ln|x+1|)|012=18+ln32

c)

Đặt  {u=ln(1+x)dv=1x2dx{du=11+xdxv=1x

12ln(1+x)x2dx=1xln(1+x)|12+12dxx(1+x)=12ln3+ln2+12(1x11+x)dx=12ln3+ln2+ln|x1+x||12=12ln3+ln2+ln23ln12=ln13+ln2+ln23ln12

=12ln3+ln2+ln2ln3+ln2=3ln232ln3

Bài 6 trang 113 SGK Giải tích 12: Tính tích phân 01x(1x)5dx bằng hai phương pháp:

a) Đổi biến số: u=1x;

b) Tính tích phân từng phần.

Phương pháp giải:

a) Đổi biến x thành u bằng cách: Đặt u=1x.

b) Đặt {u=xdv=(1x)5dx

Lời giải:

a)

Đặt u=1x

x=1udx=du.

Đổi cận: {x=0u=1x=1u=0

01x(1x)5dx=10(1u)u5du=01(u5u6)du=(u66u77)|01=1617=142

b)

Đặt {u=xdv=(1x)5dx{du=dxv=(1x)66

01x(1x)5dx=x(1x)66|01+1601(1x)6dx=16(1x)77|01=142

Lí thuyết Bài 2: Tích phân

1. Khái niệm và tính chất

a. Định nghĩa

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b], hiệu số F(b)F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số f(x).

Kí hiệu là : abf(x)dx

Vậy ta có :abf(x)dx=F(b)F(a)=F(x)|ab

Chú ý : Trong trường hợp a = b, ta định nghĩa: aaf(x)dx=0

Trường hợp a>b, ta định nghĩa: abf(x)dx=baf(x)dx

Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là :

abf(x)dx=abf(t)dt=abf(u)du=... (vì đều bằng F(b)F(a))

b. Tính chất của tích phân

abkf(x)dx=kabf(x)dx  ( với k là hằng số)

ab[f(x)±g(x)]dx=abf(x)dx±abg(x)dx

abf(x)dx=acf(x))dx+cbf(x)dx (với a<b<c)

2. Phương pháp tinh tích phân

a. Phương pháp đổi biến số

Định lí. Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b]. Giả sử hàm số x=φ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α;β] sao cho φ(α)=a,φ(β)=b và aφ(t)b,t[α;β]. Khi đó:

abf(x)dx=αβf(φ(t))φ(t)dt

Chú ý. Có thể dử dụng phép biến đổi số ở dạng sau:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] sao cho α ≤ u(x) ≤ β, ∀ x∈ [a;b]. Nếu f(x) =g[u(x)].u’(x) ∀ x∈ [a;b], trong đó g(u) liên tục trên đoạn [α;β] thì: 

abf(x)dx=u(a)u(b)g(u)du

b. Phương pháp tính tích phân từng phần

Định lí. Nếu u =u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b], thì :

abu(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]|ababu(x)v(x)dx

hay abudv=uv|ababvdu

3. Bất đẳng thức (phần kiến thức bổ sung).

Nếu f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì : abf(x)dx0

Từ đó ta có:

Nếu g(x), f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và 0 ≤ g(x) ≤ f(x), ∀ x ∈ [a;b] thì

abg(x)dxabf(x)dx

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi g(x) ≡ f(x).

Suy ra: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và m ≤ f(x) ≤ M, ∀ x ∈ [a;b] thì

m(ba)abf(x)dxM(ba)

Tích phân các hàm số cơ bản

1. Tính tích phân sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản

Khi tính tích phân các hàm số cơ bản (đa thức, lượng giác, mũ,...) các em cần chú ý sử dụng bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản kết hợp với công thức Leibnitz:

abf(x)dx=F(b)F(a)

ở đó, f(x) là hàm liên tục trên [a;b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x).

Bảng nguyên hàm

2. Tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Đối với các tích phân dạng ab|f(x)|dx, phương pháp chung là ta cố gắng phá dấu giá trị tuyệt đối hàm f(x) trên từng khoảng nhỏ nằm trong khoảng (a;b) rồi tính lần lượt các tích phân đó.

Các dạng toán về tích phân

1. Một số dạng toán thường gặp áp dụng phương pháp đổi biến

Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến t=u(x).

- Bước 1: Đặt t=u(x), đổi cận {x=at=u(a)=ax=bt=u(b)=b .

- Bước 2: Tính vi phân dt=u(x)dx.

- Bước 3: Biến đổi f(x)dx thành g(t)dt.

- Bước 4: Tính tích phân abf(x)dx=abg(t)dt.

Ví dụ: Tính tích phân 032xx2+1dx.

Giải:

Đặt t=x2+1t2=x2+1 2tdt=2xdx.

Đổi cận {x=0t=1x=3t=2

Do đó: 032xx2+1dx=12t.2tdt=23t3|12=23(2313)=143.

Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến x=u(t).

- Bước 1: Đặt x=u(t), đổi cận {x=at=ax=bt=b.

- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế dx=u(t)dt.

- Bước 3: Biến đổi f(x)dx=f(u(t)).u(t)dt=g(t)dt.

- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức abf(x)dx=abg(t)dt

Ví dụ: Cho I=0π21x2dx, nếu đặt x=sint thì:

A. I=201(1+cos2t)dt

B. I=011cos2t2dt

C. I=011+cos2t2dt

D. I=01cos2t12dt

Giải:

Đặt x=sintdx=costdt và 1x2=1sin2t=cos2t

Đổi cận {x=0t=0x=π2t=1

Suy ra

I=0π21x2dx=01cos2tcostdt =01cos2tdt=011+cos2t2dt

Chọn C.

Chú ý:

Các dấu hiệu thường dùng phương pháp trên là:

2. Một số bài toán thường áp dụng phương pháp tích phân từng phần

Dạng 1: Tích phân có chứa hàm số logarit.

Tính tích phân mnf(x)ln(ax+b)dx  (trong đó f(x) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt {u=ln(ax+b)dv=f(x)dx{du=aax+bdxv=f(x)dx

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức mnf(x)ln(ax+b)dx=uv|mnmnvdu

Ví dụ: Tính tích phân I=1exlnxdx.

Giải: Đặt {u=lnxdv=xdx{du=dxxv=x22

Khi đó I=x2lnx2|e1121ex=e22x24|e1=e2+14

Dạng 2: Tích phân có chứa hàm số mũ.

Tính tích phân mnf(x)eax+bdx. (trong đó f(x) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt {u=f(x)dv=eax+bdx{du=f(x)dxv=1aeax+b

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức mnf(x)eax+bdx=uv|mnmnvdu

Ví dụ: Tính I=01(2x+3)exdx

Giải: Đặt {u=2x+3dv=exdx{du=2dxv=ex

Khi đóI=(2x+3)ex|01012exdx=(2x+3)ex|012ex|01=3e1.

Dạng 3: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm đa thức.

Tính tích phân mnf(x)sin(ax+b)dx hoặc mnf(x)cos(ax+b)dx. (trong đó f(x) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt {u=f(x)dv=sin(ax+b)dx{du=f(x)dxv=1acos(ax+b) hoặc {u=f(x)dv=cos(ax+b)dx{du=f(x)dxv=1asin(ax+b)

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức mnf(x)sin(ax+b)dx=uv|mnmnvdu hoặc mnf(x)cos(ax+b)dx=uv|mnmnvdu

Ví dụ: Tính tích phân I=0π4xsin2xdx

Giải: Đặt {u=xdv=sin2xdx{du=dxv=cos2x2.

Khi đóI=xcos2x2|0π4+120π4cos2xdx=xcos2x2|0π4+sin2x4|0π4=14.

Dạng 4: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm số mũ.

Tính tích phân mneax+bsin(cx+d)dx hoặc mneax+bcos(cx+d)dx.

- Bước 1: Đặt {u=eax+bdv=sin(cx+d)dx  hoặc {u=eax+bdv=cos(cx+d)dx

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức mnudv=uv|mnmnvdu

Ví dụ: Tính K=0πexcos2xdx

Giải: Đặt {u=cos2xdv=exdx{du=2sin2xdxv=ex

Suy ra K=(excos2x)|π0+20πexsin2xdx=eπ1+2M

Tính M=0πexsin2xdx

Ta đặt {u1=sin2xdv1=exdx{du1=2cos2xv1=ex

Suy ra M=(exsin2x)|π020πexcos2x=2K

Khi đó K=eπ1+2(2K)5K=eπ1K=eπ15

- Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần tích phân từng phần.
- Ở bước 1, ta cũng có thể đặt {u=eax+bdv=sin(cx+d)dx  hoặc {u=eax+bdv=cos(cx+d)dx