Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 2: Hàm số lũy thừa chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Hàm số lũy thừa lớp 12.
Bài giảng Toán học 12 Bài 2: Hàm số lũy thừa
Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 2: Hàm số lũy thừa
Lời giải:
Đồ thị của hàm số : đường màu đỏ.
Đồ thị của hàm số : đường màu xanh.
Đồ thị của hàm số : đường màu tím.
Ta có:
Tập xác định của hàm số là
Tập xác định của hàm số là .
Tập xác định của hàm số là .
Phương pháp giải:
Lời giải:
Phương pháp giải:
Lời giải:
a) ;
Phương pháp giải:
Tập xác định của hàm số lũy thừa tùy thuộc vào giá trị của :
Với là số nguyên dương, tập xác định là
Với là số nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là .
Với không nguyên, tập xác định là
Lời giải:
a)
có xác định khi và chỉ khi:
.
Vậy .
b)
có xác định khi và chỉ khi:
.
Vậy .
c)
có xác định khi và chỉ khi:
.
Vậy .
d)
có xác định khi và chỉ khi:
Vậy .
a) ;
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số lũy thừa:
Lời giải:
a)
b)
= .
c)
=
= .
d)
=
= .
a) ;
Phương pháp giải:
Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính y', tìm các điểm mà tại đó có y' bằng 0 hoặc không xác định, xét dấu y' và suy ra các chiều biến thiên của hàm số. Tìm các cực trị, các giới hạn tại vô cực và các đường tiệm cận để lập BBT của đồ thị hàm số.
Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải:
a)
Hàm số
*) Tập xác định: .
+) Sự biến thiên:
Ta có:
- Hàm số đồng biến trên khoảng
- Giới hạn đặc biệt: .
- Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
- Bảng biến thiên
*) Đồ thị: Đồ thị hàm số qua , .
b)
Hàm số
*) Tập xác định: .
*) Sự biến thiên:
Ta có:
- Hàm nghịch biến trong khoảng và .
- Giới hạn đặc biệt:
- Đồ thị hàm số nhận trục tung làm tiệm cận đứng, trục hoành làm tiệm cận ngang.
- Bảng biến thiên
*) Đồ thị:
Đồ thị qua , , , .
Hàm số đã cho là hàm số lẻ nên đồ thị có tâm đối xứng là gốc tọa độ.
a) ;
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp so sánh hai lũy thừa cùng cơ số:
Lời giải:
a)
Ta có:
Vì
Cách khác.
Ta có: nên hàm luôn đồng biến trên
Vì
b)
Ta có:
Vì
Cách khác:
Ta có : nên hàm số đồng biến trên
Vì
c)
Ta có:
Vì
Cách khác:
Ta có: nên hàm số đồng biến trên
Vì
d)
Ta có:
Vì
Cách khác:
Ta có: nên hàm số đồng biến trên
Vì
a) và ;
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp so sánh hai lũy thừa cùng số mũ:
Nếu thì
Nếu thì
Lời giải:
a)
Vì và suy ra < .
b)
Vì và < suy ra < .
c)
Vì và suy ra > .
1. Khái niệm hàm số lũy thừa
Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng . Các hàm số lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theo :
- Nếu nguyên dương thì tập các định là .
- Nếu nguyên âm hoặc thì tập các định là .
- Nếu không nguyên thì tập các định là .
Chú ý: Hàm số có tập xác định là , hàm số có tập xác định , trong khi đó các hàm đều có tập xác định . Vì vậy và ( hay và ) là những hàm số khác nhau.
2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát
- Hàm số có đạo hàm tai mọi và
- Nếu hàm số nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng thì hàm số cũng có đạo hàm trên và
3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương
Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số lũy thừa có tập xác định là và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành và nếu có đạo hàm trong khoảng .
4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên âm
Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số lũy thừa có tập xác định là và có đạo hàm tại mọi khác , công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành và
nếu có đạo hàm trong khoảng .
5. Đạo hàm của căn thức
Hàm số có thể xem là mở rộng của hàm lũy thừa (tập xác định của chứa tập xác định của và trên tập xác định của thì hai hàm số trùng nhau).
Khi lẻ thì hàm số có tập xác định . Trên khoảng ta có và , do đó .
Công thức này còn đúng cả với và hàm số không có đạo hàm tại .
Khi chẵn hàm có tập xác định là , không có đạo hàm tại và có đạo hàm tại mọi tính theo công thức:
Tóm lại, ta có đúng với mọi làm cho hai vế có nghĩa.
Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta suy ra: Nếu là hàm có đạo hàm trên khoảng và thỏa mãn điều kiện khi chẵn, khi lẻ thì
6. Đồ thị hàm số trên khoảng
Chú ý: Khi khảo sát hàm số với cụ thể, cần xét hàm số trên toàn tập xác định của nó (chứ không phải chỉ xét trên khoảng như trên).
Sơ đồ tư duy về hàm số lũy thừa
1. Lãi kép theo định kì
- Là thể thức mà hết kì hạn này, tiền lãi được nhập vào vốn của kì tiếp theo.
2. Một số dạng toán về lãi suất
Dạng 1: Bài toán tiết kiệm (Thể thức lãi kép không kỳ hạn)
Một người gửi vào ngân hàng số tiền đồng, lãi suất mỗi tháng theo hình thức lãi kép, gửi theo phương thức không kì hạn. Tính số tiền cả vốn lẫn lãi mà người đó nhận được sau tháng?
Phương pháp xây dựng công thức:
Gọi là số tiền cả vốn lẫn lãi sau tháng. Ta có:
- Sau 1 tháng .
- Sau 2 tháng
…
- Sau tháng
Vậy số tiền cả vốn lẫn lãi người đó có được sau tháng là:
Lãi suất thường được cho ở dạng nên khi tính toán ta phải tính rồi mới thay vào công thức.
Dạng 2: Bài toán tiết kiệm (Thể thức lãi kép có kỳ hạn)
Một người gửi vào ngân hàng số tiền đồng, lãi suất mỗi tháng theo hình thức lãi kép, gửi theo phương thức có kì hạn tháng. Tính số tiền cả vốn lẫn lãi mà người đó nhận được sau kì hạn?
Phương pháp:
Bài toán này tương tự bài toán ở trên, nhưng ta sẽ tính lãi suất theo định kỳ tháng là: .
Sau đó áp dụng công thức với là số kì hạn.
Trong cùng một kì hạn, lãi suất sẽ gống nhau mà không được cộng vào vốn để tính lãi kép.
Ví dụ: Một người gửi tiết kiệm triệu vào ngân hàng theo mức kì hạn tháng với lãi suất mỗi tháng. Hỏi sau năm, người đó nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi, biết rằng người đó không rút tiền trong năm đó.
Giải:
- Số kỳ hạn kỳ hạn.
- Lãi suất theo định kỳ tháng là .
Số tiền cả vốn lẫn lãi người đó có được sau năm là: (triệu)
Dạng 3: Bài toán tích lũy (Hàng tháng (quý, năm,…) gửi một số tiền cố định vào ngân hàng)
Một người gửi vào ngân hàng số tiền đồng mỗi tháng với lãi suất mỗi tháng là . Hỏi sau tháng, người đó có tất cả bao nhiêu tiền trong ngân hàng?
Phương pháp xây dựng công thức:
Gọi là số tiền có được sau tháng.
- Cuối tháng thứ 1: .
- Đầu tháng thứ 2:
- Cuối tháng thứ 2:
…
- Đầu tháng thứ N:
- Cuối tháng thứ .
Vậy sau tháng, số tiền cả vốn lẫn lãi người đó có được là:
Dạng 4: Bài toán trả góp.
Một người vay ngân hàng số tiền đồng, lãi suất định kì là . Tìm số tiền mà người đó phải trả cuối mỗi kì để sau kì hạn là hết nợ.
Phương pháp xây dựng công thức:
- Sau 1 tháng, số tiền gốc và lãi là , người đó trả đồng nên còn:
- Sau 2 tháng, số tiền còn nợ là:
- Sau 3 tháng, số tiền còn nợ là:
- Sau tháng, số tiền còn nợ là: .
Vậy sau tháng, người đó còn nợ số tiền là:
Khi trả hết nợ thì số tiền còn lại bằng nên ta có: