Giải Toán 12 Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

74 lượt xem

Bài trước

Bài sau

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Hàm số mũ - hàm số lôgarit lớp 12.

Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 71 SGK Giải tích 12: Cho biết năm

2003

, Việt Nam có

80902400

người và tỉ lệ tăng dân số là

1, 47

. Hỏi năm

2010

Việt Nam sẽ có bao nhiêu người, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm không đổi ?

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức

T = A {(1 + r)}^{N}

Lời giải:

Từ năm $2003$ đến năm $2010$ là $7$ năm.

Vậy năm $2010$ Việt Nam sẽ có số người là: $80902400 . {(1 + 0.0147)}^{7} = 89603511, 14.$

Trả lời câu hỏi 2 trang 71 SGK Giải tích 12: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số mũ ? Với cơ số bao nhiêu ?

$\begin{aligned} a) y = (\sqrt{3})^{x} \\ b) y = 5^{\frac{x}{3}} \\ c) y = x^{- 4} \\ d) y = 4^{- x} \end{aligned}$

Phương pháp giải:

Hàm số

y = a^{x} (0 < a \neq 1)

được gọi là hàm số mũ cơ số

a

Lời giải:

Các hàm số mũ là $y = (\sqrt{3})^{x}$ với cơ số là $\sqrt{3}$ ; $y = 5^{\frac{x}{3}}$ với cơ số là $5^{\frac{1}{3}}$ ; $y = 4^{- x}$ với cơ số là $4^{- 1}$

Trả lời câu hỏi 3 trang 75 SGK Giải tích 12: Tìm đạo hàm của hàm số:

y = \ln (x + \sqrt{(1 + x^{2})})

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm

{(\ln u)}^{'} = \frac{u^{'}}{u}

Lời giải:

$\begin{aligned} y^{'} = [\ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})]^{'} \\ = \frac{(x + \sqrt{1 + x^{2}})^{'}}{x + \sqrt{1 + x^{2}}} \end{aligned}$

$= \frac{1 + \frac{{(1 + x^{2})}^{'}}{2 \sqrt{1 + x^{2}}}}{x + \sqrt{1 + x^{2}}}$ $= \frac{1 + \frac{2 x}{2 \sqrt{1 + x^{2}}}}{x + \sqrt{1 + x^{2}}}$ $= \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}}{x + \sqrt{1 + x^{2}}}$

$= \frac{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} + x}{\sqrt{1 + x^{2}}}}{x + \sqrt{1 + x^{2}}}$ $= \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Trả lời câu hỏi 4 trang 77 SGK Giải tích 12: Nêu nhận xét về mối liên hệ giữa đồ thị của các hàm số trên Hình 35 và Hình 36.

Lời giải:

Đồ thị của các hàm số trên Hình 35 và Hình 36 đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x .$

Câu hỏi và bài tập (trang 77, 78 SGK Giải tích 12)

Bài 1 trang 77 SGK Giải tích 12: Vẽ đồ thị của các hàm số:

a) $y = 4^{x}$ ;

y = {(\frac{1}{4})}^{x}

Phương pháp giải:

Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tập xác định.

Bước 2: Sự biến thiên.

- Tính $y^{'}$ , tìm các điểm mà tại đó $y^{'}$ bằng 0 hoặc không xác định.

- Xét dấu $y^{'}$ và suy ra các khoảng đơn điệu của đồ thị hàm số.

- Tính các giới hạn đặc biệt: Giới hạn tại vô cực và giới hạn tại các điểm mà hàm số không xác định.

- Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

- Lập bảng biến thiên.

Bước 3: Đồ thị.

- Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ (nếu có).

- Vẽ đồ thị hàm số dựa vào các yếu tố ở trên.

Lời giải:

Đồ thị hàm số $y = 4^{x}$

*) Tập xác định: $R$

*) Sự biến thiên:

$y^{'} = 4^{x} \ln 4 > 0, \forall x \in R$

- Hàm số đồng biến trên $R$

- Giới hạn đặc biệt:

$\begin{aligned} lim_{x \to - \infty} y = 0 \\ lim_{x \to + \infty} y = + \infty \end{aligned}$

Tiệm cận ngang: $y = 0$ .

- Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, cắt trục tung tại điểm $(0; 1)$ , đi qua điểm $(1; 4)$ và qua các điểm $(\frac{1}{2}; 2)$ , $(- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ , $(- 1; \frac{1}{4})$ .

Đồ thị hàm số $y = {(\frac{1}{4})}^{x}$

*) Tập xác định: $R$

*) Sự biến thiên:

$y^{'} = {(\frac{1}{4})}^{x} . \ln (\frac{1}{4})$ $= - {(\frac{1}{4})}^{x} \ln 4 < 0 \forall x \in R$

- Hàm số nghịch biến trên $R$

- Giới hạn:

$\begin{aligned} lim_{x \to - \infty} y = + \infty \\ lim_{x \to + \infty} y = 0 \end{aligned}$

Tiệm cận ngang $y = 0$

- Bảng biến thiên:

*) Đồ thị:

Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành, cắt trục tung tại điểm $(0; 1),$ đi qua điểm $(1; \frac{1}{4}$ ) và qua các điểm $(- \frac{1}{2}; 2), (- 1; 4) .$

Bài 2 trang 77 SGK Giải tích 12: Tính đạo hàm của các hàm số:

a) $y = 2 x e^{x} + 3 s i n 2 x$ ;

y = 5 x^{2} - 2^{x} \cos x

;

y = \frac{x + 1}{3^{x}} .

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản: ${(e^{x})}^{'} = e^{x}, {(\sin k x)}^{'} = k \cos k x$ và quy tắc tính đạo hàm của một tích: ${(u v)}^{'} = u^{'} . v + u . v^{'}$ .

Lời giải:

$y^{'} = (2 x e^{x})^{'} + 3 (\sin 2 x)^{'}$

$= 2. (x)^{'} e^{x} + 2 x (e^{x})^{'} + 3.2 \cos 2 x$

$= 2.1. e^{x} + 2 x . e^{x} + 6 \cos 2 x$

$= 2 (1 + x) e^{x} + 6 \cos 2 x$

$\begin{array}{l} y^{'} = {(5 x^{2})}^{'} - {(2^{x} \cos x)}^{'} \\ = 5.2 x - ({(2^{x})}^{'} . \cos x + 2^{x} . {(\cos x)}^{'}) \\ = 10 x - (2^{x} . \ln 2. \cos x - 2^{x} . \sin x) \\ = 10 x - 2^{x} (\ln 2 \cos x - \sin x) \end{array}$

$\begin{array}{l} y^{'} = \frac{{(x + 1)}^{'} {.3}^{x} - (x + 1) . {(3^{x})}^{'}}{{(3^{x})}^{2}} \\ = \frac{3^{x} - (x + 1) {.3}^{x} \ln 3}{{(3^{x})}^{2}} \\ = \frac{3^{x} (1 - (x + 1) \ln 3)}{{(3^{x})}^{2}} \\ = \frac{1 - (x + 1) \ln 3}{3^{x}} \end{array}$

Bài 3 trang 77 SGK Giải tích 12: Tìm tập xác định của các hàm số:

a) $y = \log_{2} (5 - 2 x)$ ;

b) $y = \log_{3} (x^{2} - 2 x)$ ;

y = \log_{\frac{1}{5}} (x^{2} - 4 x + 3)

;

y = \log_{0, 4} \frac{3 x + 2}{1 - x}

Phương pháp giải:

Hàm số $y = \log_{a} f (x) (0 < a \neq 1)$ xác định khi và chỉ khi $f (x) > 0$ .

Lời giải:

Hàm số $y = \log_{2} (5 - 2 x)$ xác định khi và chỉ khi:

$5 - 2 x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{5}{2} .$

Vậy hàm số $y = \log_{2} (5 - 2 x)$ có tập xác định là $D = (- \infty; \frac{5}{2}) .$

Hàm số $y = \log_{3} (x^{2} - 2 x)$ xác định khi và chỉ khi:

$x^{2} - 2 x > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 2 \\ x < 0 \end{array}$

Vậy hàm số $y = \log_{3} (x^{2} - 2 x)$ có tập xác định là $D = (- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$ .

Hàm số $y = \log_{\frac{1}{5}} (x^{2} - 4 x + 3)$ xác định khi và chỉ khi

$x^{2} - 4 x + 3 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 3 \\ x < 1 \end{array}$

Vậy hàm số $y = \log_{\frac{1}{5}} (x^{2} - 4 x + 3)$ có tập xác định là $D = (- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$ .

Hàm số $y = \log_{0, 4} \frac{3 x + 2}{1 - x}$ xác định khi và chỉ khi:

$\frac{3 x + 2}{1 - x} > 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} {\begin{cases} 3 x + 2 > 0 \\ 1 - x > 0 \end{cases} \\ {\begin{cases} 3 x + 2 < 0 \\ 1 - x < 0 \end{cases} \end{array}$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} {\begin{cases} x > - \frac{2}{3} \\ x < 1 \end{cases} \\ {\begin{cases} x < - \frac{2}{3} \\ x > 1 \end{cases} (V N) \end{array}$ $\Leftrightarrow - \frac{2}{3} < x < 1$

Vậy hàm số $y = \log_{0, 4} \frac{3 x + 1}{1 - x}$ có tập xác định là $D = (- \frac{2}{3}; 1)$ .

Chú ý:

Các em cũng có thể lập bảng xét dấu các nhị thức bậc nhất như sau:

Bài 4 trang 78 SGK Giải tích 12: Vẽ đồ thị của các hàm số:

a) $y = \log x$ ;

b) y =

\log_{\frac{1}{2}} x

Phương pháp giải:

Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tập xác định.

Bước 2: Sự biến thiên.

- Tính $y^{'}$ , tìm các điểm mà tại đó $y^{'}$ bằng 0 hoặc không xác định.

- Xét dấu $y^{'}$ và suy ra các khoảng đơn điệu của đồ thị hàm số.

- Tính các giới hạn đặc biệt: Giới hạn tại vô cực và giới hạn tại các điểm mà hàm số không xác định.

- Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

- Lập bảng biến thiên.

Bước 3: Đồ thị.

- Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ (nếu có).

- Vẽ đồ thị hàm số dựa vào các yếu tố ở trên.

Lời giải:

Đồ thị hàm số $y = \log x$ .

*) Tập xác định: $D = (0; + \infty)$

*) Sự biến thiên:

$y^{'} = \frac{1}{x \ln 10} > 0, \forall x \in D$

- Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$

- Giới hạn đặc biệt:

$\begin{aligned} lim_{x \to 0^{+}} y = - \infty \\ lim_{x \to + \infty} y = + \infty \end{aligned}$

Hàm số có tiệm cận đứng là: $x = 0$

- Bảng biến thiên:

*) Đồ thị:

Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên phải trục tung) nhận trục tung làm tiệm cận đứng, cắt trục hoành tại điểm $(1; 0)$ và đi qua điểm $(10; 1)$ , $(\frac{1}{10}; - 1)$ .

Đồ thị hàm số $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ .

*) Tập xác định: $D = (0; + \infty)$

*) Sự biến thiên:

$y^{'} = \frac{- 1}{x \ln 2} < 0, \forall x \in D$

- Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$

- Giới hạn:

$\begin{aligned} lim_{x \to 0^{+}} y = + \infty \\ lim_{x \to + \infty} y = - \infty \end{aligned}$

Hàm số có tiệm cận đứng $x = 0$ .

- Bảng biến thiên:

*) Đồ thị:

Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên phải trục tung (nhận trục tung làm tiệm cận đứng), cắt trục hoành tại điểm $(1; 0)$ và đi qua điểm $(\frac{1}{2}; 1)$ , điểm phụ $(2; - 1)$ , $(4. - 2)$ , $(\frac{1}{4}; 2)$ .

Bài 5 trang 78 SGK Giải tích 12: Tính đạo hàm của các hàm số:

a) $y = 3 x^{2} - \ln x + 4 \sin x$ ;

y = \log (x^{2} + x + 1)

;

y = \frac{\log_{3} x}{x}

Phương pháp giải:

a) Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản:

${(x^{n})}^{'} = n . x^{n - 1}$

${(\ln x)}^{'} = \frac{1}{x}$

${(\sin x)}^{'} = \cos x$

b) Sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp: ${(\log_{a} u)}^{'} = \frac{u^{'}}{u \ln a}$

c) Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và quy tắc tính đạo hàm của thương: ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} . v - u . v^{'}}{v^{2}}$ .

Lời giải:

$\begin{array}{l} y^{'} = {(3 x^{2})}^{'} - {(\ln x)}^{'} + 4 {(\sin x)}^{'} \\ = 3.2 x - \frac{1}{x} + 4. \cos x \\ = 6 x - \frac{1}{x} + 4 \cos x \end{array}$

$y^{'} = \frac{{(x^{2} + x + 1)}^{^{'}}}{(x^{2} + x + 1) . l n 10}$ = $\frac{2 x + 1}{(x^{2} + x + 1) . l n 10}$ .

$y^{'} = \frac{{(\log_{3} x^{})}^{^{'}} . x - \log_{3} x . x^{'}}{x^{2}}$ = $\frac{\frac{1}{x . \ln 3} . x - \log_{3} x}{x^{2}}$ $= \frac{\frac{1}{\ln 3} - \log_{3} x}{x^{2}}$ $= \frac{1 - \ln 3. \log_{3} x}{x^{2} . \ln 3}$ $= \frac{1 - \ln 3. \frac{\ln x}{\ln 3}}{x^{2} \ln 3}$ $= \frac{1 - \ln x}{x^{2} . \ln 3}$ .

Lý thuyết Bài 4: Hàm số mũ, hàm số lôgarit

1. Định nghĩa

Hàm số mũ là hàm số có dạng $y = a^{x}$ , hàm số lôgarit là hàm số có dạng $y = \log_{a} x$ ( với cơ số a dương khác 1).

2. Tính chất của hàm số mũ $y = a^{x}$ $(a > 0, a \neq 1)$ .

- Tập xác định: $R$ .

- Đạo hàm: $\forall x \in R, y^{'} = a^{x} \ln a$ .

- Chiều biến thiên

+) Nếu $a > 1$ thì hàm số luôn đồng biến

+) Nếu $0 < a < 1$ thì hàm số luôn nghịch biến

- Tiệm cận: trục $O x$ là tiệm cận ngang.

- Đồ thị nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành $(y = a^{x} > 0 \forall x)$ , và luôn cắt trục tung tại điểm $(0; 1)$ và đi qua điểm $(1; a)$ .

3. Tính chất của hàm số lôgarit $y = \log_{a} x$ $(a > 0, a \neq 1)$ .

- Tập xác định: $(0; + \infty)$ .

- Đạo hàm $\forall x \in (0; + \infty), y^{'} = \frac{1}{x \ln a}$ .

- Chiều biến thiên:

+) Nếu $a > 1$ thì hàm số luôn đồng biến

+) Nếu $0 < a < 1$ thì hàm số luôn nghịch biến

- Tiệm cận: Trục $O y$ là tiệm cận đứng.

- Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung, luôn cắt trục hoành tại điểm $(1; 0)$ và đi qua điểm $(a; 1)$ .

4. Chú ý

- Nếu $a > 1$ thì $\ln a > 0$ , suy ra $(a^{x})^{'} > 0 \forall x$ và $({\log_{a}}^{x}) > 0, \forall x > 0;$

do đó hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số lớn hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn đồng biến.

Tương tự, nếu $0 < a < 1$ thì $\ln a < 0$ , $(a^{x})^{'} < 0$ và $({\log_{a}}^{x}) < 0, \forall x > 0;$ ; hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số nhỏ hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn nghịch biến.

- Công thức đạo hàm của hàm số lôgarit có thể mở rộng thành

$(\ln | x |)^{'} = \frac{1}{x}, \forall x \neq 0$ và $(\log_{a} | x |)^{'} = \frac{1}{x \ln a}, \forall x \neq 0.$

Sơ đồ tư duy về Hàm số mũ - Hàm số Lôgarit

Các dạng toán về hàm số mũ, hàm số logarit

1. Hàm số mũ

Dạng 1: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại.

Phương pháp:

- Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.

- Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận.

Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị.

Phương pháp:

- Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số.

+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn $1$ .

+ Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn $0$ và nhỏ hơn $1$ .

- Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số.

- Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm.

Lưu ý: Đối với một số bài toán phức tạp hơn thì ta cần chú ý thêm đến một số yếu tố khác như điểm đi qua, tính đối xứng,…

Dạng 3: Tính đạo hàm các hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.

${(u \pm v)}^{'} = u^{'} \pm v^{'}; {(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}; {(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$

- Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…

- Bước 3: Tính toán và kết luận.

Dạng 4: Tính giới hạn các hàm số.

Phương pháp:

Áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$ ; $lim_{x \to 0} \frac{a^{x} - 1}{x} = \ln a$ ; $lim_{x \to + \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e$ ; $lim_{x \to 0} {(x + 1)}^{\frac{1}{x}} = e$ .

Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ trên một đoạn.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y^{'}$ , tìm các nghiệm $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n} \in [a; b]$ của phương trình $y^{'} = 0$ .

- Bước 2: Tính $f (a), f (b), f (x_{1}), . . ., f (x_{n})$ .

- Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số.

+ GTNN $m$ là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được.

+ GTLN $M$ là số lớn nhất trong các giá trị tính được.

2. Hàm số logarit

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm điều kiện để các logarit xác định.

Hàm số $\log_{a} (u (x))$ xác định ${\begin{cases} a > 0 \\ u (x) > 0 \end{cases}$

- Bước 2: Tìm điều kiện để các biểu thức dưới dấu căn bậc hai, biểu thức dưới mẫu trong các phân thức,…(nếu có).

+ Căn bậc hai $\sqrt{u (x)}$ xác định nếu $u (x) \geq 0$ .

+ Phân thức $\frac{u (x)}{v (x)}$ xác định nếu $g (x) \neq 0$ .

- Bước 3: Giải các bất phương trình ở trên và kết hợp nghiệm ta được tập xác định của hàm số.

Dạng 2: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại.

Phương pháp:

- Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.

- Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận.

Dạng 3: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị.

Phương pháp:

- Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số.

+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn $1$ .

+ Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn $0$ và nhỏ hơn $1$ .

- Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số.

- Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm.

Lưu ý: Đối với một số bài toán phức tạp hơn thì ta cần chú ý thêm đến một số yếu tố khác như điểm đi qua, tính đối xứng,…

Dạng 4: Tính đạo hàm các hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.

${(u \pm v)}^{'} = u^{'} \pm v^{'}; {(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}; {(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$

- Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…

- Bước 3: Tính toán và kết luận.

Dạng 5: Tính giới hạn các hàm số.

Phương pháp:

Áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1$ ; $lim_{x \to 0} \frac{\log_{a} (1 + x)}{x} = \frac{1}{\ln a}$

Dạng 6: Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ và hàm số logarit trên một đoạn.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y^{'}$ , tìm các nghiệm $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n} \in [a; b]$ của phương trình $y^{'} = 0$ .

- Bước 2: Tính $f (a), f (b), f (x_{1}), . . ., f (x_{n})$ .

- Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số.

+ GTNN $m$ là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được.

+ GTLN $M$ là số lớn nhất trong các giá trị tính được.

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

Giải SGK, SBT, Chuyên đề Toán Học Lớp 12

Giải Toán 12 Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Xem thêm các chương trình khác: