Giải Toán 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Phương pháp giải:

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:

*) Xét chiều biến thiên của hàm số:

+) Tính đạo hàm.

+) Tìm các điểm $x_i$ mà tại đó đạo hàm có $y^{\prime }=0$ hoặc đạo hàm không xác định.

+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

*) Tìm cực trị: $y\left(x_i\right).$

*) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số nếu có. ($\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}y,\underset{x\to x_0}{lim}y$ )

*) Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

Bước 3: Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung: $x=0\Rightarrow y=....\Rightarrow A\left(0;.....\right).$

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: $y=0\Rightarrow x=.....\Rightarrow B\left(...;0\right).$

+) Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.

Lời giải:

a)

$y=2+3x-x^3.$

1) TXĐ: $D=R.$

2) Sự biến thiên:

+) Chiều biến thiên:

Ta có: $y^{\prime }=3-3x^2\Rightarrow y^{\prime }=0\iff 3-3x^2=0$ $\iff [\begin{array}{rl}& x=1\\ & x=-1\end{array}.$

Trên khoảng $\left(-1;1\right),y^{\prime }>0$ nên hàm số số đồng biến, trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$ có $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến.

+) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại $x=1;y_{CD}=y\left(1\right)=4.$ Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1;y_{CT}=y\left(-1\right)=0.$

+) Giới hạn vô cực:

$\begin{array}{l}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(2+3x-x^3\right)\\ =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^3.\left(\frac{2}{x^3}+\frac{2}{x^2}-1\right)=+\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(2+3x-x^3\right)\\ =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^3.\left(\frac{2}{x^3}+\frac{2}{x^2}-1\right)=-\mathrm{\infty }\end{array}$

+) Bảng biến thiên:

+) Đồ thị:

Ta có: $2+3x-x^3=0\iff [\begin{array}{rl}& x=2\\ & x=-1\end{array}.$

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 2 điểm $\left(2;0\right)$ và $\left(-1;0\right).$

Ta có: $y^{″}=-6x$; $y^{″}=0\iff x=0$. Với $x=0$ ta có $y=2$. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm $I(0;2)$ làm tâm đối xứng.

Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ $x=-2$ suy ra $y=4$.

b)

Xét hàm số $y=x^3+4x^2+4x$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$

Sự biến thiên:

Đạo hàm: $y^{\prime }=3x^2+8x+4$.

$\Rightarrow y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=-2\\ x=-\frac{2}{3}\end{array}$

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-2\right)$ và $\left(-{\displaystyle \frac{2}{3}};+\mathrm{\infty }\right)$ và nghịch biến trên $\left(-2;-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right).$

Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại $x=-2$, giá trị cực đại $y$cđ = $y(-2)=0$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$, giá trị cực tiểu $y_{ct}=y\left(-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)=-{\displaystyle \frac{32}{27}}.$

Giới hạn:

$\begin{array}{l}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(x^3+4x^2+4x\right)\\ =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^3.\left(1+{\displaystyle \frac{4}{x}}+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}\right)=-\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(x^3+4x^2+4x\right)\\ =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^3.\left(1+{\displaystyle \frac{4}{x}}+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}\right)=+\mathrm{\infty }\end{array}$

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;0)$, cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: $x^3+4x^2+4x=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$ nên tọa độ các giao điểm là $(0;0)$ và $(-2;0)$.

Đồ thị hàm số:

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: $y^{″}=6x+8;$$\Rightarrow y^{″}=0\iff x=-{\displaystyle \frac{4}{3}}\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{16}{27}}.$

c)

Xét hàm số $y=x^3+x^2+9x$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$

Sự biến thiên:

Đạo hàm: $y^{\prime }=3x^2+2x+9$ $=2x^2+(x^2+2x+1)+8$ $=2x^2+(x+1{)}^2+8>0,\forall x.$

Vậy hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ và không có cực trị.

Giới hạn:

$\begin{array}{l}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(x^3+x^2+9x\right)\\ =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^3.\left(1+{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{9}{x^2}}\right)=-\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(x^3+x^2+9x\right)\\ =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^3.\left(1+{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{9}{x^2}}\right)=+\mathrm{\infty }\end{array}$

Bảng biến thiên :

Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại điểm $(0;0)$, cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;0)$.

Tâm đối xứng:

$y^{″}=0\iff 6x+2=0\iff$ $x=-\frac{1}{3}.$

Suy ra tọa độ tâm đối xứng là: $I\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}};-{\displaystyle \frac{79}{27}}\right).$

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(-1;-9)$ và $\left({\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{39}{8}}\right).$

d)

Xét hàm số $y=-2x^3+5$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$

Sự biến thiên:

Đạo hàm: $y^{\prime }=-6x^2\le 0,\forall x$.

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn:

$\begin{array}{l}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^3.\left(-2+{\displaystyle \frac{5}{x^3}}\right)=+\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^3.\left(-2+{\displaystyle \frac{5}{x^3}}\right)=-\mathrm{\infty }\end{array}$

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Tính đối xứng: $y^{″}=-12x;y^{″}=0\iff x=0$.

Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn $I(0;5)$ làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;5)$, đồ thị cắt trục $Ox$ tại điểm $\left(\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{5}{2}}};0\right).$ 

Phương pháp giải:

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:

*) Xét chiều biến thiên của hàm số:

+) Tính đạo hàm.

+) Tìm các điểm $x_i$ mà tại đó đạo hàm có $y^{\prime }=0$ hoặc đạo hàm không xác định.

+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

*) Tìm cực trị: $y\left(x_i\right).$

*) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có): $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}y,\underset{x\to x_0}{lim}y,...$

*) Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

Bước 3: Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung: $x=0\Rightarrow y=....\Rightarrow A\left(0;.....\right).$

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: $y=0\Rightarrow x=.....\Rightarrow B\left(...;0\right).$

+) Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.

Lời giải:

a)

Tập xác định : ${\displaystyle \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{1\}}$;  

* Sự biến thiên:

Ta có: ${\displaystyle y^{\prime }=\frac{-4}{{(x-1)}^2}<0,\mathrm{\forall }x\ne 1}$ ;

- Hàm số nghịch biến trên khoảng: ${\displaystyle (-\mathrm{\infty };1)}$ và ${\displaystyle (1;+\mathrm{\infty })}$.

- Cực trị:

 Hàm số không có cực trị.

- Tiệm cận:

${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{limy}=-\mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle \underset{x\to 1^{+}}{limy}=+\mathrm{\infty }}$; ${\displaystyle \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{limy}=1}$

Do đó, tiệm cận đứng là: ${\displaystyle x=1}$; tiệm cận ngang là: ${\displaystyle y=1}$.

Bảng biến thiên: 

* Đồ thị:

Đồ thị nhận điểm ${\displaystyle I(1;1)}$ làm tâm đối xứng.

Đồ thị giao trục tung tại:${\displaystyle (0;-3)}$, trục hoành tại ${\displaystyle (-3;0)}$

b)

Tập xác định : ${\displaystyle \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{2\}}$;    

* Sự biến thiên:

Ta có: ${\displaystyle y^{\prime }=\frac{6}{{\left(2\mathrm{x}-4\right)}^2}>0,\mathrm{\forall }x\ne 2}$

- Hàm số đồng biến trên khoảng: ${\displaystyle (-\mathrm{\infty };2)}$ và ${\displaystyle (2;+\mathrm{\infty })}$

- Cực trị: 

 Hàm số không có cực trị.

- Tiệm cận:

${\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{limy}=+\mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle \underset{x\to 2^{+}}{limy}=-\mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{limy}=-1}$

Do đó, tiệm cận đứng là: ${\displaystyle x=2}$; tiệm cận ngang là:${\displaystyle y=-1}$.

Bảng biến thiên :

* Đồ thị:

Đồ thị nhận điểm ${\displaystyle I(2;-1)}$ lầm tâm đối xứng.

Đồ thị giao trục tung tại: ${\displaystyle \left(0;-\frac{1}{4}\right)}$, trục hoành tại: ${\displaystyle \left(\frac{1}{2};0\right)}$

c)

Tập xác định : ${\displaystyle R\mathrm{\setminus }\left\{-\frac{1}{2}\right\}}$;

Sự biến thiên:

Ta có: ${\displaystyle y^{\prime }=\frac{-5}{{\left(2\mathrm{x}+1\right)}^2}<0,\mathrm{\forall }x\ne -\frac{1}{2}}$

- Hàm số nghịch biến trên khoảng: ${\displaystyle (-\mathrm{\infty };\frac{-1}{2})}$ và ${\displaystyle (\frac{-1}{2};+\mathrm{\infty })}$

- Cực trị:

Hàm số không có cực trị.

- Tiệm cận:

${\displaystyle \underset{x\to -{\frac{1}{2}}^{-}}{limy}=-\mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle \underset{x\to -{\frac{1}{2}}^{+}}{limy}=+\mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{limy}=-\frac{1}{2}}$

Do đó, tiệm cận đứng là: ${\displaystyle x=-\frac{1}{2}}$; tiệm cận ngang là: ${\displaystyle y=-\frac{1}{2}}$.

Bảng biến thiên :

* Đồ thị    

Đồ thị nhận điểm ${\displaystyle I(-\frac{1}{2};-\frac{1}{2})}$ làm tâm đối xứng.

Đồ thị giao ${\displaystyle Ox}$ tại: ${\displaystyle (2;0)}$, ${\displaystyle Oy}$ tại: ${\displaystyle (0;2)}$

Với $m=1$ $\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+1$ .

Tập xác định:$\mathbb{R}$.

* Sự biến thiên:

Ta có: $y^{\prime }=x^3+x=x(x^2+1)$ $\Rightarrow y^{\prime }=0\iff x=0$.

- Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\mathrm{\infty })$, nghịch biến trên khoảng $(-\mathrm{\infty };0)$

- Cực trị:

    Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$; $y_{CT}=1$

- Giới hạn: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{limy}=+\mathrm{\infty }$, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{limy}=+\mathrm{\infty }$

- Bảng biến thiên:

* Đồ thị

Đồ thị hàm số giao trục $Oy$ tại điểm $(0;1)$.

c)

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có M hoành độ  $x=-2\Rightarrow M(-2;0)$.

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\left(-2\right)}^3+\left(m+3\right){\left(-2\right)}^2+1-m=0\\ \iff -8+4\left(m+3\right)+1-m=0\\ \iff 4m+5-m=0\\ \iff 3m=-5\\ \iff m=-{\displaystyle \frac{5}{3}}.\end{array}$

Lời giải:

a)

Theo đề bài ta có $(0;-1)\in (G)$ $\iff -1={\displaystyle \frac{(m+1)\cdot 0-2m+1}{0-1}}$ $\iff -1=2m-1\iff 2m=0$ $\iff m=0.$

b)