Giải Toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số

74 lượt xem

Bài trước

Bài sau

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 2: Cực trị của hàm số chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Cực trị của hàm số lớp 12.

Bài giảng Toán học 12 Bài 2: Cực trị của hàm số

Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 2: Cực trị của hàm số

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 13 SGK Giải tích 12: Dựa vào đồ thị (H.7, H.8), hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất):

y = - x^{2} + 1

trong khoảng

(- \infty; + \infty)

;

y = \frac{x {(x + 3)}^{2}}{3}

trong các khoảng

(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})

và

(\frac{3}{2}; 4)

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị hàm số và xét trong từng khoảng, tìm điểm cao nhất (ứng với giá trị lớn nhất) và điểm thấp nhất (ứng với giá trị nhỏ nhất).

Lời giải:

Từ đồ thị hàm số ta thấy, tại $x = 0$ hàm số có giá trị lớn nhất bằng $1$ .

Xét dấu đạo hàm:

Từ đồ thị hàm số ta thấy:

Tại $x = 1$ hàm số có giá trị lớn nhất bằng $\frac{4}{3}$

Tại $x = 3$ hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $0$ .

Xét dấu đạo hàm:

Trả lời câu hỏi 2 trang 14 SGK Giải tích 12: Giả sử

f (x)

đạt cực đại tại

x_{0}

. Hãy chứng minh khẳng định 3 trong chú ý trên bằng cách xét giới hạn tỉ số

\frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}

khi

Δ x \to 0

trong hai trường hợp

Δ x > 0

và

Δ x < 0.

Phương pháp giải:

Để chứng minh

f^{'} (x_{0}) = 0

ta chứng minh

lim_{Δ x \to 0^{-}} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0^{+}} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} = 0

Lời giải:

- Với $Δ x > 0$

Ta có $lim_{Δ x \to 0^{+}} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} = 0 = f^{'} (x_{0}^{+})$

- Với $Δ x < 0.$

Ta có $lim_{Δ x \to 0^{-}} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} = 0 = f^{'} (x_{0}^{-})$

Do đó $lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} = 0 = f^{'} (x_{0})$

Trả lời câu hỏi 3 trang 14 SGK Giải tích 12: a) Sử dụng đồ thị, hãy xem xét các hàm số sau đây có cực trị hay không

$y = - 2 x + 1;$

$y = \frac{x {(x - 3)}^{2}}{3} (H .8)$

b) Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị, tìm điểm cực trị (cực đại: điểm mà tại đó hàm số chuyển từ đồng biến sang nghịch biến, cực tiểu: ngược lại)

Lời giải:

Hàm số $y = - 2 x + 1$ không có cực trị.

Hàm số $y = \frac{x {(x - 3)}^{2}}{3}$ đạt cực đại tại $x = 1$ và đạt cực tiểu tại $x = 3.$

Nếu hàm số có cực trị thì dấu của đạo hàm bên trái và bên phải điểm cực trị sẽ khác nhau.

Trả lời câu hỏi 4 trang 16 SGK Giải tích 12: Chứng minh hàm số

y = | x |

không có đạo hàm tại

x = 0.

Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không ?

Phương pháp giải:

+ Hàm số k có đạo hàm: $lim_{x \to 0^{+}} y^{'} \neq lim_{x \to 0^{-}} y^{'}$

+ Hàm số có cực trị: quan sát từ đồ thị

Lời giải:

$y = | x | = {\begin{matrix} x; x \geq 0 \\ - x; x < 0 \end{matrix}$

Khi đó:

$y^{'} = {\begin{matrix} 1; x \geq 0 \\ - 1; x < 0 \end{matrix}$

Ta có: $lim_{x \to 0^{+}} y^{'} = 1 \neq - 1 = lim_{x \to 0^{-}} y^{'}$

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại $x = 0.$

Nhưng dựa vào đồ thị của hàm số $y = | x | .$ Ta có hàm số đạt cực trị tại $x = 0.$

Trả lời câu hỏi 5 trang 16 SGK Giải tích 12: Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số:

f (x) = x (x^{2} - 3)

Lời giải:

1. TXĐ: $D = R$

2. $f (x) = 3 x^{2} - 3$ . Cho $f (x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = - 1.$

3. Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$ và giá trị cực đại là $2$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ và giá trị cực tiểu là $- 2.$

Câu hỏi và bài tập (trang 18 SGK Giải tích 12)

Bài 1 trang 18 SGK Giải tích 12: Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) $y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x - 10$ ;

b) $y = x^{4} + 2 x^{2} - 3$ ;

c) $y = x + \frac{1}{x}$

d) $y = x^{3} {(1 - x)}^{2}$ ;

e) $y = \sqrt{x^{2} - x + 1}$

Phương pháp giải:

Quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số:

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính $f^{'} (x)$ . Tìm các điểm mà tại đó $f^{'} (x)$ bằng 0 hoặc $f^{'} (x)$ không xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Lời giải:

Tập xác định: $D = R$

$\begin{aligned} y^{'} = 6 x^{2} + 6 x - 36; y^{'} = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 2 \Rightarrow y = - 54 \\ x = - 3 \Rightarrow y = 71 \end{matrix} \end{aligned}$

$\begin{array}{l} y^{'} < 0 \Leftrightarrow x \in (- 3; 2) \\ y^{'} > 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; - 3) \cup (2; + \infty) \end{array}$

$lim_{x \to - \infty} y = - \infty; lim_{x \to + \infty} y = + \infty$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 3$ và $y$ CĐ $= 71$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ và $y$ CT $= - 54$

Tập xác định: $D = R$

$y^{'} = 4 x^{3} + 4 x = 4 x (x^{2} + 1)$ ;

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = - 3$

$\begin{array}{l} y^{'} > 0 \Rightarrow x > 0 \\ y^{'} < 0 \Rightarrow x < 0 \end{array}$

$lim_{x \to - \infty} y = + \infty; lim_{x \to + \infty} y = + \infty$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ và $y$ CT $= - 3$

Tập xác định: $D = R$ \ { 0 }

$\begin{aligned} y^{'} = 1 - \frac{1}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}; y^{'} = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \Rightarrow y = 2 \\ x = - 1 \Rightarrow y = - 2 \end{matrix} \end{aligned}$

$\begin{array}{l} y^{'} < 0 \Leftrightarrow x \in (- 1; 1) \\ y^{'} > 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; - 1) \cup (1; + \infty) \end{array}$

$lim_{x \to - \infty} y = - \infty; lim_{x \to + \infty} y = + \infty$

$lim_{x \to 0^{-}} y = - \infty; lim_{x \to 0^{+}} y = + \infty$

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$ , $y$ CĐ $= - 2$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ , $y$ CT $= 2$

Tập xác định $D = R$

$\begin{array}{l} y^{'} = {(x^{3})}^{'} {(1 - x)}^{2} + x^{3} {[{(1 - x)}^{2}]}^{'} \\ = 3 x^{2} {(1 - x)}^{2} + x^{3} .2 (1 - x) {(1 - x)}^{'} \\ = 3 x^{2} {(1 - x)}^{2} + 2 x^{3} (1 - x) (- 1) \\ = 3 x^{2} {(1 - x)}^{2} - 2 x^{3} (1 - x) \\ = x^{2} (1 - x) [3 (1 - x) - 2 x] \\ = x^{2} (1 - x) (3 - 3 x - 2 x) \\ = x^{2} (1 - x) (3 - 5 x) \end{array}$

$\begin{aligned} y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \Rightarrow y = 0 \\ x = \frac{3}{5} \Rightarrow y = \frac{108}{3125} \\ x = 0 \Rightarrow y = 0 \end{matrix} \end{aligned}$

$\begin{array}{l} y^{'} < 0 \Leftrightarrow x \in (\frac{3}{5}; 1) \\ y^{'} > 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; \frac{3}{5}) \cup (1; + \infty) \\ lim_{x \to - \infty} y = - \infty; lim_{x \to + \infty} y = + \infty \end{array}$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại $x = \frac{3}{5}; y = \frac{108}{3125}$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ , $y$ CT = $0$

Vì $x^{2}$ – $x + 1 > 0, \forall \in R$ nên tập xác định : $D = R$

$y^{'} = \frac{2 x - 1}{2 \sqrt{x^{2} - x + 1}}; y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\begin{array}{l} y^{'} > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}; y^{'} < 0 \Leftrightarrow x < \frac{1}{2} \\ lim_{x \to - \infty} y = + \infty, lim_{x \to + \infty} y = + \infty \end{array}$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = \frac{1}{2}; y_{C T} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bài 2 trang 18 SGK Giải tích 12: Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) $y = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ ;

b) $y = \sin 2 x - x$ ;

c) $y = \sin x + \cos x$ ;

d) $y = x^{5} - x^{3} - 2 x + 1$ .

Phương pháp giải:

Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính $f^{'} (x)$ . Giải phương trình $f^{'} (x) = 0$ và kí hiệu $x_{i} (i = 1, 2, . . ., n)$ là các nghiệm của nó.

$f^{″} (x)$ và $f^{″} (x_{i})$ .

Bước 4: Dựa vào dấu của $f^{″} (x_{i})$ suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

Lời giải:

TXĐ: $D = R .$

$y^{'} = 4 x^{3} - 4 x = 4 x (x^{2} - 1)$ ;

$y^{'} = 0$ $\Leftrightarrow 4 x (x^{2} - 1) = 0$ $\Leftrightarrow x = 0, x = \pm 1$ .

$y^{″} = 12 x^{2} - 4$ .

$y^{″} (0) = - 4 < 0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ ,

$y$ CĐ = $y (0) = 1$ .

$y^{″} (\pm 1) = 8 > 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = \pm 1$ ,

$y$ CT = $y (\pm 1)$ = 0.

TXĐ: $D = R .$

$y^{'} = 2 \cos 2 x - 1$ ;
$y^{'} = 0 \Leftrightarrow \cos 2 x = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow 2 x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π$

$\Leftrightarrow x = \pm \frac{π}{6} + k π .$

$y^{″} = - 4 \sin 2 x$ .

$y^{″} (\frac{π}{6} + k π) = - 4 \sin (\frac{π}{3} + k 2 π)$

$= - 2 \sqrt{3} < 0$ nên hàm số đạt cực đại tại các điểm $x = \frac{π}{6} + k π$ ,

$y$ CĐ = $\sin (\frac{π}{3} + k 2 π) - \frac{π}{6} - k π$ = $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{6} - k π$ , $k \in Z$ .

$y^{″} (- \frac{π}{6} + k π) = - 4 \sin (- \frac{π}{3} + k 2 π)$

$= 2 \sqrt{3} > 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm $x = - \frac{π}{6} + k π$ ,

$y$ CT = $\sin (- \frac{π}{3} + k 2 π) + \frac{π}{6} - k π$ = $- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{6} - k π$ , $k \in Z$ .

TXĐ: $D = R .$

$y = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4})$ ;

$y^{'} = \sqrt{2} \cos (x + \frac{π}{4})$ ;

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow \cos (x + \frac{π}{4}) = 0 \Leftrightarrow$ $x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π .$

$y^{″} = - \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) .$

$y^{″} (\frac{π}{4} + k π) = - \sqrt{2} \sin (\frac{π}{4} + k π + \frac{π}{4})$

$= - \sqrt{2} \sin (\frac{π}{2} + k π)$

$= {\begin{matrix} - \sqrt{2} nếu k chẵn \\ \sqrt{2} nếu k lẻ \end{matrix}$

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm $x = \frac{π}{4} + k 2 π$ ,

đạt cực tiểu tại các điểm $x = \frac{π}{4} + (2 k + 1) π (k \in Z) .$

TXĐ: $D = R .$

$y^{'} = 5 x^{4} - 3 x^{2} - 2 = (x^{2} - 1) (5 x^{2} + 2)$ ; $y^{'} = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$ .

$y^{″} = 20 x^{3} - 6 x$ .

$y^{″} (1) = 14 > 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ ,

$y$ CT = $y (1) = - 1$ .

$y^{″} (- 1) = - 14 < 0$ hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$ ,

$y$ CĐ = $y (- 1) = 3$ .

Bài 3 trang 18 SGK Giải tích 12: Chứng minh rằng hàm số $y = \sqrt{| x |}$ không có đạo hàm tại $x = 0$ nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.

Phương pháp giải:

- Tính giới hạn trái, giới hạn phải của $\frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ khi $x \to x_{0}$ , từ đó suy ra không tồn tại đạo hàm tại $x = x_{0}$ .

- Chứng minh $f (x) \geq f (0)$ với mọi $x \in R$ .

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} y = f (x) = \sqrt{| x |} = {\begin{cases} \sqrt{x} k h i x \geq 0 \\ \sqrt{- x} k h i x < 0 \end{cases} \\ lim_{0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}} = + \infty \\ lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sqrt{- x}}{x} \\ = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sqrt{- x}}{- {(\sqrt{- x})}^{2}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{- 1}{\sqrt{- x}} = - \infty \\ \Rightarrow lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \neq lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \end{array}$

$\Rightarrow$ Không tồn tại đạo hàm của hàm số đã cho tại $x = 0$ .

Dễ thấy $f (x) = \sqrt{| x |} \geq 0$ với mọi $x \in R$ và $f (0) = 0$ nên $x = 0$ chính là điểm cực tiểu của hàm số.

Bài 4 trang 18 SGK Giải tích 12: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số

m

, hàm số

$y = x^{3} - m x^{2} - 2 x + 1$

luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Phương pháp giải:

B1: Tính $y^{'}$

B2: Chứng tỏ phương trình $y^{'} = 0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt, với mọi m

Từ đó suy ra dấy của $y^{'}$ và sự tồn tại cực đại cực tiểu.

Lời giải:

TXĐ: $D = R .$

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 2 m x - 2$

Xét phương trình: $3 x^{2} - 2 m x - 2 = 0$

Có: $Δ^{'} = m^{2} - (- 2) .3 = m^{2} + 6 > 0 \forall m$

$\Rightarrow$ phương trình $y^{'} = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ .

Giả sử $x_{1} < x_{2}$ , ta có bảng biến thiên:

Dễ thấy hàm số đạt cực đại tại $x = x_{1}$ và đạt cực tiểu tại $x = x_{2}$ .

Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.

Bài 5 trang 18 SGK Giải tích 12: Tìm

a

và

b

để các cực trị của hàm số

$y = \frac{5}{3} a^{2} x^{3} + 2 a x^{2} - 9 x + b$

đều là những số dương và $x_{0} = - \frac{5}{9}$ là điểm cực đại.

Phương pháp giải:

- Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x_{0}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} y^{'} (x_{0}) = 0 \\ y^{″} (x_{0}) < 0 \end{cases}$ , từ đó tìm $a$ .

- Thay $a$ vừa tìm được ở trên vào hàm số.

Tìm $b$ dựa vào điều kiện: Hàm số đã cho có các cực trị đều dương $\Leftrightarrow y_{C T} > 0$ .

Lời giải:

Ta có: $y^{'} = 5 a^{2} x^{2} + 4 a x - 9$ , $y^{″} = 10 a^{2} x + 4 a$ .

Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x_{0} = - \frac{5}{9}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} y^{'} (- \frac{5}{9}) = 0 \\ y^{″} (- \frac{5}{9}) < 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} 5 a^{2} . {(- \frac{5}{9})}^{2} + 4 a . (- \frac{5}{9}) - 9 = 0 \\ 10 a^{2} . (- \frac{5}{9}) + 4 a < 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} \frac{125 a^{2}}{81} - \frac{20 a}{9} - 9 = 0 \\ - \frac{50 a^{2}}{9} + 4 a < 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} a = \frac{81}{25}, a = - \frac{9}{5} \\ a < 0 h o ặ c a > \frac{18}{25} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = \frac{81}{25} \\ a = - \frac{9}{5} \end{array}$

Ta có: $y^{'} = 5 a^{2} x^{2} + 4 a x - 9$ có $Δ^{'} = 49 a^{2} > 0$ với $a \neq 0$ nên phương trình $y^{'} = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = \frac{1}{a}, x_{2} = - \frac{9}{5 a}$ .

Hàm số đã cho có các cực trị đều dương $\Leftrightarrow y_{C T} > 0$ .

Với $a = \frac{81}{25}$ thì $x_{1} = \frac{25}{81}, x_{2} = - \frac{5}{9}$ .

Do đó $y_{C T} = y (\frac{25}{81})$ $= \frac{5}{3} . {(\frac{81}{25})}^{2} . {(\frac{25}{81})}^{3} + 2. \frac{81}{25} . {(\frac{25}{81})}^{2}$ $- 9. \frac{25}{81} + b > 0$

$\Leftrightarrow b > \frac{400}{243}$

Với $a = - \frac{9}{5}$ thì $x_{1} = - \frac{5}{9}, x_{2} = 1$ .

Do đó $y_{C T} = y (1)$ $= \frac{5}{3} . {(- \frac{9}{5})}^{2} {.1}^{3} + 2. (- \frac{9}{5}) {.1}^{2}$ $- 9.1 + b > 0$

$\Leftrightarrow b > \frac{36}{5}$ .

Vậy các giá trị $a, b$ cần tìm là: ${\begin{matrix} a = - \frac{9}{5} \\ b > \frac{36}{5} \end{matrix}$ hoặc ${\begin{matrix} a = \frac{81}{25} \\ b > \frac{400}{243} \end{matrix}$ .

Bài 6 trang 18 SGK Giải tích 12: Xác định giá trị của tham số

m

để hàm số

y = \frac{x^{2} + m x + 1}{x + m}

đạt cực đại tại

x = 2

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức:

$x_{0}$ là điểm cực đại của hàm số $y = f (x)$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} f^{'} (x_{0}) = 0 \\ f^{″} (x_{0}) < 0 \end{cases}$

Lời giải:

Tập xác định: $D = R ∖ {- m};$

Ta có: $y = x + \frac{1}{x + m}$ $\Rightarrow y^{'} = 1 - \frac{1}{{(x + m)}^{2}}$ $\Rightarrow y^{″} = \frac{2 (x + m)}{{(x + m)}^{4}} = \frac{2}{{(x + m)}^{3}}$ .

Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} y^{'} (2) = 0 \\ y^{″} (2) < 0 \end{cases}$

+) $y^{″} (2) < 0 \Leftrightarrow \frac{2}{{(2 + m)}^{3}} < 0$ $\Leftrightarrow {(2 + m)}^{3} < 0 \Leftrightarrow 2 + m < 0$ $\Leftrightarrow m < - 2$

+) $y^{'} (2) = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{(2 + m)}^{2}} = 0$ $\Leftrightarrow {(2 + m)}^{2} = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 (L) \\ m = - 3 (T M) \end{array}$

Vậy $m = - 3$ .

Lý thuyết Bài 2: Cực trị của hàm số

1. Định nghĩa

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên khoảng $(a; b)$ và điểm $x_{0} \in (a; b) .$

- Nếu tồn tại số $h > 0$ sao cho $f (x) < f (x_{0}), \forall x \in (x_{0} - h; x_{0} + h), x \neq x_{0}$ thì ta nói hàm số $f$ đạt cực đại tại $x_{0} .$

- Nếu tồn tại số $h > 0$ sao cho $f (x) > f (x_{0}), \forall x \in (x_{0} - h; x_{0} + h), x \neq x_{0}$ thì ta nói hàm số $f$ đạt cực tiểu tại $x_{0} .$

Chú ý:

a) Cần phân biệt các các khái niệm:

- Điểm cực trị $x_{0}$ của hàm số.

- Giá trị cực trị của hàm số.

- Điểm cực trị $(x_{0}; y_{0})$ của đồ thị hàm số.

b) Nếu $y = f (x)$ có đạo hàm trên $(a; b)$ và đạt cực trị tại $x_{0} \in (a; b)$ thì $f^{'} (x_{0}) = 0$ .

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lí 1. Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên khoảng $K = (x_{0} - h; x_{0} + h) (h > 0)$ và có đạo hàm trên $K$ hoặc trên $K ∖ {x_{0}}$

+) Nếu ${\begin{matrix} f^{'} (x) > 0 | \forall (x_{0} - h; x_{0}) \\ f^{'} (x) < 0 | \forall (x_{0}; x_{0} + h) \end{matrix}$ thì $x_{0}$ là điểm cực đại của hàm số

+) Nếu ${\begin{matrix} f^{'} (x) < 0 | \forall (x_{0} - h; x_{0}) \\ f^{'} (x) > 0 | \forall (x_{0}; x_{0} + h) \end{matrix}$ thì $x_{0}$ là điểm cực tiểu của hàm số

Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.

Định lý 2:

Giả sử $y = f (x)$ có đạo hàm cấp 2 trong $(x_{0} - h; x_{0} + h) (h > 0)$ .

a) Nếu ${\begin{cases} f^{'} (x_{0}) = 0 \\ f^{″} (x_{0}) > 0 \end{cases}$ thì $x_{0}$ là một điểm cực tiểu của hàm số.

b) Nếu ${\begin{cases} f^{'} (x_{0}) = 0 \\ f^{″} (x_{0}) < 0 \end{cases}$ thì $x_{0}$ là một điểm cực đại của hàm số.

3. Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Phương pháp:

Có thể tìm cực trị của hàm số bởi một trong hai quy tắc sau:

Quy tắc 1: (suy ra từ định lý 1)

- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

- Bước 2: Tính $f^{'} (x)$ , tìm các điểm tại đó $f^{'} (x) = 0$ hoặc không xác định.

- Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì đó là điểm cực đại của hàm số.

Quy tắc 2: (suy ra từ định lý 2)

- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

- Bước 2: Tính $f^{'} (x)$ , giải phương trình $f^{'} (x) = 0$ và kí hiệu $x_{1}, . . ., x_{n}$ là các nghiệm của nó.

- Bước 3: Tính $f^{″} (x)$ và $f^{″} (x_{i})$ .

- Bước 4: Dựa và dấu của $f^{″} (x_{i})$ suy ra điểm cực đại, cực tiểu:

+ Tại các điểm $x_{i}$ mà $f^{″} (x_{i}) > 0$ thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm $x_{i}$ mà $f^{″} (x_{i}) < 0$ thì đó là điểm cực đại của hàm số.

Sơ đồ tư duy về cực trị của hàm số

Các dạng toán về cực trị có tham số đối với các hàm số đơn giản

Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc ba có điểm cực trị

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y^{'}$ .

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số bậc ba có điểm cực trị:

+ Hàm số có điểm cực trị $\Leftrightarrow y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ > 0$ .

+ Hàm số không có điểm cực trị $\Leftrightarrow y^{'} = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $\Leftrightarrow Δ \leq 0$ .

- Bước 3: Kết luận.

Hàm số bậc ba chỉ có thể có hai cực trị hoặc không có cực trị nào.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc bốn trùng phương có điểm cực trị

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y^{'}$ .

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số có điểm cực trị:

+ Hàm số có $1$ điểm cực trị nếu phương trình $y^{'} = 0$ có nghiệm duy nhất.

+ Hàm số có $3$ điểm cực trị nếu phương trình $y^{'} = 0$ có ba nghiệm phân biệt.

- Bước 3: Kết luận.

Hàm số bậc bốn trùng phương chỉ có thể có $1$ điểm cực trị hoặc có $3$ điểm cực trị.

+ Trường hợp có $1$ điểm cực trị thì đó là $x = 0$ .

+ Trường hợp có $3$ điểm cực trị thì đó là $x = 0; x = - \sqrt{- \frac{b}{2 a}}; x = \sqrt{- \frac{b}{2 a}}$

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số nhận điểm cho trước làm điểm cực trị

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y^{'}, y^{″}$ .

- Bước 2: Nêu điều kiện để $x = x_{0}$ là điểm cực trị của hàm số:

+ $x = x_{0}$ là điểm cực đại nếu ${\begin{cases} f^{'} (x_{0}) = 0 \\ f^{″} (x_{0}) < 0 \end{cases}$

+ $x = x_{0}$ là điểm cực tiểu nếu ${\begin{cases} f^{'} (x_{0}) = 0 \\ f^{″} (x_{0}) > 0 \end{cases}$

- Bước 3: Kết luận.

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y^{'}$ .

- Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thỏa mãn điều kiện:

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về hai phía trục tung

$\Leftrightarrow y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu $\Leftrightarrow a c < 0$

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung

$\Leftrightarrow y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu $\Leftrightarrow {\begin{cases} Δ > 0 \\ P > 0 \end{cases}$

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên phải trục tung

$\Leftrightarrow y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dương $\Leftrightarrow {\begin{cases} Δ > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \end{cases}$

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên trái trục tung

$\Leftrightarrow y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng âm $\Leftrightarrow {\begin{cases} Δ > 0 \\ S < 0 \\ P > 0 \end{cases}$

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$ thỏa mãn đẳng thức liên hệ giữa $x_{1}, x_{2}$ thì ta biến đổi đẳng thức đã cho làm xuất hiện $x_{1} + x_{2}, x_{1} . x_{2}$ rồi sử dụng hệ thức Vi-et để thay ${\begin{cases} x_{1} + x_{2} = S \\ x_{1} x_{2} = P \end{cases}$ và tìm $m$ .

Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương có ba điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y^{'}$ .

- Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thỏa mãn điều kiện:

+ Ba điểm cực trị $A, B, C$ trong đó $A (0; c)$ lập thành một tam giác vuông (vuông cân)

$\Leftrightarrow Δ A B C$ vuông tại $A \Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{A C} = 0$ .

Khi đó:

$y^{'} = 4 a x^{3} + 2 b x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{- \frac{b}{2 a}} \end{array}$ $\Rightarrow A (0; c), B (- \sqrt{- \frac{b}{2 a}}; c - \frac{b^{2}}{4 a}), C (\sqrt{- \frac{b}{2 a}}; c - \frac{b^{2}}{4 a})$

$\Rightarrow \vec{A B} = (- \sqrt{- \frac{b}{2 a}}; - \frac{b^{2}}{4 a}), \vec{A C} = (\sqrt{- \frac{b}{2 a}}; - \frac{b^{2}}{4 a})$

$\begin{array}{l} \vec{A B} . \vec{A C} = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{b}{2 a} + \frac{b^{4}}{16 a^{2}} = 0 \\ \Leftrightarrow 8 a b + b^{4} = 0 \\ \Leftrightarrow 8 a + b^{3} = 0 \\ \Leftrightarrow b = - 2 \sqrt[3]{a} \end{array}$

Đây là công thức tính nhanh trong bài toán trắc nghiệm.

+ Ba điểm cực trị $A, B, C$ trong đó $A (0; c)$ tạo thành tam giác đều $\Leftrightarrow A B = B C = C A$ .

+ Ba điểm cực trị $A, B, C$ trong đó $A (0; c)$ tạo thành tam giác có diện tích $S_{0}$ cho trước

$\Leftrightarrow S_{0} = \frac{1}{2} A H . B C$ với $H$ là trung điểm của $B C$ .

+ Ba điểm cực trị $A, B, C$ trong đó $A (0; c)$ tạo thành tam giác có diện tích $S_{0}$ lớn nhất

$\Leftrightarrow$ Tìm $max S_{0}$ với $S_{0} = \frac{1}{2} A H . B C, H$ là trung điểm của $B C$ .

+ Ba điểm cực trị $A, B, C$ trong đó $A (0; c)$ tạo thành tam giác cân có góc ở đỉnh bằng $α$ cho trước

$\Leftrightarrow \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{| \vec{A B} | . | \vec{A C} |} = \cos α$

+ Ba điểm cực trị $A, B, C$ trong đó $A (0; c)$ tạo thành tam giác có ba góc nhọn

$\Leftrightarrow α$ là góc ở đỉnh phải nhọn $\Leftrightarrow \cos α = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{| \vec{A B} | . | \vec{A C} |} > 0$

- Bước 3: Kết luận.

Dạng 6: Viết phương trình đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y^{'}$ .

- Bước 2: Lấy $y$ chia $y^{'}$ ta được đa thức dư $g (x) = m x + n$ .

- Bước 3: Kết luận: $y = m x + n$ là đường thẳng cần tìm.

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

Giải SGK, SBT, Chuyên đề Toán Học Lớp 12

Giải Toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số

3. Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Xem thêm các chương trình khác: