Hàm số bậc hai

Sách chân trời sáng tạo

Đổi lựa chọn

Câu 21 Trắc nghiệm

Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c,\,\,a \ne 0,\) biết hàm số đạt giá trị lớn nhất trên \(\mathbb{R}\) bằng 4  khi \(x =  - 1\) và tổng bình phương các nghiệm của phương trình \(y = 0\) bằng 10. Hàm số đã cho là hàm số nào sau đây?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c,\,\,a \ne 0\) là hàm số bậc 2 nên có đỉnh \(I\left( {\dfrac{{ - b}}{{2a}};\dfrac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)\)

Vì hàm số đạt giá trị lớn nhất trên \(\mathbb{R}\) bằng 4 khi \(x =  - 1\) nên đồ thị hàm số có đỉnh \(I\left( { - 1;4} \right)\) và \(a < 0.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - b}}{{2a}} =  - 1\\f\left( { - 1} \right) = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2a\\a - b + c = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2a\\a - 2a + c = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2a\\c = 4 + a\end{array} \right.\)

Xét phương trình: \(y = 0\) \( \Leftrightarrow a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1};\,\,{x_2}\) \( \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac > 0.\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = 10 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( { - \dfrac{b}{a}} \right)^2} - \dfrac{{2c}}{a} = 10\\ \Leftrightarrow {\left( { - \dfrac{{2a}}{a}} \right)^2} - \dfrac{{2c}}{a} = 10\\ \Leftrightarrow 4a - 2c = 10a\\ \Leftrightarrow 6a + 2c = 0\\ \Leftrightarrow 6a + 2\left( {4 + a} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 6a + 2a + 8 = 0\\ \Leftrightarrow a =  - 1\,\,\left( {tm} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2\\c = 3\end{array} \right..\\ \Rightarrow y =  - {x^2} - 2x + 3.\end{array}\)

Câu 22 Trắc nghiệm

Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc  \(v\,\,\left( {km/h} \right)\) phụ thuộc thời gian \(t\,\,\left( h \right)\)  có đồ thị là một phần của parabol có đỉnh \(I\left( {2;\,\,9} \right)\) và trục đối xứng song song với trục tung như hình vẽ. Vận tốc của vật tại thời điểm 2 giờ 30 phút sau khi vật bắt đầu chuyển động gần bằng giá trị nào nhất trong các giá trị sau?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Vì vận tốc \(v\,\,\left( {km/h} \right)\) phụ thuộc thời gian \(t\,\,\left( h \right)\) có đồ thị là một phần của parabol nên ta có hàm số \(v =f(t)= a{t^2} + bt + c\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: tại thời điểm \(t = 0\), \(v = 4\)\(\Rightarrow a.0^2+b.0+c=4 \Rightarrow c = 4\)

Đồ thị hàm số có đỉnh \(I\left( {2;9} \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - b}}{{2a}} = 2\\f\left( 2 \right) = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 4a\\a{.2^2} + b.2 + 4 = 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + b = 0\\4a + 2b = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{ - 5}}{4}\\b = 5\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow v =  - \dfrac{5}{4}{t^2} + 5t + 4\)

Tại lúc 2 giờ 30 phút = 2,5 giờ vận tốc đạt được là:

\(v\left( {2,5} \right) = \dfrac{{ - 5}}{4}.2,{5^2} + 5.2,5 + 4\)\( = 8,6875\,\,\left( {km/h} \right) \approx 8,7\,\,\left( {km/h} \right)\)

Câu 23 Trắc nghiệm

Tập hợp các giá trị của tham số  \(m\)  để hàm số  \(y = 2{x^2} - mx + m\) đồng biến trên khoảng  \(\left( {1; + \infty } \right)\) là

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Hàm số \(y = 2{x^2} - mx + m\) đồng biến trên \(\left( {\dfrac{m}{4}; + \infty } \right)\) nên để hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì \(\left( {1; + \infty } \right) \subset \left( {\dfrac{m}{4}; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{m}{4} \le 1 \Leftrightarrow m \le 4\).

Vậy \(m \in \left( { - \infty ;4} \right]\).

Câu 24 Tự luận

Một vật được ném lên trên cao và độ cao của nó so với mặt đất được cho bởi công thức \(h\left( t \right) = 3 + 10t - 2{t^2}\left( m \right)\), với \(t\) là thời gian tính bằng giây \(\left( s \right)\) kể từ lúc bắt đầu ném. Độ cao cực đại mà vật đó có thể đạt được so với mặt đất bằng bao nhiêu mét?

Đáp án: 

Câu hỏi tự luận
Bạn chưa làm câu này

Đáp án: 

Ta có \(h\left( t \right) = 3 + 10t - 2{t^2}\) có đồ thị là parabol có bề lõm hướng xuống, đạt GTLN tại \(t = \dfrac{{ - 10}}{{2.\left( { - 2} \right)}} = \dfrac{5}{2}\).

Vậy \(\max h\left( t \right) = h\left( {\dfrac{5}{2}} \right) = \dfrac{{31}}{2}\,\,\left( m \right)\).

Câu 25 Tự luận

Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) đạt cực tiểu bằng 4 tại \(x =  - 2\) và đi qua \(A\left( {0;6} \right)\) có phương trình là:

Đáp án: $y $

$x^2 $

$x $

Câu hỏi tự luận
Bạn chưa làm câu này

Đáp án: $y $

$x^2 $

$x $

Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) đạt cực đại bằng \(4\) khi \(x =  - 2 \Rightarrow \) parabol  có đỉnh  \(I\left( { - 2;4} \right)\)

Lại có parabol đi qua điểm \(A\left( {0;6} \right)\) nên ta có:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4a - 2b + c = 4}\\\begin{array}{l}c = 6\\ - \dfrac{b}{{2a}} =  - 2\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \dfrac{1}{2}}\\{b = 2}\\{c = 6}\end{array}} \right.} \right.\) .

Vậy parabol đã cho có hàm số: \(y = \dfrac{1}{2}{x^2} + 2x + 6.\)