I. Sơ đồ tư duy Tích vô hướng của hai vectơ
II. Góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ →a và →b đều khác →0. Từ một điểm O bất kì ta vẽ →OA=→a;→OB=→b
Khi đó, số đo của góc AOB được gọi là số đo góc giữa hai véc tơ →a,→b
Kí hiệu: (→a;→b)=(→OA,→OB)=^AOB.
+ Quy ước : Nếu →a=→0 hoặc →b=→0 thì ta xem góc giữa hai vectơ →a và →b là tùy ý (từ 00 đến 1800).
Chú ý:
- Từ định nghĩa ta có (→a,→b)=(→b,→a).
- Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác 0 luôn bằng 0∘.
- Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác →0 luôn bằng 180∘.
- Nếu (→u,→v)=90∘ thì ta nói rằng →u và →v vuông góc với nhau, kí hiệu là →u⊥→v hoặc →v⊥→u. Đặc biệt →0 được coi là vuông góc với mọi vectơ.
III. Tích vô hướng của hai vectơ
Tích vô hướng của hai véc tơ →a và →b là một số, kí hiệu là →a.→b, được xác định bởi công thức: →a.→b=|→a||→b|.cos(→a,→b).
Chú ý:
- →a⊥→b⇔→a⋅→b=0.
- →a.→a còn được viết là →a2 và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ →a. Ta có →a2=|→a|⋅|→a|⋅cos0∘=|→a|2.
- Trường hợp ít nhất một trong hai vecto →a và →b bằng →0, ta quy ước →a⋅→b=0.
IV. Tính chất tích vô hướng của hai vectơ
Với ba véc tơ bất kì →a,→b,→c và mọi số thực k ta luôn có:
1)→a.→b=→b.→a2)→a(→b±→c)=→a.→b±→a.→c3)(k→a)→b=k(→a.→b)=→a(k→b)4)→a2≥0,→a2=0⇔→a=→0
Chú ý:
+ Nếu hai véc tơ →a và →b khác →0 thì →a⊥→b⇔→a.→b=0
+ →a.→a=→a2=|→a|2 gọi là bình phương vô hướng của véc tơ →a.
+ (→a±→b)2=→a2±2→a.→b+→b2,(→a+→b)(→a−→b)=→a2−→b2
