I. Sơ đồ tư duy Tích vô hướng của hai vectơ
II. Góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Từ một điểm \(O\) bất kì ta vẽ \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ;\,\,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \)
Khi đó, số đo của góc AOB được gọi là số đo góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \)
Kí hiệu: \(\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = \widehat {AOB}\).
+ Quy ước : Nếu \(\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \) hoặc \(\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \) thì ta xem góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là tùy ý (từ \({0^0}\) đến \({180^0}\)).
Chú ý:
- Từ định nghĩa ta có \((\vec a,\vec b) = (\vec b,\vec a)\).
- Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác 0 luôn bằng \({0^\circ }\).
- Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác \(\vec 0\) luôn bằng \({180^\circ }\).
- Nếu \((\vec u,\vec v) = {90^\circ }\) thì ta nói rằng \(\vec u\) và \(\vec v\) vuông góc với nhau, kí hiệu là \(\vec u \bot \vec v\) hoặc \(\vec v \bot \vec u\). Đặc biệt \(\vec 0\) được coi là vuông góc với mọi vectơ.
III. Tích vô hướng của hai vectơ
Tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \), được xác định bởi công thức: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Chú ý:
- \(\vec a \bot \vec b \Leftrightarrow \vec a \cdot \vec b = 0\).
- \(\overrightarrow a .\overrightarrow a \) còn được viết là \({\overrightarrow a ^2}\) và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ \(\overrightarrow a \). Ta có \({\overrightarrow a ^2} = |\overrightarrow a | \cdot |\overrightarrow a | \cdot \cos {0^\circ } = |\overrightarrow a {|^2}\).
- Trường hợp ít nhất một trong hai vecto \(\vec a\) và \(\vec b\) bằng \(\vec 0\), ta quy ước \(\vec a \cdot \vec b = 0\).
IV. Tính chất tích vô hướng của hai vectơ
Với ba véc tơ bất kì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) và mọi số thực k ta luôn có:
\(\begin{array}{l}1){\rm{ }}\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow a \\2){\rm{ }}\overrightarrow a (\overrightarrow b \pm \overrightarrow c ) = \overrightarrow a .\overrightarrow b \pm \overrightarrow a .\overrightarrow c \\3){\rm{ }}(k\overrightarrow a )\overrightarrow b = k(\overrightarrow a .\overrightarrow b ) = \overrightarrow a (k\overrightarrow b )\\4){\rm{ }}{\overrightarrow a ^2} \ge 0,{\overrightarrow a ^2} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a = \overrightarrow 0 \end{array}\)
Chú ý:
+ Nếu hai véc tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) thì \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\)
+ \(\overrightarrow a .\overrightarrow a = {\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}\) gọi là bình phương vô hướng của véc tơ \(\overrightarrow a \).
+ \({(\overrightarrow a \pm \overrightarrow b )^2} = {\overrightarrow a ^2} \pm 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2},\,{\rm{ }}(\overrightarrow a + \overrightarrow b )(\overrightarrow a - \overrightarrow b ) = {\overrightarrow a ^2} - {\overrightarrow b ^2}\)
