Nhị thức Newton

I. Công thức nhị thức Newton

Công thức (1) được gọi là công thức nhị thức Newton, gọi tắt là nhị thức Newton.

Chú ý:

a) Trong cách viết vế phải của (1), số hạng $C_n^k{a^{n - k}}{b^k}(0 \le k \le n)$ được gọi là số hạng tổng quát.

b) Vế phải của (1) gồm $n + 1$ số hạng. Đi qua các số hạng từ trái sang phải, số mũ của $a$ giảm dần, số mũ của $b$ tăng dần, nhưng tổng của chúng không đổi và bằng $n$ (quy ước $\left. {{a^0} = {b^0} = 1} \right)$.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^6} = C_6^0.{x^6} + C_6^1.{x^5}.2 + C_6^2.{x^4}{.2^2} + C_6^3.{x^3}{.2^3} + C_6^4.{x^2}{.2^4} + C_6^5.x{.2^5} + C_6^6{.2^6}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^6} + 12{x^5} + 60{x^4} + 160{x^3} + 240{x^2} + 192x + 64\end{array}$.

II. Tam giác Pascal

Trong khai triển của ${\left( {a + b} \right)^n}$ (với $n = 1,2,3,4,5$):

Nhận xét:

Xuất phát từ dãy các hệ số trong khai triển nhị thức Newton ${\left( {a + b} \right)^n}$ với $n \in \mathbb{N}$, ta bổ sung thêm hai dòng đầu tiên và nhận được tam giác các hệ số như sau:

Tam giác số ở trên được gọi là tam giác Pascal

Tính chất của các số $C_n^k$:

+$C_n^k = C_n^{n - k}\,\left( {0 \le k \le n} \right)$(Tính chất đối xứng)

+ $C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k = C_n^k\left( {1 \le k \le n} \right)$(Hệ thức Pascal)

III. Vận dụng công thức nhị thức Newton

Công thức nhị thức Newton với các dạng mở rộng của nó có nhiều ứng dụng quan trọng

trong toán học. Dưới đây, ta xét thêm vài ví dụ đơn giản

Ví dụ 1:

Xác định hệ số của ${x^4}{y^6}$ trong khai triển ${\left( {2x - y} \right)^{10}}$.

Giải

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

$\begin{array}{l}{\left( {2x - y} \right)^{10}} = C_{10}^0{\left( {2x} \right)^{10}} + C_{10}^1{\left( {2x} \right)^9}\left( { - y} \right) + ... + C_{10}^k{\left( {2x} \right)^{10 - k}}{\left( { - y} \right)^k} + ... + C_{10}^{10}{\left( { - y} \right)^{10}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {2^{10}}C_{10}^0{x^{10}} - {2^9}C_{10}^1{x^9}y + ... + {\left( { - 1} \right)^k}{2^{10 - k}}C_{10}^k{x^{10 - k}}{y^k} + ... + C_{10}^{10}{y^{10}}\end{array}$

Số hạng chứa ${x^4}{y^6}$ ứng với giá trị $k = 6$. Do đó, hệ số của ${x^4}{y^6}$ là

${\left( { - 1} \right)^6}{.2^4}.C_{10}^6 = 16.210 = 3360.$

Ví dụ 2:

Chứng minh rằng đẳng thức sau đây đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*:$

$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^n}.$

Giải

Theo công thức nhị thức Newton, ta có

${\left( {x + 1} \right)^n} = {\rm{ }}C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} + ... + {\rm{ }}C_n^{n - 1}x + C_n^n.$

Thay x=1 vào công thức trên, ta nhận được

$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^n}.$

Đây là điều phải chứng minh.