Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

I. Hoán vị

Tập hợp hữu hạn $A$ có $n$ phần tử $\left( {n \ge 1} \right)$. Mỗi cách sắp thứ tự các phần tử của $A$ được gọi là một hoán vị của $n$ phần tử đó.

Chú ý: Kí hiệu $n.\left( {n - 1} \right).\left( {n - 2} \right)...{\rm{ }}2.1$ là $n!$ (đọc là $n$ giai thừa hoặc giai thừa của $n$), ta có ${P_n} = n!$

Chẳng hạn ${P_3} = 3! = 3.2.1 = 6.$

Quy ước $0! = 1.$

Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp $3$ bạn vào một bàn có $3$ chỗ ngồi?

Giải:

Mỗi cách xếp cho ta một hoán vị khác nhau của $3$ bạn. Vậy số cách xếp là ${P_3} = 3! = 6$.

II. Chỉnh hợp

Xét một tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử $\left( {n \ge 1} \right)$ và một số nguyên $k$ với $1 \le k \le n$. Mỗi cách lấy ra $k$ phần tử của $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử của $A$.

Ví dụ: Có bao nhiêu số nguyên dương gồm $3$ chữ số đôi một khác nhau và khác $0$?

Giải:

Mỗi số cần tìm có dạng $\overline {abc} \left( {a,b,c \in \left\{ {1;2;3;...;9} \right\},a \ne b \ne c} \right)$.

Mỗi số dạng trên là một chỉnh hợp chập $3$ của $9$. Do đó số các số cần tìm là: $A_9^3 = \dfrac{{9!}}{{\left( {9 - 3} \right)!}} = 9.8.7 = 504$ số.

Chú ý:

- Hoán vị sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phần tử và sắp xếp chúng.

- Mỗi hoán vị của $n$ phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập $n$ của $n$ phần tử đó. Vì vậy ${P_n} = A_n^n$

III. Định nghĩa tổ hợp

Ví dụ: Bạn Quân có 4 chiếc áo sơ mi khác màu là áo vàng, áo xanh, áo trắng và áo nâu.

Bạn muốn chọn 2 chiếc áo để mặc khi đi du lịch. Viết các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo.

Giải

Các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo là:

{áo vàng; áo xanh}, {áo vàng; áo trắng}, {áo vàng; áo nâu},

{áo xanh; áo trắng}, {áo xanh; áo nâu}, {áo trắng; áo nâu}.

IV. Số các tổ hợp

Chú ý:

+ Quy ước $C_n^0 = 1$

+ $C_n^k = \dfrac{{A_n^k}}{{k!}}$

- Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

Ví dụ: Có 7 bạn học sinh muốn chơi cờ cá ngựa, nhưng mỗi ván chỉ có 4 người chơi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 bạn chơi cờ cá ngựa?

Giải

Mỗi cách chọn 4 bạn trong 7 bạn học sinh là một tổ hợp chập 4 của 7.

Vậy số cách chọn 4 bạn chơi cờ cá ngựa là: $C_7^4 = \dfrac{{7!}}{{4!3!}} = 35$

V. Tính chất tổ hợp chập k của n phần tử Ta có hai đẳng thức sau:

Ta có hai đẳng thức sau:

+$C_n^k = C_n^{n - k}\left( {0 \le k \le n} \right)$

+$C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k = C_n^k\left( {1 \le k < n} \right)$

Ví dụ:

a) $C_9^4 = C_9^5$

b) $C_8^3 + C_8^4 = C_9^4$

VI. Tính số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp bằng máy tính cầm tay

1.Hoán vị

Để tính ${P_8} = 8!$, ta ấn liên tiếp các phím:

Ta được kết quả là 40 320

2.Chỉnh hợp

Để tính $A_{12}^5$, ta ấn liên tiếp các phím:

Ta nhận được kết quả là 95 040.

3.Tổ hợp

Để tính $C_{20}^{11}$, ta ấn liên tiếp các phím:

Ta nhận được kết quả là 167 960.