Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

I. Đường Elip

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của elip tương ứng.

Ví dụ: Cho 2 phương trình

a) $\dfrac{{{x^2}}}{{{4^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1$

b) $\dfrac{{{x^2}}}{{{3^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1$

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{b} = 1$, với $a > b > 0$ nên chỉ có trường hợp b) là phương trình chính tắc của đường elip.

II. Đường Hypebol

Cho hai điểm phân biệt cố định ${F_1}$ và ${F_2}$. Đặt ${F_1}{F_2} = 2c$. Cho số thực dương a nhỏ hơn c.

Tập hợp các điểm M sao cho $\left| {M{F_1}--M{F_2}} \right| = 2a$ được gọi là đường hypebol (hay hypebol). Hai điểm ${F_1}$,${F_2}$ được gọi là hai tiêu điểm và ${F_1}{F_2} = 2c$ được gọi là tiêu cự của hypebol đó.

Chú ý: Hypebol có hai nhánh, một nhánh gồm những điểm M thoả mãn $M{F_1}--M{F_2} = 2a$ và nhánh còn lại gồm những điểm M thoả mãn $M{F_1}--M{F_2} =  - 2a$

Phương trình chính tắc của hypebol:

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol tương ứng.

Ví dụ: Cho 2 phương trình

a) $\dfrac{{{x^2}}}{{{4^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1$

b) $\dfrac{{{x^2}}}{{{5^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{6^2}}} = - 1$

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{b} = 1$, với $a > 0,\,\,b > 0$ nên chỉ có trường hợp a) là phương trình chính tắc của đường hypebol.

III. Đường Parabol

Cho một điểm F cố định và một đường thẳng $\Delta$ cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M cách đều F và $\Delta$ được gọi là đường parabol (hay parabol). Điểm F được gọi là tiêu điểm, $\Delta$ được gọi là đường chuẩn, khoảng cách từ F đến $\Delta$ được gọi là tham số tiêu của parabol đó.

Phương trình (3) được gọi là phương trình chính tắc của parabol $(P)$.

Ngược lại, mỗi phương trình dạng (3), với $p > 0$, là phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm $F\left( {\dfrac{p}{2};0} \right)$ và đường chuẩn $\Delta :x =  - \dfrac{p}{2}$.

Ví dụ: Cho parabol $(P):{y^2} = x$.

a) Tìm tiêu điểm $F$, đường chuẩn $\Delta$ của $(P)$.

b) Tìm những điểm trên $(P)$ có khoảng cách tới $F$ bằng 3 .

Giải

a) Ta có $2p = 1$ nên $p = \dfrac{1}{2}$.

Parabol có tiêu điểm $F\left( {\dfrac{1}{4};0} \right)$ và đường chuẩn $\Delta :x =  - \dfrac{1}{4}$.

b) Điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc $(P)$ có khoảng cách tới $F$ bằng 3 khi và chỉ khi $y_0^2 = {x_0}$ và $MF = 3$.

Do $MF = d(M,\Delta )$ nên $d(M,\Delta ) = 3$.

Mặt khác $\Delta :x + \dfrac{1}{4} = 0$ và ${x_0} = y_0^2 \ge 0$ nên $3 = d(M,\Delta ) = \left| {{x_0} + \dfrac{1}{4}} \right| = {x_0} + \dfrac{1}{4}$.

Vậy ${x_0} = \dfrac{{11}}{4}$ và ${y_0} = \dfrac{{\sqrt {11} }}{2}$ hoặc ${y_0} =  - \dfrac{{\sqrt {11} }}{2}$.

Vậy có hai điểm $M$ thoả mãn bài toán với tọa độ là $\left( {\dfrac{{11}}{4};\dfrac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)$ và $\left( {\dfrac{{11}}{4}; - \dfrac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)$.