I. Đường Elip
Cho hai điểm cố định \({F_1},\,{F_2}\) và một độ dài không đổi \(2a\) lớn hơn \({F_1}{F_2}\). Elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho \({F_1}M + {F_2}M = 2a.\)
Các điểm \({F_1}\) và \({F_2}\) gọi là các tiêu điểm của elip.
Độ dài \({F_1}{F_2} = 2c\) gọi là tiêu cự của elip (a > c).
Trong đó \(b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} \)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó, thì có phương trình
\(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{b} = 1\) (1)
Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (1), với a >b>0, đều là phương trình của elip có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0} \right),\,\,\,{F_1}\left( {\sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0} \right)\), tiêu cự \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \) và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng 2a.
Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của elip tương ứng.
Ví dụ: Cho 2 phương trình
a) \(\dfrac{{{x^2}}}{{{4^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\)
b) \(\dfrac{{{x^2}}}{{{3^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1\)
Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{b} = 1\), với \(a > b > 0\) nên chỉ có trường hợp b) là phương trình chính tắc của đường elip.
II. Đường Hypebol
Cho hai điểm phân biệt cố định \({F_1}\) và \({F_2}\). Đặt \({F_1}{F_2} = 2c\). Cho số thực dương a nhỏ hơn c.
Tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {M{F_1}--M{F_2}} \right| = 2a\) được gọi là đường hypebol (hay hypebol). Hai điểm \({F_1}\),\({F_2}\) được gọi là hai tiêu điểm và \({F_1}{F_2} = 2c\) được gọi là tiêu cự của hypebol đó.
Chú ý: Hypebol có hai nhánh, một nhánh gồm những điểm M thoả mãn \(M{F_1}--M{F_2} = 2a\) và nhánh còn lại gồm những điểm M thoả mãn \(M{F_1}--M{F_2} = - 2a\)
Phương trình chính tắc của hypebol:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho \(O\) là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó, thì có phương trình
\(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{, }}\)với \(a,b > 0.{\rm{ }}\) (2)
Ngược lại, mỗi phương trình (2), với \(a,b > 0\), đều là phương trình của hypebol có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0} \right)\), tiêu cự \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ một điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng \(2a\).
Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol tương ứng.
Ví dụ: Cho 2 phương trình
a) \(\dfrac{{{x^2}}}{{{4^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\)
b) \(\dfrac{{{x^2}}}{{{5^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{6^2}}} = - 1\)
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{b} = 1\), với \(a > 0,\,\,b > 0\) nên chỉ có trường hợp a) là phương trình chính tắc của đường hypebol.
III. Đường Parabol
Cho một điểm F cố định và một đường thẳng \(\Delta \) cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M cách đều F và \(\Delta \) được gọi là đường parabol (hay parabol). Điểm F được gọi là tiêu điểm, \(\Delta \) được gọi là đường chuẩn, khoảng cách từ F đến \(\Delta \) được gọi là tham số tiêu của parabol đó.
Xét \((P)\) là một parabol với tiêu điểm \(F\), đường chuẩn \(\Delta \). Gọi H là hình chiếu vuông góc của \(F\) trên \(\Delta \). Khi đó, trong hệ trục toạ độ Oxy với gốc \(O\) là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF, parabol \((P)\) có phương trình
\({y^2} = 2px\), với \(p > 0\) (3)
Phương trình (3) được gọi là phương trình chính tắc của parabol \((P)\).
Ngược lại, mỗi phương trình dạng (3), với \(p > 0\), là phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm \(F\left( {\dfrac{p}{2};0} \right)\) và đường chuẩn \(\Delta :x = - \dfrac{p}{2}\).
Ví dụ: Cho parabol \((P):{y^2} = x\).
a) Tìm tiêu điểm \(F\), đường chuẩn \(\Delta \) của \((P)\).
b) Tìm những điểm trên \((P)\) có khoảng cách tới \(F\) bằng 3 .
Giải
a) Ta có \(2p = 1\) nên \(p = \dfrac{1}{2}\).
Parabol có tiêu điểm \(F\left( {\dfrac{1}{4};0} \right)\) và đường chuẩn \(\Delta :x = - \dfrac{1}{4}\).
b) Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc \((P)\) có khoảng cách tới \(F\) bằng 3 khi và chỉ khi \(y_0^2 = {x_0}\) và \(MF = 3\).
Do \(MF = d(M,\Delta )\) nên \(d(M,\Delta ) = 3\).
Mặt khác \(\Delta :x + \dfrac{1}{4} = 0\) và \({x_0} = y_0^2 \ge 0\) nên \(3 = d(M,\Delta ) = \left| {{x_0} + \dfrac{1}{4}} \right| = {x_0} + \dfrac{1}{4}\).
Vậy \({x_0} = \dfrac{{11}}{4}\) và \({y_0} = \dfrac{{\sqrt {11} }}{2}\) hoặc \({y_0} = - \dfrac{{\sqrt {11} }}{2}\).
Vậy có hai điểm \(M\) thoả mãn bài toán với tọa độ là \(\left( {\dfrac{{11}}{4};\dfrac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)\) và \(\left( {\dfrac{{11}}{4}; - \dfrac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)\).
