I. Phương trình tham số của đường thẳng
Vectơ \(\overrightarrow u \) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) nếu \(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 \) và giá của \(\overrightarrow u \) song song hoặc trùng với \(\Delta \).
Chú ý:
Nếu \(\overrightarrow u \) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) thì \(k\overrightarrow u \left( {k \ne 0} \right)\) cũng là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).
Hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} + at}\\{y = {y_0} + bt}\end{array}} \right.\)(với \({a^2} + {b^2} > 0,\,\,t \in R\)) trong đó \(t\) là tham số,
được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và nhận\(\overrightarrow u = \left( {a;b} \right)\) làm vecto chỉ phương.
Nhận xét:
Cho \(t\) một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng \(\Delta \) và ngược lại.
Ví dụ:
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {2;7} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( { - 3;5} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
b) Tìm toạ độ điểm M trên \(\Delta \), biết M có hoành độ bằng –4.
Giải
a) Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \):\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 3t}\\{y = 7 + 5t}\end{array}} \right.\)
b) Thay \(x = --4\) vào phương trình \(x = 2--3t\), ta được \(--4 = 2--3t\), suy ra \(t = 2\).
Thay \(t = 2\) vào phương trình \(y = 7 + 5t\), ta được \(y = 17\).
Vậy \(M = \left( {--4;17} \right).\)
II. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Vectơ \(\overrightarrow n \) được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) nếu \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) và giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\Delta \).
Chú ý:
- Nếu \(\overrightarrow u \) là một vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) thì \(k\overrightarrow u \left( {k \ne 0} \right)\) cũng là một vectơ pháp tuyến của \(\Delta \).
- Hai vectơ \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\) và \(\left( { - b;a} \right)\) vuông góc với nhau nên nếu \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) thì \(\overrightarrow u \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.
Phương trình tổng quát:
Phương trình \(ax + {\rm{ }}by + {\rm{ }}c = 0\) (a và b không đồng thời bằng 0) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét
- Đường thẳng A đi qua điểm \(M\left( {x;y} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
\(a\left( {x - {x_0}} \right) + {\rm{ }}b\left( {y - {y_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by + \left( { - ax - by} \right) = 0\)
- Mỗi phương trình \(ax + {\rm{ }}by + {\rm{ }}c = 0\) (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng \(\Delta \) trên mặt phẳng toạ độ nhận một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\).
Ví dụ: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( { - 2;4} \right)\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3{\rm{ }};2} \right).\)
Giải
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là:
\(3\left( {x + 2} \right) + 2\left( {y - 4} \right) = 0\)
hay \(3x + 2y - 2 = 0.\)
III. Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng
Đồ thị hàm bậc nhất \(y = kx + {y_0}\) là một đường thẳng có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (k; - 1)\) và có phương trình tổng quát là \(kx - y + {y_0} = 0\). Đường thẳng này không vuông góc với \(Ox\) và \(Oy\).
Ngược lại, cho đường thẳng \(d\) có phương trình tổng quát \(ax + by + c = 0\) với \(a\) và \(b\) đều khác 0 , khi đó ta có thể viết: \(ax + by + c = 0 \Leftrightarrow y = - \dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b} \Leftrightarrow y = kx + {y_0}\).
Như vậy d là đồ thị của hàm bậc nhất \(y = kx + {y_0}\) với hệ số góc \(k = - \dfrac{a}{b}\) và tung độ gốc \({y_0} = - \dfrac{c}{b}\)
Chú ý:
- Nếu \(a = 0\) và \(b \ne 0\) thì phương trình tổng quát \(ax + by + c = 0\) trở thành \(y = - \dfrac{c}{b}\).
Khi đó \(d\) là đường thẳng vuông góc với Oy tại điểm \(\left( {0; - \dfrac{c}{b}} \right)\)
- Nếu \(b = 0\) và \(a \ne 0\) thì phương trình tổng quát \(ax + by + c = 0\) trở thành \(x = - \dfrac{c}{a}\).
Khi đó \(d\) là đường thẳng vuông góc với Ox tại điểm \(\left( { - \dfrac{c}{a};0} \right)\)
Trong cả hai trường hợp này, đường thẳng \(d\) không phải là đồ thị của hàm số bậc nhất.
IV. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Trên mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng
Trên mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng
\({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = \) và \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0.{\rm{ }}\)
Khi đó, toạ độ giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0}\\{{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0.}\end{array}} \right.\)
\({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\) tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow \) hệ \((*)\) có nghiệm duy nhất \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\).
\({\Delta _1}\) song song với \({\Delta _2} \Leftrightarrow \) hệ \((*)\) vô nghiệm.
\({\Delta _1}\) trùng \({\Delta _2} \Leftrightarrow \) hệ \((*)\) có vô số nghiệm.
Dựa vào các vectơ chỉ phương \({\vec u_1},{\bar u_2}\) hoặc các vectơ pháp tuyến \({\vec n_1},\overrightarrow {{n_2}} \) của \({\Delta _1},{\Delta _2}\), ta có:
- \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song hoặc trùng nhau \( \Leftrightarrow {\bar u_1}\) và \({\bar u_2}\) cùng phương \( \Leftrightarrow {\bar n_1}\) và \(\overline {{n_2}} \) cùng phương.
- \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overline {{u_2}} \) không cùng phương \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overline {{n_2}} \) không cùng phương.
Ví dụ: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng \(\Delta :x - \sqrt 2 y + 4\sqrt 3 = 0\) và mỗi đường thẳng sau:
\(\begin{array}{l}{\Delta _1}:\sqrt 3 x - \sqrt 6 y + 12 = 0\\{\Delta _2}:\sqrt 2 x - 2y = 0.\end{array}\)
Giải
Vì \(x - \sqrt 2 y + 4\sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 (x - \sqrt 2 y + 4\sqrt 3 ) = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 x - \sqrt 6 y + 12 = 0.\)
Vậy \(\Delta \) và \({\Delta _1}\) là một, tức là chúng trùng nhau.
Hai đường thẳng \(\Delta \) và \({\Delta _2}\) có hai vectơ pháp tuyến \(\vec n(1; - \sqrt 2 )\) và \(\overline {{n_2}} (\sqrt 2 ; - 2)\) cùng phương.
Do đó, chúng song song hoặc trùng nhau.
Mặt khác, điểm \(O(0;0)\) thuộc đường thẳng \({\Delta _2}\) nhưng không thuộc đường thẳng \(\Delta \), nên hai đường thẳng này không trùng nhau.
Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.
Nhận xét. Giả sử hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) có hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) (hay hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) ) cùng phương. Khi đó:
- Nếu \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có điểm chung thì \({\Delta _1}\) trùng \({\Delta _2}\).
- Nếu tồn tại điểm thuộc \({\Delta _1}\) nhưng không thuộc \({\Delta _2}\) thì \({\Delta _1}\) song song với \({\Delta _2}\).
V. Góc giữa hai đường thẳng
Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, số đo của góc không tù được gọi là số đo góc (hay đơn giản là góc) giữa hai đường thẳng.
Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng \({0^\circ }\).
Cho hai đường thẳng
${\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{a_1};{b_1}} \right)\);
${\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$ có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{a_2};{b_2}} \right)\).
Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$.
Khi đó
$\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}.} \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {{a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}$
Chú ý
- \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 0\).
- Nếu \({\Delta _1},{\Delta _2}\) có các vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) thì góc \(\varphi \) giữa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cũng được xác định thông qua công thức \(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {{{\vec u}_1},\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right|\).
Ví dụ: Tính góc giữa hai đường thẳng
\({\Delta _1}:\sqrt 3 x - y + 2 = 0\) và \({\Delta _2}:x - \sqrt 3 y - 2 = 0.\)
Giải
Vectơ pháp tuyến của \({\Delta _1}\) là \(\overrightarrow {{n_1}} = (\sqrt 3 ; - 1)\), của \({\Delta _2}\) là \(\overrightarrow {{n_2}} = (1; - \sqrt 3 )\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\). Ta có
\(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overline {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{|\sqrt 3 \cdot 1 + ( - 1) \cdot ( - \sqrt 3 )|}}{{\sqrt {{{(\sqrt 3 )}^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{( - \sqrt 3 )}^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Do đó, góc giữa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là \(\varphi = {30^\circ }\).
VI. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ đến đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0$ được tính theo công thức
$d\left( {{M_0},\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$
Nhận xét. Cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ và ${\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$ cắt nhau thì phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:
$\dfrac{{{a_1}x + {b_1}y + {c_1}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} }} = \pm \dfrac{{{a_2}x + {b_2}y + {c_2}}}{{\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}$
Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm \(M(2;4)\) đến đường thẳng \(\Delta :3x + 4y - 12 = 0\).
Giải
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điềm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \), ta có
\(d(M,\Delta ) = \dfrac{{|3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 - 12|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \dfrac{{10}}{5} = 2\)
Vậy khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) là 2 .
