I. Hàm số
Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập hợp số D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số.
Kí hiệu: \(y = f\left( x \right)\).
Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x.
Tập tất cả các giá trị y nhận được, gọi là tập giá trị của hàm số.
\(D\) được gọi là tập xác định của hàm số \(f\).
Tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là tập hợp tất cả các số thực \(x\) sao cho biểu thức \(f\left( x \right)\) có nghĩa.
II. Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên tập \(D\) là tập hợp tất cả các điểm \(M\left( {x;f(x)} \right)\) trên mặt phẳng toạ độ với mọi \(x \in D\).
Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là một đường. Khi đó ta nói \(y = f\left( x \right)\) là phương trình của đường đó.
III. Sự biến thiên của hàm số
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến (tăng) trên \(\left( {a;b} \right)\) nếu:
\(\forall {x_1},{x_2} \in K:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)
- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến (giảm) trên \(\left( {a;b} \right)\) nếu:\(\forall {x_1},{x_2} \in K:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\)
Chú ý:
- Đồ thị của một hàm số đồng biến trên khoảng (a, b) là đường “đi lên" từ trái sang phải
- Đồ thị của một hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b) là đường “đi xuống" từ trái sang phải
Ví dụ:
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = 2x - 1\). Hàm số này xác định trên \(\mathbb{R}\).
Lấy \({x_1};{x_2}\) là hai số tuỳ ý sao cho \({x_1} < {x_2}\) ta có:
\({x_1} < {x_2} \Rightarrow 2{x_1} < 2{x_2} \Rightarrow 2{x_1} - 1 < 2{x_2} - 1 \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\)
Vậy hàm số đồng biến (tăng) trên \(\mathbb{R}\).
