Hypebol

I. Tính đối xứng của hypebol

Trong mặt phẳng Oxy,xét hypebol có phương trình chính tắc $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > 0;b > 0} \right)$:

Chú ý: Nếu điểm $M\left( {x;y} \right)$ nằm trên hypebol (H) thì các điểm ${M_1}\left( {x; - y} \right),{M_2}\left( { - x;y} \right),{M_3}\left( { - x; - y} \right)$ cũng nằm trên hypebol (H).

II. Hình chữ nhật cơ sở của hypebol

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ với $a > 0,{\rm{ }}b > 0$. Khi đó, ta có:

III. Tâm sai của hypebol

Nhận xét:

+ $e = \dfrac{c}{a} > 1$

+ $e = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a} = \sqrt {1 + {{\left( {\dfrac{b}{a}} \right)}^2}}$

Ví dụ:

Tìm tâm sai của hypebol $\left( H \right):\dfrac{{{x^2}}}{{64}} - \dfrac{{{y^2}}}{{36}} = 1$.

Giải

Ta có $a = 8,b = 6$ suy ra $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 10$

Vậy tâm sai của (H) là $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{10}}{8} = \dfrac{5}{4}$.

IV. Bán kính qua tiêu của một điểm thuộc hypebol

Ví dụ:

Cho hypebol $\dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{{{y^2}}}{{21}} = 1$. Tính độ dài bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có hoành độ bằng -10.

Giải

Ta có: ${a^2} = 4;\,{b^2} = 21 \Rightarrow a = 4,\,b = \sqrt {21}$ và $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 5$.

Do đó, hypebol có 2 tiêu điểm là ${F_1}\left( { - 5;0} \right),\,{F_2}\left( {5;0} \right)$.

Điểm M thuộc hypebol và có hoành độ ${x_0} = - 10$ nên:

$M{F_1} = \left| {a + \dfrac{c}{a}{x_0}} \right| = \left| {2 + \dfrac{5}{2}.\left( { - 10} \right)} \right| = 23$

$M{F_2} = \left| {a - \dfrac{c}{a}{x_0}} \right| = \left| {2 - \dfrac{5}{2}.\left( { - 10} \right)} \right| = 27$

V. Đường chuẩn của hypebol

Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ và có hai tiêu điểm ${F_1}\left( {-c;0} \right),{F_2}\left( {c;0} \right).$

Với mọi điểm M thuộc hypebol, ta luôn có $\dfrac{{M{F_1}}}{{d\left( {M;{\Delta _1}} \right)}} = \dfrac{{M{F_2}}}{{d\left( {M;{\Delta _2}} \right)}} = e$.

Chú ý: Vì $- a < - \dfrac{a}{e} < \dfrac{a}{e} < a$ nên đường chuẩn của hypebol không có điểm chung với hypebol đó.

Ví dụ:

Cho điểm $M\left( {x;y} \right)$ trên hypebol (H):$\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng.

b) Tính tỉ số khoảng cách từ M đến tiêu điểm và đến đường chuẩn tương ứng.

Giải

Ta có $a = 4;{\rm{ }}b = 3,$ suy ra $c = \sqrt {a + b} {\rm{ }} = 5,{\rm{ }}e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{4};\,\,\dfrac{a}{e} = \dfrac{{{a^2}}}{c} = \dfrac{{16}}{5}$

a) Ứng với tiêu ${F_1}\left( {-5;0} \right)$, ta có đường chuẩn ${\Delta _1}:\,x + \dfrac{{16}}{5} = 0$

  Ứng với tiêu điểm ${F_{_2}}\left( {5;0} \right)$ta có đường chuẩn ${\Delta _2}:\,x - \dfrac{{16}}{5} = 0$

b) Ta có $\dfrac{{M{F_1}}}{{d\left( {M;{\Delta _1}} \right)}} = \dfrac{{M{F_2}}}{{d\left( {M;{\Delta _2}} \right)}} = e = \dfrac{5}{4}$

VI. Cách vẽ hypebol

Để vẽ hypebol $\left( H \right):\,\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > 0,{\rm{ }}b > 0} \right),$ ta có thể làm như sau:

VII. Tính đối xứng của parabol

Ta đã biết parabol (P) với phương trình chính tắc ${y^2} = 2px$ có:

Chú ý:

a) Với mọi điểm $M\left( {x;y} \right)$ thuộc parabol $\left( P \right):{y^2} = 2px$ (với $p > 0$) ta đều có $x \ge 0$, suy ra (P) thuộc nửa mặt phẳng toạ độ có $x \ge 0$.

b) Vì $- \dfrac{p}{2} < 0$ nên đường chuẩn của parabol không có điểm chung với parabol đó.

c) Nếu điểm $M\left( {x;y} \right)$ nằm trên parabol (P) thì điểm $M'\left( {{x_0}; - {y_0}} \right)$ cũng nằm trên parabol (P).

Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn gọi là tham số tiêu của parabol.

Đường parabol chỉ có một trục đối xứng, một đỉnh và không có tâm đối xứng.

VIII. Bán kính qua tiêu và tâm sai của parabol

Cho parabol có phương trình chính tắc ${y^2} = 2px,{\rm{ }}p > 0$. Khi đó:

Ví dụ:

Tính bán kính qua tiêu của điểm $M\left( {1;2} \right)$ trên parabol $\left( P \right):{y^2} = 4x$

Giải

Ta có $2p = 4 \Rightarrow p = 2$

Độ dài bán kính qua tiêu của điểm $M\left( {1;2} \right)$ là:

$FM = x + \dfrac{p}{2} = 1 + \dfrac{2}{2} = 2$