Tập hợp

Tập $A = \left\{ {1,2,3} \right\}$ có $3$ phần tử nên $A$ có ${2^3} = 8$ tập hợp con.

Để $\left( { - \infty ;1} \right] \cap \left( {m;m + 1} \right) = \emptyset$ thì hai tập số $\left( { - \infty ;1} \right]$ và $\left( {m;m + 1} \right)$ phải rời nhau trên $R$.

Khi đó tập $\left( {m;m + 1} \right)$ khi biểu diễn trên trục số sẽ phải nằm về bên phải tập $\left( { - \infty ;1} \right]$.

Điều đó chỉ xảy ra khi $1 \le m < m + 1 \Leftrightarrow m \ge 1$.

Các tập con gồm hai phần tử của $A$ là:

$\begin{array}{l}\left\{ {1;2} \right\},\left\{ {1;3} \right\},\left\{ {1;4} \right\},\left\{ {1;5} \right\},\left\{ {1;6} \right\},\left\{ {2;3} \right\},\left\{ {2;4} \right\},\left\{ {2;5} \right\},\left\{ {2;6} \right\},\\\left\{ {3;4} \right\},\left\{ {3;5} \right\},\left\{ {3;6} \right\},\left\{ {4;5} \right\},\left\{ {4;6} \right\},\left\{ {5;6} \right\}\end{array}$ 

Vậy có $15$ tập hợp con của $A$ gồm hai phần tử.

$\left( {0;1} \right) \cap \left( {m;m + 3} \right) = \emptyset  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < 1 \le m < m + 3\\m < m + 3 \le 0 < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le  - 3\end{array} \right.$.

Các tập con có $3$ phần tử của $C$ là:

$\left\{ {\alpha ,\pi ,\beta } \right\},\left\{ {\alpha ,\pi ,\xi } \right\},\left\{ {\alpha ,\pi ,\rho } \right\},\left\{ {\alpha ,\pi ,\eta } \right\},\left\{ {\alpha ,\pi ,\gamma } \right\},\left\{ {\alpha ,\pi ,\sigma } \right\},\left\{ {\alpha ,\pi ,\omega } \right\}\left\{ {\alpha ,\pi ,\tau } \right\}$ .

Vậy có $8$ tập hợp thỏa mãn bài toán.

+) TH1: $- 1 \le m - 1 \le 1 \Leftrightarrow  0 \le m \le 2$

+) TH2: $m - 1 \le  - 1 \le m + 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 4 \le m \le 0$

Kết hợp hai trường hợp trên ta được $\left[ \begin{array}{l} 0 \le m \le 2\\ - 4 \le m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 4 \le m \le 2$

Ta có: ${x^2} + 3x + 4 = 0$ có $\Delta  = {3^2} - 4.4 =  - 7 < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

Vậy $A = \emptyset$.

Đặt $B = \left( { - \infty ; - 1} \right),C = \left( {1; + \infty } \right),A = \left[ {a;\dfrac{{a + 1}}{2}} \right]$. Khi đó:

$A \subset \left( {B \cup C} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left[ {a;\dfrac{{a + 1}}{2}} \right] \subset \left( { - \infty ; - 1} \right)\\\left[ {a;\dfrac{{a + 1}}{2}} \right] \subset \left( {1; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a \le \dfrac{{a + 1}}{2} <  - 1\\1 < a \le \dfrac{{a + 1}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2a \le a + 1 <  - 2\\2 < 2a \le a + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a <  - 3$

Ta có $A \subset X$ nên $X$ có ít nhất $3$ phần tử $\left\{ {1;2;3} \right\}.$

Ta có $X \subset B$ nên $X$ phải $X$ có nhiều nhất $5$ phần tử và các phần tử thuộc $X$ cũng thuộc $B.$

Do đó các tập $X$ thỏa mãn là $\left\{ {1;2;3} \right\},\left\{ {1;2;3;4} \right\},\left\{ {1;2;3;5} \right\},\left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$ $\Rightarrow$ có $4$ tập thỏa mãn.