Cho dãy số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ dãy số này lập được bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau nhỏ hơn 30000.
Gọi số có 5 chữ số cần tìm là: \(\overline {abcde} \) (\(a,b,c,d,e\) đều thuộc dãy số đã cho).
Vì \(\overline {abcde} < 30000\), nên:
\(a\) có 2 cách chọn.
\(b\) có 6 cách chọn.
\(c\) có 5 cách chọn.
\(d\) có 4 cách chọn.
\(e\) có 3 cách chọn.
\( \Rightarrow \) Lập được tất cả số các số có 5 chữ số: \(2 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 720\) số.
Từ các chữ số \(0;1;2;3;4;5\) có thể lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau.
Gọi số cần tìm là \(\overline {abcd} \)
TH1 : \(d = 0\) thì
\(a\) có 5 cách chọn
\(b\) có 4 cách chọn
\(c\) có 3 cách chọn
Suy ra có \(1.5.4.3 = 60\) số chẵn có chữ số tận cùng là \(0.\)
TH2 : \(d \in \left\{ {2;4} \right\}\) thì \(d\) có 2 cách chọn
\(a\) có \(4\) cách chọn
\(b\) có 4 cách chọn
\(c\) có 3 cách chọn
Suy ra có \(2.4.4.3 = 96\) số
Vậy lập được tất cả \(96 + 60 = 156\) số thỏa mãn đề bài.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ tập \(A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\) sao cho số đó chia hết cho 1111?
Đặt \(m = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} \,\,\left( {{a_i} \in A,\,\,{a_i} \ne {a_j}\,\,\forall i;j = \overline {1;8} } \right)\).
Do \({a_i} \in A,\) các \({a_i} \ne {a_j}\,\,\forall i;j = \overline {1;8} \) nên \(\sum\limits_{i = 1}^8 {{a_i}} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36\).
Do đó \(m\,\, \vdots \,\,9\). Mà \(m\,\, \vdots \,\,1111\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow m\,\, \vdots \,\,9999.\)
Đặt \(p = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} ;\,\,\,q = \overline {{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} \) ta có:
\(\begin{array}{l}m = p{.10^4} + q = 9999.p + \left( {p + q} \right)\,\,\, \vdots \,\,\,9999 \Rightarrow \left( {p + q} \right)\,\,\, \vdots \,\,\,9999\\Do\,\,0 < p,\,\,q < 9999 \Rightarrow 0 < p + q < 2.9999\end{array}\)
Mà \(\left( {p + q} \right)\,\,\, \vdots \,\,\,9999 \Rightarrow p + q = 9999 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} + {a_5} = 9\\{a_2} + {a_6} = 9\\{a_3} + {a_7} = 9\\{a_4} + {a_8} = 9\end{array} \right.\).
Có 4 cặp có tổng bằng 9 là \(\left( {1;8} \right);\,\,\left( {2;7} \right);\,\,\left( {3;6} \right);\,\,\left( {4;5} \right)\).
Suy ra có:
+) 8 cách chọn \({a_1}\), ứng với mỗi cách chọn \({a_1}\) có 1 cách chọn \({a_5}\).
+) 6 cách chọn \({a_2}\,\,\left( { \ne {a_1},\,\, \ne {a_5}} \right)\), ứng với mỗi cách chọn \({a_2}\) có 1 cách chọn \({a_6}\).
+) 4 cách chọn \({a_3}\,\,\left( { \ne {a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_5},\,\,{a_6}} \right)\), ứng với mỗi cách chọn \({a_3}\) có 1 cách chọn \({a_7}\).
+) 2 cách chọn \({a_4}\,\,\left( { \ne {a_1};\,\,{a_2};\,\,{a_3};\,\,{a_5};\,\,{a_6};\,\,{a_7}} \right)\), ứng với mỗi cách chọn \({a_4}\) có 1 cách chọn \({a_8}\).
Áp dụng quy tắc nhân, có tất cả \(8.6.4.2 = 384\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
