Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Ta có:

$C_n^k = C_n^{n - k},\,\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}};\,\,A_n^k = k!C_n^k$ là các công thức đúng.

Mỗi cách xếp cho ta một hoán vị của 5 học sinh và ngược lại.

Vậy số cách xếp là ${P_5} = 5! = 120$ (cách).

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là $\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0} \right)$.

Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.

$\Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}$.

TH1: $d = 0$, số cần tìm có dạng $\overline {abc0}$.

Để số cần tìm chia hết cho 3 thì $a + b + c\,\, \vdots \,\,3$.

Ta có các nhóm: $\left\{ \begin{array}{l}9\,\, \equiv \,\,0\left( {\bmod 3} \right)\\\left\{ {1;4;7} \right\} \equiv 1\,\,\left( {\bmod 3} \right)\\\left\{ {2;5;8} \right\} \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right)\end{array} \right.$

+) $a,\,\,b,\,\,c \equiv 1\,\,\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {1;4;7} \right\}$.

$\Rightarrow$ Có $3!$ cách chọn.

+) $a,\,\,b,\,\,c \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {2;5;8} \right\}$.

$\Rightarrow$ Có $3!$ cách chọn.

+) Trong 3 số $a,\,\,b,\,\,c$ có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

$\Rightarrow$ Có $1.C_3^1.C_3^1.3!$ cách chọn.

$\Rightarrow$ Có $3! + 3! + 1.C_3^1.C_3^1.3! = 66$ số.

TH2: $d = 5$, số cần tìm có dạng $\overline {abc5}$.

Để số cần tìm chia hết cho 3 thì $a + b + c + 5\,\, \vdots \,\,3$, trong đó $5 \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right)$.

Ta có các nhóm: $\left\{ \begin{array}{l}\left\{ {0;9} \right\}\,\, \equiv \,\,0\left( {\bmod 3} \right)\\\left\{ {1;4;7} \right\} \equiv 1\,\,\left( {\bmod 3} \right)\\\left\{ {2;8} \right\} \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right)\end{array} \right.$

+) Trong 3 số $a,\,\,b,\,\,c$ có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1.

- Ta chọn số chia hết cho 3 trước: Có 1 cách chọn. Chọn tiếp số chia cho 3 dư 1, có $C_3^1$ cách chọn. Sắp xếp các số này có 3! cách. Theo quy tắc nhân có:  $C_3^1.3!$ cách chọn.

Trong các cách chọn này có số có chữ số 0 ở đầu nên ta phải trừ đi các cách chọn a,b,c có a=0, ta cần tìm $\overline {bc}$:

 Chọn số chia hết cho 3 có 1 cách, chọn số chia 3 dư 1 có  $C_3^1$ cách. Sắp xếp hai số này có 2! cách. Số cách chọn $\overline {bc}$ là $C_3^1 .2!$

$\Rightarrow$ Có $C_3^1.3! - C_3^1.2! = 12$ cách chọn.

+) Trong 3 số $a,\,\,b,\,\,c$ có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 3.

$\Rightarrow$ Có $C_2^1.3! - 2! = 10$ cách chọn.

+) Trong 3 số $a,\,\,b,\,\,c$ có 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

$\Rightarrow$ Có $C_3^2.C_2^1.3! = 36$ cách chọn.

Vậy có tất cả $66 + 12 + 10 + 36 = 124$ số thỏa mãn.

Gọi số cần tìm có dạng $\overline {abcd}$ $\left( {a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in \mathbb{N},\,\,0 \le a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \le 9,\,\,a \ne 0} \right)$.

TH1: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 3 chữ số bằng 0 $\Rightarrow b = c = d = 0,\,\,a = 7$.

Do đó có 1 số thỏa mãn.

TH2: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 2 chữ số bằng 0.

- Chọn vị trí cho 2 chữ số 0 có $C_3^2 = 3$ cách.

- Tổng hai chữ số còn lại là 7, ta có $7 = 6 + 1 = 5 + 2 = 4 + 3 = 3 + 4 = 2 + 5 = 1 + 6$ nên có 6 cách chọn 2 chữ số còn lại.

Do đó trường hợp này có 18 số.

TH3: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 1 chữ số bằng 0.

- Chọn vị trí cho 1 chữ số 0 có $C_3^1 = 3$ cách.

- Tổng 3 chữ số còn lại bằng 7, ta có: $7 = 1 + 1 + 5 = 1 + 2 + 4 = 1 + 3 + 3 = 2 + 2 + 3$.

   + Với bộ số (1;2;4) có $3! = 6$ cách chọn 3 chữ số còn lại.

   + Với 3 bộ số còn lại có $\dfrac{{3!}}{{2!}} = 3$ cách chọn 3 chữ số còn lại.

Do đó trường hợp này có $3.\left( {6 + 3.3} \right) = 45$ số.

TH4: Trong 4 chữ số a, b, c, d  không có chữ số nằm bằng 0.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}7 = 1 + 1 + 1 + 4\\7 = 1 + 1 + 2 + 3\\7 = 1 + 2 + 2 + 2\end{array} \right.$.

   + Với bộ số (1;1;1;4), có $\dfrac{{4!}}{{3!}} = 4$ cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.

   + Với bộ số (1;1;2;3), có $\dfrac{{4!}}{{2!}} = 12$ cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.

   + Với bộ số (1;2;2;2), có $\dfrac{{4!}}{{3!}} = 4$ cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.

Do đó trường hợp này có 4 + 12 + 4 = 20 số thỏa mãn.

Vậy có tất cả:  1 + 18 + 45 + 20 = 84 số.