Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Gọi phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ là: $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\,\,(a,\,b > 0)$

Phương trình $2$ đường tiệm cận của $(H)$ là: $y =  \pm \dfrac{b}{a}x$

Vì góc hợp bởi tiệm cận và $Ox$ bằng ${30^0}$ $\Rightarrow \dfrac{b}{a} = \tan {30^0}$ $\Leftrightarrow \dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{3}$ $\Leftrightarrow {b^2} = \dfrac{1}{3}{a^2}$

Mà ${a^2} + {b^2} = {c^2}$ $\Rightarrow {a^2} + \dfrac{1}{3}{a^2} = {c^2}$ $\Leftrightarrow \dfrac{4}{3}{a^2} = {c^2}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{4}{3}$ $\Leftrightarrow \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}$ $\Leftrightarrow e = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}$

Elip có một đỉnh là $A(0; - 4)$suy ra $b = 4$.

Tâm sai  $e = \dfrac{3}{5}$ suy ra ta có $\dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{5}$. Vì $a,c > 0$ nên ta có  $\dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{9}{{25}} \Leftrightarrow 25{c^2} - 9{a^2} = 0$

Mặt khác ta có ${a^2} - {c^2} = {b^2} = 16$

Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}9{a^2} - 25{c^2} = 0\\{a^2} - {c^2} = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{c^2} = 9\end{array} \right.$

Vậy phương trình của elip là: $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1$

Gọi phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ là: $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\,\,(a,\,b > 0)$

$(H)$ có đỉnh ${A_2}(3;0)$$\Rightarrow a = 3$

Đường tròn $(C):\,{x^2} + {y^2} = 16$ có bán kính $R = 4$

$\Rightarrow {a^2} + {b^2} = {4^2} \Rightarrow c = 4$

Mà ${a^2} + {b^2} = {c^2} \Rightarrow {3^2} + {b^2} = {4^2} \Leftrightarrow {b^2} = 7$

Phương trình chính tắc của $(H):$  $\dfrac{{{x^2}}}{9} - \dfrac{{{y^2}}}{7} = 1$

Phương trình elip cần tìm có dạng  $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

Elip có tiêu cự là $4$ suy ra $2c = 4 \Leftrightarrow c = 2$. Mặt khác ta có: ${a^2} - {b^2} = {c^2} = 4$

Vì elip qua $M\left( {1;\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)$ nên ta có $\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{5{b^2}}} = 1$

Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = 4\\\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{5{b^2}}} = 1\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\\dfrac{1}{{{b^2} + 4}} + \dfrac{4}{{5{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\\dfrac{{5{b^2} + 4\left( {{b^2} + 4} \right)}}{{5{b^2}\left( {{b^2} + 4} \right)}} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\9{b^2} + 16 = 5{b^4} + 20{b^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\5{b^4} + 11{b^2} - 16 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\\left[ \begin{array}{l}{b^2} = 1\\{b^2} = \dfrac{{ - 16}}{5}\left( L \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 5\\{b^2} = 1\end{array} \right.\end{array}$

Vậy elip có phương trình là $\dfrac{{{x^2}}}{5} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$

Hypebol $(H):\,\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ có 2 đường tiệm cận là: $y = \dfrac{b}{a}x,\,\,\,y =  - \dfrac{b}{a}x$

Nhận $\overrightarrow {{n_1}} \left( {b; - a} \right),\,\,\overrightarrow {{n_2}} \left( {b;a} \right)$ lần lượt là các VTPT.

Khi đó, góc tạo bởi 2 đường tiệm cận của $(H)$ được tính bởi công thức: $\cos \varphi  = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {b.b + ( - a).a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( { - b} \right)}^2}} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\left| {{b^2} - {a^2}} \right|}}{{{a^2} + {b^2}}}$

Phương trình elip cần tìm có dạng  $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

Diện tích hình chữ nhật cơ sở  bằng  $4ab$

Theo bài ra ta có $4ab = 8 \Leftrightarrow ab = 2 \Leftrightarrow {a^2}{b^2} = 4$

Elip có $e = \dfrac{{\sqrt {12} }}{4}$ suy ra $\dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt {12} }}{4}$. Vì $c,a > 0$ nên ta có $\dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{12}}{{16}} = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow 3{a^2} - 4{c^2} = 0$

 Mặt khác ta có: ${a^2} - {b^2} = {c^2}$

Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = 4\\3{a^2} - 4{c^2} = 0\\{a^2} - {b^2} = {c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = 4\\{a^2} - {b^2} = \dfrac{3}{4}{a^2}\\3{a^2} = 4{c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = 4\\{a^2} - 4{b^2} = 0\\3{a^2} = 4{c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4\\{b^2} = 1\\{c^2} = 3\end{array} \right.$

Vậy elip có phương trình là $\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$

Gọi$A\left( {{x_0};\,{y_0}} \right),\,\,B\left( { - {x_0};\,{y_0}} \right),\,C\left( { - {x_0};\, - {y_0}} \right);\,D\left( {{x_0};\, - {y_0}} \right),\,\,({x_0},{y_0} > 0)$ là $4$ đỉnh của hình chữ nhật $ABCD,$ có tâm $O.$

$A,B,C,D \in (H) \Rightarrow \dfrac{{{x_0}^2}}{4} - \dfrac{{{y_0}^2}}{{16}} = 1$  (1)

Phương trình đường thẳng $AC:\,\,y = \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}}x$ và phương trình đường thẳng $BD:\,\,y =  - \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}}.x$

Hệ số góc của đường chéo $AC, BD$ lần lượt là: $\dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}}$ và  $- \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}}$.

Hệ số góc các đường chéo là số nguyên $\Leftrightarrow \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}} \in Z,\, - \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}} \in Z \Leftrightarrow \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}} \in Z.$

Đặt $\dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}} = k \in {Z^ + } \Leftrightarrow {y_0} = k{x_0}$. Thay vào (1), ta được:

$\dfrac{{{x_0}^2}}{4} - \dfrac{{{k^2}{x_0}^2}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{k^2}{x_0}^2}}{{16}} = \dfrac{{{x_0}^2}}{4} - 1 \Leftrightarrow {k^2}{x_0}^2 = 4{x_0}^2 - 16 \Leftrightarrow {k^2} = 4 - \dfrac{{16}}{{{x_0}^2}}$ (2)

Từ (2) $\Rightarrow 0 < {k^2} < 4$

Mà  $k \in Z \Rightarrow {k^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1\,\,(TM)\\k =  - 1(L)\end{array} \right.$

$k = 1 \Rightarrow AC:\,\,y = x,\,\,\,BD:\,\,y =  - x$

Vậy, phương trình đường chéo cần tìm là: $y = x,\,\,\,y =  - x$