Ứng dụng tích phân tính thể tích

Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hồ Chí Minh

Đổi lựa chọn

Câu 1 Trắc nghiệm

Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x=a,x=b. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a,x=b(a<b) quanh trục Ox là:  V=πbaf2(x)dx

Câu 2 Trắc nghiệm

Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x3, trục hoành và hai đường thẳng x=0,x=1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox được tính bởi:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Thể tích vật thể là: V=πbaf2(x)dx=π10(x3)2dx=π10x6dx

Câu 3 Trắc nghiệm

Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số x=f(y) , trục tung và hai đường thẳng y=a,y=b. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Oy là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Công thức tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số x=f(y), trục Oy và hai đường thẳng y=a,y=b(a<b) quanh trục Oy là: V=πbaf2(y)dy

Câu 4 Trắc nghiệm

Cho hình (H) giới hạn bởi đường cong y2+x=0, trục Oy và hai đường thẳng y=0,y=1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Oy được tính bởi:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có: y2+x=0x=y2

Vậy thể tích khối tròn xoay đó là: V=πbaf2(y)dy=π10(y2)2dy=π10y4dy

Câu 5 Trắc nghiệm

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi y=13x3x2Ox.  Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (H)  quanh Ox bằng :

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có 13x3x2=0[x=0x=3

V=π30(13x3x2)2d=π30(19x623x5+x4)dx

=π(163x719x6+15x5)|30=8135π

Câu 6 Trắc nghiệm

Kí hiệu (H)  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=2(x1)ex, trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H)  xung quanh trục Ox .

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Xét giao điểm 2(x1)ex=0x=1

Thể tích cần tính: V=π10[2(x1)ex]2dx=4π10(x1)2e2xdx=π(e25) (dùng máy tính thử)

Câu 7 Trắc nghiệm

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x2+1;x=0 và tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x2+1 tại điểm A(1;2) quanh trục Ox

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

y=2x;y(1)=2 suy ra phương trình tiếp tuyến là y=2(x1)+2=2x

Ta có: x2+1=2xx=1.

Trong đoạn [0;1] thì x2+12x nên:

Thể tích khối tròn xoay V=π10[(x2+1)2(2x)2]dx=π10(x42x2+1)dx=815π

Câu 8 Trắc nghiệm

Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x,y=0x=4 quanh trục Ox . Đường thẳng x=a(0<a<4) cắt đồ thị hàm số y=x tại M (hình vẽ bên).

Gọi V1 là thể tích khối tròn tạo thành khi quay quanh tam giác OMH quanh trục Ox. Biết rằng V=2V1 . Khi đó:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Thể tích khối tròn xoay V=π40xdx=πx22|40=8π

Suy ra V1=4π

Gọi N là giao điểm của đường thẳng x=a và trục hoành. Khi đó V1 là thể tích tạo được khi xoay hai tam giác OMNMNH quanh trục Ox với N là hình chiếu của M trên OH.

Ta có V1=13π.a.(a)2+13π.(4a).(a)2=43πa

Suy ra 43πa=4πa=3

Câu 9 Trắc nghiệm

Cho hai hàm số y=f1(x)y=f2(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng x=a,x=b. Thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay S quanh trục Ox được tính bởi công thức nào sau đây ? 

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Theo công thức trên ta có: V=πba(f21(x)f22(x))dx (vì đồ thị hàm số y=f1(x) nằm phía trên đồ thị hàm số y=f2(x).

Câu 10 Trắc nghiệm

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường  y=2x;y=x xung quanh trục Ox được tính theo công thức nào sau đây?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là thể tích khối tròn xoay khi quay 2 hình phẳng (H1)(H2) quanh trục Ox trong đó (H1) giới hạn bởi đường thẳng y=x;x=0;x=1(H2) được giới hạn bởi các đường y=2x;x=1;x=2.

Khi đó ta có:

Thể tích V cần tính chính bằng thể tích V1 của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H1) xung quanh trục Ox cộng với thể tích V2 của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H2) xung quanh trục Ox:

V=π10x2dx+π21(2x)dx

Câu 11 Trắc nghiệm

Cho vật thể V được giới hạn bởi hai mặt phẳng x=ax=b(a<b), mặt phẳng vuông góc với trục Ox cắt V theo thiết diện S(x). Thể tích của V được tính bởi:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng x=a,x=b biết diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc trục OxS=S(x).

Công thức tính: V=baS(x)dx.

Câu 12 Trắc nghiệm

Cho vật thể V được giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0x=2, mặt phẳng vuông góc với trục Ox cắt V theo thiết diện S(x)=2x2. Thể tích của V được tính bởi:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Thể tích vật thể là: V=baS(x)dx=022x2dx 

Câu 13 Trắc nghiệm

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x=1x=3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1x3) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x3x22.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Diện tích mỗi mặt thiết diện sẽ là :S(x)=3x3x22 V=313x3x22dx=1243 

Câu 14 Trắc nghiệm

Cho hình phẳng giới hạn bởi D={y=tanx;y=0;x=0;x=π3}. Thể tích vật tròn xoay khi D quay quanh trục OxV=π(aπb), với a,bR. Tính T=a2+2b.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Thể tích vật tròn xoay cần tính là V=ππ30tan2xdx=ππ30(1cos2x1)dx.=π(tanxx)|π30=π(3π3)=π(aπ3){a=3b=3. 

Vậy T=(3)2+2.3=9.

Câu 15 Trắc nghiệm

Tính thể tích khi S={y=x24x+6;y=x22x+6} quay quanh trục Ox.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Hoành độ giao điểm của hai parabol là x24x+6=x22x+6[x=0x=1.

Trong khoảng (0;1) thì 12x336x2+24x>0 nên:

Thể tích vật tròn xoay cần tính là V=π10|(x24x+6)2(x22x+6)2|dx

=π10(12x336x2+24x)dx=π(3x412x3+12x2)|10=3π.

Câu 16 Trắc nghiệm

Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Ox của hình giới hạn bởi trục Ox và parabol (P):y=x2ax(a>0) bằng V=2. Khẳng định nào dưới đây đúng ?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Phương trình hoành độ giao điểm của (P)Oxx2ax=0[x=0x=a.

Khi đó, thể tích cần xác định cho bởi V=πa0(x2ax)2dx=πa0(x42ax3+a2x2)dx

=π(x55ax42+a2x33)|a0=πa530.

Mặt khác V=2πa530=2a=560π(32;2).

Câu 17 Trắc nghiệm

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y=x2+2xy=0. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Oy

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có y=x2+2x(x1)2=1y[x=11yx=1+1y.

Xét phương trình tung độ giao điểm 11y=1+1y1y=0y=1.

Khi đó, thể tích cần tính là V=π10|(1+1y)2(11y)2|dy=|π1041ydy|

Đặt 1y=t1y=t2dy=2tdt

Đổi cận: {y=0t=1y=1t=0

Khi đó V=|π014t.2tdt|=|8π10t2dt|=|8πt33|10|=8π3  

Câu 18 Trắc nghiệm

Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường (E):x216+y29=1 quay quanh Oy?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

x216+y29=1x2=16(1y29)x=±439y2

Phương trình tung độ giao điểm của đồ thị (E) với Oy016+y29=1[y=3y=3.

Ta xét thể tích vật tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x=439y2, đường thẳng x=0,y=3,y=0 quanh trục Oy là: V=|169π30(9y2)dy|=|169π(9yy33)|30|=32π.

Khi đó thể tích cần tìm là 2V=64π.

Câu 19 Trắc nghiệm

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị y=4x2,x2+3y=0 quay quanh trục OxV=aπ3b, với a,\,\,b > 0\dfrac{a}{b} là phân số tối giản. Tính tổng T = a + b.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

{x^2} + 3y = 0 \Leftrightarrow y =  - \dfrac{{{x^2}}}{3}

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình

- \,\sqrt {4 - {x^2}}  =  - \dfrac{{{x^2}}}{3} \Leftrightarrow 3\sqrt {4 - {x^2}}  = {x^2} \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}0 \le {x^2} \le 4\\{x^4} + 9{x^2} - 36 = 0\end{array} \right.

\Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x =  \pm \,\sqrt 3 .

Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tính là V = \pi \int\limits_{ - \,\sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left| {{{\left( { - \,\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^2} - {{\left( { - \,\dfrac{{{x^2}}}{3}} \right)}^2}} \right|\,{\rm{d}}x.}

= \pi \int\limits_{ - \,\sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left| {\left( {4 - {x^2}} \right) - \dfrac{{{x^4}}}{9}} \right|{\rm{d}}x}  = \left| {\pi \left. {\left( {4x - \dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^5}}}{{45}}} \right)} \right|_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 }} \right|

= 2\pi \left( {4\sqrt 3  - \sqrt 3  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{5}} \right) = \dfrac{{28\pi \sqrt 3 }}{5}

Vậy V = \dfrac{{28\pi \sqrt 3 }}{5} = \dfrac{{a\pi \sqrt 3 }}{b} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 28\\b = 5\end{array} \right. \Rightarrow T = a + b = 28 + 5 = 33. 

Câu 20 Trắc nghiệm

Gọi \left( {{D_1}} \right) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2\sqrt x ,\,\,y = 0  và x = 2020, \left( {{D_2}} \right) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \sqrt {3 x},\,\,y = 0x = 2020. Gọi {V_1},\,\,{V_2} lần lượt là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \left( {{D_1}} \right)  và \left( {{D_2}} \right) xung quanh trục Ox. Tỉ số \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: \left( {{D_1}} \right) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2\sqrt x ,\,\,y = 0  và x = 2020,

\Rightarrow {V_1} = \pi \int\limits_0^{2020} {\left| {{{\left( {2\sqrt x } \right)}^2}} \right|dx} = \pi \int\limits_0^{2020} {4xdx}  = \left. {2\pi {x^2}} \right|_0^{2020} = 2\pi {.2020^2}.

\left( {{D_2}} \right) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \sqrt {3x} ,\,\,y = 0x = 2020

\Rightarrow {V_2} = \pi \int\limits_0^{2020} {\left| {{{\left( {\sqrt {3x} } \right)}^2}} \right|dx} = \pi \int\limits_0^{2020} {3xdx}  = \left. {\frac{3}{2}\pi {x^2}} \right|_0^{2020} = \frac{3}{2}\pi {.2020^2}.

\Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{2\pi {{.2020}^2}}}{{\frac{3}{2}\pi {{.2020}^2}}} = \frac{4}{3}.