Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 1\) và \(x = 3\), biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ \(x\) (\(1 \le x \le 3\)) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là \(3x\) và \(\sqrt {3{x^2} - 2} \).

Cho hình \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) , trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục \(Ox\) là:

Cho hình \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 1\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục \(Ox\) được tính bởi:

Cho hình \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = f\left( y \right)\) , trục tung và hai đường thẳng \(y = a,y = b\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục \(Oy\) là:

Cho hình \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đường cong \({y^2} + x = 0\), trục \(Oy\) và hai đường thẳng \(y = 0,y = 1\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục \(Oy\) được tính bởi:

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - {x^2}\) và $Ox$.  Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay $\left( H \right)$  quanh $Ox$ bằng :

Kí hiệu $\left( H \right)$  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2\left( {x-1} \right){e^x}$, trục tung và trục hoành. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay thu được khi quay hình $\left( H \right)$  xung quanh trục $Ox$ .

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} + 1;x = 0\) và tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 1\) tại điểm \(A\left( {1;2} \right)\) quanh trục $Ox$ là