Mệnh đề logic

Mệnh đề “\(\forall x \in X\),\(x\) cao trên \(180{\rm{ }}cm\)” khẳng định: “Mọi cầu thủ trong đội tuyển bóng rổ đều cao trên \(180{\rm{ }}cm\)”.

Đáp án A: Hai tam giác có diện tích bằng nhau chưa chắc bằng nhau nên A sai.

Đáp án B: Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau nên B đúng.

Đáp án C: Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều nên có ba góc bằng nhau nên C đúng.

Tương tự đáp án D cũng là tam giác đều nên D đúng.

Mệnh đề \(''3 + 6 \le 8''\) sai vì \(3 + 6 = 9 > 8\).

Mệnh đề \(''\sqrt {15}  > 4 \Rightarrow 3 \ge \sqrt 3 ''\) đúng vì mệnh đề \(\sqrt {15}  > 4\) sai nên \(''\sqrt {15}  > 4 \Rightarrow 3 \ge \sqrt 3 ''\) luôn đúng.

Mệnh đề \(''\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 0''\) sai vì nếu \(x = 0\) thì \({0^2} > 0\) là sai.

Mệnh đề “Tam giác $ABC$  vuông tại  \(A \Leftrightarrow A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\)” sai vì “Tam giác $ABC$  vuông tại  \(A \Leftrightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)”.

Với \(n = 48\) thì \(n \vdots 12\) nên A đúng.

Các đáp án còn lại đề không chia hết cho \(12\) nên loại.

Xét đáp án D. Với \(k \in \mathbb{N}\), ta xét các trường hợp của \(n\):

+ Khi \(n = 4k \Rightarrow {n^2} + 1 = 16{k^2} + 1\) không chia hết cho \(4.\)

+ Khi \(n = 4k\, + 1 \Rightarrow {n^2} + 1 = 16{k^2} + 8k + 2\) không chia hết cho \(4.\)

+ Khi \(n = 4k\, + 2 \Rightarrow {n^2} + 1 = 16{k^2} + 16k + 5\) không chia hết cho \(4.\)

+ Khi \(n = 4k\, + 3 \Rightarrow {n^2} + 1 = 16{k^2} + 24k + 10\) không chia hết cho \(4.\)

\( \Rightarrow \forall n \in \mathbb{N},\;{n^2} + 1\) không chia hết cho \(4.\)

Ngoài ra các mệnh đề ở mỗi đáp án A, B, C đều đúng. Thật vậy,

Xét \(x = 2\in \mathbb{Z} \Rightarrow 2{x^2} - 8=0\) => A đúng

Xét \(n = 3 \in \mathbb{N} \Rightarrow {n^2} + 11n + 2 = 44 \) chia hết cho 11 => B đúng

Hơn nữa 5 là số nguyên tố và 5 chia hết cho 5 nên C đúng

Cho mệnh đề \(Q\), khi đó mệnh đề “Không phải \(Q\)” được gọi là mệnh đề phủ định của \(Q\).

Các mệnh đề A, B, C đều đúng.

Đáp án D sai vì nếu \(\left| x \right| \le 5\) thì $x$ có thể bằng $-4$, mà $-4 \notin A$. Do đó $x\notin A$.

Vì \(P\) là phủ định của \(Q\) nên \(Q = \overline P \) và \(P = \overline Q \).

Vì \(\overline{\overline P} \) là mệnh đề phủ định của \(\overline P \)

Mà \(\overline P \) là mệnh đề phủ định của \(P \) $=>$ \(P \) cũng là mệnh đề phủ định của \(\overline P \)

 $=>$ $P$ và \(\overline{\overline P} \) cùng là mệnh đề phủ định của \(\overline P \).

Vậy \(P = \overline{\overline P} \).

Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(P:''\forall x \in \mathbb{R},2x - 9 = 0''\) là \(\overline P :''\exists x \in \mathbb{R},2x - 9 \ne 0''\).

Phủ định của mệnh đề “\(9\) không phải số nguyên tố” là: “\(9\) là số nguyên tố”.

Phủ định của mệnh đề “Mọi động vật đều di chuyển” là “Có ít nhất một động vật không di chuyển”.

(1) “\(\sqrt 2 \) là số hữu tỉ” là mệnh đề sai nên phủ định của nó là một mệnh đề đúng.

(2) “\(5\) không chia hết cho \(3\)” là mệnh đề đúng nên phủ định của nó là mệnh đề sai.

(3) “Tam giác có tổng số đo các góc bằng \({180^0}\)” là mệnh đề đúng nên phủ định của nó là mệnh đề sai.

(4) “Hình vuông có bốn góc bằng nhau” là mệnh đề đúng nên mệnh đề phủ định của nó là sai.

Vậy chỉ có \(1\) mệnh đề mà phủ định của nó là mệnh đề đúng.

Mệnh đề \(P\) kéo theo \(Q\) kí hiệu là \(P \Rightarrow Q\).

Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in R,{x^2} + x \ge  - \dfrac{1}{4}\)” là “\(\exists x \in R,{x^2} + x <  - \dfrac{1}{4}\)”.

Đây là mệnh đề sai vì với mọi \(x \in R\) ta có : \({x^2} + x + \dfrac{1}{4} = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\).

Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) chỉ sai khi \(P\) đúng, \(Q\) sai.

Dễ thấy mệnh đề \(P\): “\(35\) là số có hai chữ số” là mệnh đề đúng nên ta chỉ cần tìm mệnh đề sai trong các đáp án.

Từ các đáp án bài cho ta thấy chỉ có mệnh đề \(Q\): “\(4\) là số nguyên tố” là mệnh đề sai.

Vì mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) chỉ sai khi \(P\) đúng, \(Q\) sai nên:

+) Nếu \(P\) đúng, \(Q\) đúng thì \(P \Rightarrow Q\) đúng, do đó A sai.

+) Nếu \(P\) sai thì \(P \Rightarrow Q\) luôn đúng nên B đúng.

+) Nếu \(P\) đúng thì \(P \Rightarrow Q\) sẽ sai khi \(Q\) sai nên nó không thể luôn đúng được, do đó C sai.

+) Nếu \(Q\) sai thì \(P \Rightarrow Q\) vẫn có thể đúng nếu \(P\) sai, do đó nó không thể luôn sai được, nên D sai.

Mệnh đề \(P\): “Ba số tự nhiên là ba số tự nhiên liên tiếp”.

Mệnh đề \(Q\): “Ba số tự nhiên có tổng chia hết cho \(3\)”.

Khi đó, \(Q \Rightarrow P\) được phát biểu là:

“Nếu ba số tự nhiên có tổng chia hết cho \(3\) thì ba số tự nhiên đó là ba số tự nhiên liên tiếp”.

Nói gọn: “Ba số tự nhiên có tổng chia hết cho \(3\) thì liên tiếp”.

Xét \(P\): “\({3^2} + 1\) là số chẵn”.

\(Q\): “\(3\) là số lẻ”.

Vì cả \(P,Q\) đều là các mệnh đề đúng nên các mệnh đề \(P \Rightarrow Q,Q \Rightarrow P\) đều đúng.