Giải toán tư duy bằng phương pháp loại trừ, lựa chọn và chia trường hợp
Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hồ Chí Minh
Bốn bạn học sinh dự đoán thành tích thi của họ như sau:
D: Xem ra tôi thứ nhất, A thứ hai.
C: Không thể như vậy, D chỉ thứ hai, tôi thứ ba.
B: Tôi thứ hai, C cuối cùng.
A: Thế thì chờ xem!
Kết quả thi cho thấy, B, C, D chỉ đoán đúng một nửa.
Thành tích thi của A đứng thứ mấy?
Theo giả thiết: D: Xem ra tôi thứ nhất, A thứ hai.
=> Ta xét 2 trường hợp: Hoặc D thứ nhất, hoặc A thứ hai.
TH1: Giả sử A thứ hai
=> D không thể thứ nhất.
Theo B: Tôi thứ hai, C cuối cùng.
Mà A thứ hai => B không thể thứ hai => C cuối cùng.
Theo C: Không thể như vậy, D chỉ thứ hai, tôi thứ ba.
=> D thứ hai (Mâu thuẫn với giả sử).
=> Loại.
TH2: Giả sử D thứ nhất.
=> A không thể thứ hai.
Theo C: Không thể như vậy, D chỉ thứ hai, tôi thứ ba.
=> C thứ ba.
Theo B: Tôi thứ hai, C cuối cùng.
Mà C không đứng cuối cùng => B thứ hai
=> A thứ tư.
Có 4 chàng trai khiêm tốn là: Hùng, Huy, Hoàng và Hải. Họ tuyên bố như sau:
Hùng: “Huy là người khiêm tốn nhất”.
Huy: “Hoàng là người khiêm tốt nhất”.
Hoàng: “Tôi không phải là người khiêm tốn nhất”.
Hải: “Tôi không phải là người khiêm tốn nhất”.
Hóa ra, chỉ có một tuyên bố của 4 chàng trai khiêm tốn trên là đúng. Vậy ai là người khiêm tốn nhất.
TH1: Giả sử Hùng đúng => Huy là người khiêm tốn nhất.
Khi đó 3 bạn còn lại sai, tức là:
Theo Huy: Hoàng không phải là người khiêm tốn nhất.
Theo Hoàng: Hoàng là người khiêm tốn nhất.
=> Mâu thuẫn.
TH2: Giả sử Huy đúng => Hoàng không là người khiêm tốn nhất.
Theo Hoàng: “Tôi không phải là người khiêm tốn nhất” => Hoàng đúng.
=> Mâu thuẫn.
TH3: Giả sử Hoàng đúng => Hoàng không là người khiêm tốn nhất.
Huy sai => Hoàng không là người khiêm tốn nhất.
Hải sai => Hải là người khiêm tốn nhất.
Hùng sai => Huy không là người khiêm tốn nhất.
TH4: Giả sử Hải đúng => Hải không là người khiêm tốn nhất.
Huy sai => Hoàng không là người khiêm tốn nhất.
Hoàng sai => Hoàng là người khiêm tốn nhất.
=> Mâu thuẫn.
Vậy Hải là người khiêm tốn nhất.
Có 4 chàng trai khiêm tốn là: Hùng, Huy, Hoàng và Hải. Họ tuyên bố như sau:
Hùng: “Huy là người khiêm tốn nhất”.
Huy: “Hoàng là người khiêm tốt nhất”.
Hoàng: “Tôi không phải là người khiêm tốn nhất”.
Hải: “Tôi không phải là người khiêm tốn nhất”.
Hóa ra, chỉ có một tuyên bố của 4 chàng trai khiêm tốn trên là đúng. Vậy ai là người khiêm tốn nhất.
TH1: Giả sử Hùng đúng => Huy là người khiêm tốn nhất.
Khi đó 3 bạn còn lại sai, tức là:
Theo Huy: Hoàng không phải là người khiêm tốn nhất.
Theo Hoàng: Hoàng là người khiêm tốn nhất.
=> Mâu thuẫn.
TH2: Giả sử Huy đúng => Hoàng không là người khiêm tốn nhất.
Theo Hoàng: “Tôi không phải là người khiêm tốn nhất” => Hoàng đúng.
=> Mâu thuẫn.
TH3: Giả sử Hoàng đúng => Hoàng không là người khiêm tốn nhất.
Huy sai => Hoàng không là người khiêm tốn nhất.
Hải sai => Hải là người khiêm tốn nhất.
Hùng sai => Huy không là người khiêm tốn nhất.
TH4: Giả sử Hải đúng => Hải không là người khiêm tốn nhất.
Huy sai => Hoàng không là người khiêm tốn nhất.
Hoàng sai => Hoàng là người khiêm tốn nhất.
=> Mâu thuẫn.
Vậy Hải là người khiêm tốn nhất.
Một trong các bạn A, B, C và D làm vỡ kính cửa sổ. Khi được hỏi, họ trả lời như sau:
A: “C làm vỡ”.
B: “Không phải tôi”.
C: “D làm vỡ”.
D: “C đã nói dối”.
Nếu có đúng một người nói thật thì ai đã làm vỡ cửa sổ.
TH1: A nói sai hoàn toàn => B và C không làm việc tốt.
Theo E và C: B không làm thì G và A làm việc tốt.
Theo D nói G làm thì E không làm việc tốt.
Theo B nói E không làm thì D làm việc tốt.
Vậy có 3 bạn làm : G,A và D ( không phù hợp)
TH2: D nói sai hoàn toàn => E và G không làm
Theo B nói E không làm thì D làm
Theo E nói G không làm thi B làm
Theo A và C nói B làm thì C, A không làm
Vậy có B, D làm => Đáp án: C
Một trong các bạn A, B, C và D làm vỡ kính cửa sổ. Khi được hỏi, họ trả lời như sau:
A: “C làm vỡ”.
B: “Không phải tôi”.
C: “D làm vỡ”.
D: “C đã nói dối”.
Nếu có đúng một người nói thật thì ai đã làm vỡ cửa sổ.
TH1: A nói thật =>C làm vỡ => Không phải B làm vỡ => B nói thật => Có 2 người nói thật là A và B => Loại.
TH2: B nói thật =>D nói dối => C nói thật => Có 2 người nói thật là B và C =>Loại.
TH3:
C nói thật => D làm vỡ.
C nói thật => B nói dối => B làm vỡ.
=> Có 2 bạn làm vỡ => Loại.
TH4: D nói thật => B nói dối => B làm vỡ.
Đồng thời A và C cũng nói dối.
=> Thỏa mãn.
Hà và Trang mỗi bạn nghĩ về một số nguyên dương và thì thầm số đó vào tai của Thu. Thu nói rằng hiệu của hai số đó là 2013.
- Hà nói rằng dựa vào dữ kiện đó, tôi không thể nói số của Trang là số nào.
- Tiếp theo, Trang cũng nói tương tự.
- Sau đó, Thu nói rằng bây giờ cậu có thể đoán được số của Trang, nhưng nếu cả hai đã nghĩ về một số lớn hơn số ban đầu 1 đơn vị thì cậu không thể đoán được số của Trang là bao nhiêu.
Hỏi hai số mà hai bạn Hà và Trang đã nghĩ là số bao nhiêu?
Từ đoạn hội thoại ta được 3 mệnh đề sau:
Mệnh đề 1: 723 có 1 chữ số đúng và đúng vị trí.
Mệnh đề 2: 745 có 1 chữ số đúng nhưng sai vị trí.
Mệnh đề 3: 842 có 1 chữ số đúng và đúng vị trí.
Xét các mệnh đề:
- Mệnh đề 1: 723 có 1 chữ số đúng và đúng vị trí.
Nếu chữ số đó là 7 thì mệnh đề “745 có 1 chữ số đúng nhưng sai vị trí” là sai
Nếu chữ số đó là 2 thì mệnh đề “842 có 1 chữ số đúng và đúng vị trí” là sai
Vậy chữ số ở đúng vị trí là 3
- Mệnh đề 2: 745 có 1 chữ số đúng nhưng sai vị trí.
Nếu chữ số đó là 4 thì mệnh đề “842 có 1 chữ số đúng và đúng vị trí” là sai
Vậy chữ số đúng nhưng sai vị trí là 5
- Mệnh đề 3: 842 có 1 chữ số đúng và đúng vị trí.
Vậy chữ số ở đúng vị trí là 8.
Chữ số cần tìm là 853.
Bốn bạn có nhận xét về một hình tứ giác như sau:
A: “Nó là một hình vuông”.
B: “Nó là một hình bình hành”.
C: “Nó là một hình thang”.
D: “Nó là một hình diều”.
Ghi chú: Hình diều là tứ giác có hai cặp cạnh kề nhau có độ dài bằng nhau, ví dụ như hình bên.
Nếu có ba nhận xét trên đây là chính xác và một nhận xét là sai thì hình tứ giác này là hình gì?
Nếu A nói đúng => tất cả các bạn B, C, D đều nói đúng (Vì hình vuông cũng là hình bình hành, hình thang và hình thoi) => Mâu thuẫn.
=> A nói sai.
=> Ba bạn còn lại nói đúng, tức là tứ giác đó vừa là hình bình hành, vừa là hình thang, vừa là hình diều.
Mà hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau là hình thoi, hình thoi cũng là hình thang.
Vậy tứ giác đó là hình thoi.
Bốn bạn có nhận xét về một hình tứ giác như sau:
A: “Nó là một hình vuông”.
B: “Nó là một hình bình hành”.
C: “Nó là một hình thang”.
D: “Nó là một hình diều”.
Ghi chú: Hình diều là tứ giác có hai cặp cạnh kề nhau có độ dài bằng nhau, ví dụ như hình bên.
Nếu có ba nhận xét trên đây là chính xác và một nhận xét là sai thì hình tứ giác này là hình gì?
Nếu A nói đúng => tất cả các bạn B, C, D đều nói đúng (Vì hình vuông cũng là hình bình hành, hình thang và hình thoi) => Mâu thuẫn.
=> A nói sai.
=> Ba bạn còn lại nói đúng, tức là tứ giác đó vừa là hình bình hành, vừa là hình thang, vừa là hình diều.
Mà hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau là hình thoi, hình thoi cũng là hình thang.
Vậy tứ giác đó là hình thoi.
