1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$, khi đó:
+) $f'\left( x \right) > 0$ trên khoảng nào thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.
+) $f'\left( x \right) < 0$ trên khoảng nào thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)
+) Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {a,b} \right)$ thì $f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a,b} \right)$.
+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {a,b} \right)$ thì $f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( {a,b} \right).$
2. Cực trị của hàm số
Dấu hiệu 1:
+) Nếu $f'\left( {{x_0}} \right) = 0$ hoặc $f'\left( x \right)$ không xác định tại ${x_0}$ và nó đổi dấu từ dương sang âm khi qua ${x_0}$ thì ${x_0}$ là điểm cực đại của hàm số.
+) Nếu $f'\left( {{x_0}} \right) = 0$ hoặc $f'\left( x \right)$ không xác định tại ${x_0}$ và nó đổi dấu từ âm sang dương khi qua ${x_0}$ thì ${x_0}$ là điểm cực tiểu của hàm số.
*) Quy tắc 1: (dựa vào dấu hiệu 1)
+) Tính $y'$
+) Tìm các điểm tới hạn của hàm số. (tại đó $y' = 0$ hoặc $y'$ không xác định)
+) Lập bảng xét dấu $y'$ và dựa vào bảng xét dấu và kết luận.
Dấu hiệu 2:
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm đến cấp $2$ tại ${x_0}$.
+) ${x_0}$ là điểm cực đại $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.$
+) ${x_0}$ là điểm cực tiểu $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.$
*) Quy tắc 2: (dựa vào dấu hiệu 2)
+) Tính $f'\left( x \right),f''\left( x \right)$.
+) Giải phương trình $f'\left( x \right) = 0$ tìm nghiệm.
+) Thay nghiệm vừa tìm vào $f''\left( x \right)$ và kiểm tra, từ đó suy kết luận.
3. Giá trị lớn nhất và giá tị nhỏ nhất của hàm số
Quy tắc tìm GTLN – GTNN của hàm số:
*) Quy tắc chung: (Thường dùng cho $D$ là một khoảng)
- Tính $f'\left( x \right)$, giải phương trình $f'\left( x \right) = 0$ tìm nghiệm trên $D.$
- Lập BBT cho hàm số trên $D.$
- Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN.
*) Quy tắc riêng: (Dùng cho $\left[ {a;b} \right]$) . Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$
- Tính $f'\left( x \right)$, giải phương trình $f'\left( x \right) = 0$ tìm nghiệm trên $\left[ {a,b} \right]$.
- Giả sử phương trình có các nghiệm ${x_1},{x_2},... \in \left[ {a,b} \right]$.
- Tính các giá trị $f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...$.
- So sánh chúng và kết luận.
4. Tiệm cận của đồ thị hàm số
+) Đường thẳng $x = a$ là TCĐ của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu có một trong các điều kiện sau:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} y = + \infty $ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} y = - \infty $ hoặc$\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} y = + \infty $ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} y = - \infty $
+) Đường thẳng $y = b$ là TCN của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu có một trong các điều kiện sau:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = b$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = b$
5. Bảng biến thiên và đồ thị hàm số
a) Các dạng đồ thị hàm số bậc ba $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$
b) Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương $y = a{x^4} + b{x^2} + c$
c) Các dạng đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}$
+) Tập xác định: $D = R\backslash \left\{ { - \dfrac{d}{c}} \right\}$
+) Đạo hàm: $y = \dfrac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}$
- Nếu $ad - bc > 0$ hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư $2$ và $4.$
- Nếu $ad - bc < 0$ hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư $1$ và $3.$
+) Đồ thị hàm số có: TCĐ: $x = - \dfrac{d}{c}$ và TCN: $y = \dfrac{a}{c}$
+) Đồ thị có tâm đối xứng: $I\left( { - \dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}} \right)$
6. Sự tương giao của đồ thị hàm số
a) Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số
Phương pháp:
Cho $2$ hàm số $y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)$ có đồ thị lần lượt là $\left( C \right)$ và $\left( {C'} \right).$
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $\left( {C'} \right):$$f\left( x \right) = g\left( x \right)\,\,\,\left( * \right)$
+) Giải phương trình tìm $x$ từ đó suy ra $y$ và tọa độ giao điểm.
+) Số nghiệm của $\left( * \right)$ là số giao điểm của $\left( C \right)$ và $\left( {C'} \right).$
b) Tương giao của đồ thị hàm số bậc ba
Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị)
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng $F\left( {x,m} \right) = 0$ (phương trình ẩn $x$ tham số $m$)
+) Cô lập $m$ đưa phương trình về dạng $m = f\left( x \right)$
+) Lập BBT cho hàm số $y = f\left( x \right)$.
+) Dựa vào giả thiết và BBT từ đó suy ra $m.$
*) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi $m$ độc lập với $x.$
Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm $F\left( {x,m} \right) = 0$
+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số). Giả sử $x = {x_0}$ là $1$ nghiệm của phương trình.
+) Phân tích: $F\left( {x,m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - {x_0}} \right).g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_0}\\g\left( x \right) = 0\end{array} \right.$ ($g\left( x \right) = 0$ là phương trình bậc $2$ ẩn $x$ tham số $m$).
+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc $2$ $g\left( x \right) = 0$.
