Nguyên hàm (phương pháp đổi biến)

Bài viết trình bày công thức đổi biến số và một số dạng toán thường áp dụng phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm.

1. Kiến thức cần nhớ

- Vi phân:

\(\begin{array}{l}t = u\left( x \right) \Rightarrow dt = u'\left( x \right)dx\\u\left( t \right) = v\left( x \right) \Rightarrow u'\left( t \right)dt = v'\left( x \right)dx\end{array}\)

- Công thức đổi biến:

\(\int {f\left[ {u\left( x \right)} \right]u'\left( x \right)dx}  = \int {f\left( t \right)dt} \) \( = F\left( t \right) + C = F\left( {t\left( x \right)} \right) + C\)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến \(t = u\left( x \right)\).

- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), trong đó \(u\left( x \right)\) là hàm được chọn thích hợp.

- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính nguyên hàm: \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {g\left( t \right)dt} \) \( = G\left( t \right) + C = G\left( {u\left( x \right)} \right) + C\).

Ví dụ: Tính nguyên hàm \(\int {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx} \).

Giải:

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1}  \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \) \( \Rightarrow 2tdt = 2xdx\).

Do đó: \(\int {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx}  = \int {\sqrt {{x^2} + 1} .2xdx}  \) \(= \int {t.2tdt}  = \int {2{t^2}dt}  = \dfrac{2}{3}{t^3} + C \) \(= \dfrac{2}{3}\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}  + C\).

Dạng 2: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến \(x = u\left( t \right)\).

- Bước 1: Đặt \(x = u\left( t \right)\), trong đó \(u\left( t \right)\) là hàm số ta chọn thích hợp.

- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế \(dx = u'\left( t \right)dt\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u'\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {g\left( t \right)dt}  = G\left( t \right) + C\)

Ví dụ: Cho nguyên hàm $I = \int {\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x} ,\,\,\,x \in  \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]$, nếu đặt $x = \sin t$ thì nguyên hàm $I$ tính theo biến $t$ trở thành:

A. $I = t + \sin 2t + C.$

B. $I = \dfrac{t}{2} + \cos 2t + C.$

C. $I = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.$

D. $I = \dfrac{t}{2} - \dfrac{{\cos 2t}}{4} + C.$

Giải:

Đặt $x = \sin t \Leftrightarrow dx = \cos t\,dt$ và $1 - {x^2} = 1 - {\sin ^2}t = {\cos ^2}t$

Suy ra

$\begin{array}{l}\int {\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x}  = \int {\sqrt {{{\cos }^2}t} \,\cos t\,{\rm{d}}t}  = \int {{{\cos }^2}t\,{\rm{d}}t}  = \int {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}\,{\rm{d}}t} \\ = \int {\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos 2t} \right){\rm{d}}t}  = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.\end{array}$

(Vì \(x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow \cos x > 0\) \( \Rightarrow \sqrt {{{\cos }^2}x}  = \cos x\))

Vậy $I = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.$

Chọn C.

Các dấu hiệu thường dùng phương pháp đổi biến trên là:

Nguyên hàm (phương pháp đổi biến) - ảnh 1
Câu hỏi trong bài