1. Kiến thức cần nhớ
- Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)\) làm VTPT là:
\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định một điểm và một véc tơ pháp tuyến.
- Phương trình đoạn chắn: Mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) là:
\(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\)
- Phương trình các mặt phẳng tọa độ: \(\left( {Oxy} \right):z = 0,\left( {Oyz} \right):x = 0,\left( {Oxz} \right):y = 0\)
- Chùm mặt phẳng:
Giả sử \(\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\) trong đó: $\left( P \right):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\;;\left( Q \right):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0$
Khi đó, mọi mặt phẳng chứa \(d\) đều có phương trình dạng: $m\left( {{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1}} \right) + n\left( {{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2}} \right) = 0$ với \({m^2} + {n^2} > 0\)
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng.
-) Mặt phẳng đi qua ba điểm.
\(\left( P \right)\) đi qua \(A,B,C \Leftrightarrow \left( P \right)\) đi qua \(A\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) làm VTPT.
-) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng.
\(\left( P \right)\) là mặt phẳng trung trực của \(AB\) nếu \(\left( P \right)\) đi qua trung điểm \(I\) của \(AB\) và nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm VTPT.
-) Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với mặt phẳng.
\(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và song song \(\left( Q \right)\) nếu \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow {{n_Q}} \) làm VTPT.
-) Mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với một mặt phẳng.
\(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(M,N\) và vuông góc mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nếu \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right]\) làm VTPT.
-) Mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng.
\(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\) và vuông góc với \(\left( Q \right),\left( R \right)\) (không song song) nếu \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right]\) làm VTPT.
Dạng 2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm một điểm nằm trên mặt phẳng này.
- Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng còn lại.
- Bước 3: Kết luận: khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hai mặt phẳng vuông góc, song song, …
Sử dụng các điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc,… để tìm tham số.
