1. Các kiến thức cần nhớ
Định nghĩa: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(K\) (\(K\) có thể là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)
- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là đồng biến trên \(K\) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\)
- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là nghịch biến trên \(K\) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).
Định lý:
a) Nếu \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in K\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(K\)
b) Nếu \(f'\left( x \right) < 0,\forall x \in K\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(K\)
Định lý mở rộng:Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(K\)
a) Nếu \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in K\) và \(f'\left( x \right) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên \(K\)
b) Nếu \(f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in K\) và \(f'\left( x \right) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên \(K\)
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
- Bước 2: Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\), tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) mà tại đó đạo hàm bằng \(0\) hoặc không xác định.
- Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
+ Các khoảng mà \(f'\left( x \right) > 0\) là các khoảng đồng biến của hàm số.
+ Các khoảng mà \(f'\left( x \right) < 0\) là các khoảng nghịch biến của hàm số.
Ví dụ 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = 2{x^4} + 1$.
Ta có $y' = 8{x^3},y' > 0 \Leftrightarrow x > 0$ nên hàm số đã cho đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$
\(y' < 0 \Leftrightarrow x < 0\) nên hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
Một số trường hợp đặc biệt:
Dạng 2: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính $f'\left( x \right)$.
- Bước 2: Nêu điều kiện của bài toán:
+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $R \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in R$ và $y' = 0$ tại hữu hạn điểm.
+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $R \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in R$ và $y' = 0$ tại hữu hạn điểm.
- Bước 3: Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm $m$.
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + 2017\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Giải: Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow y' = {x^2} - 2(m + 1)x - (2m + 3) \ge 0\) \({\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.\)
\( \Leftrightarrow \Delta ' = {(m + 1)^2} + (2m + 3) \le 0 \) \(\Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 \le 0 \Leftrightarrow m = - 2\)
Cho hàm số $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$. Khi đó:
$\begin{gathered}f\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}a > 0 \hfill \\\Delta \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\f\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}a < 0 \hfill \\\Delta \leqslant 0 \hfill \\\end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} $
Dạng 3: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D cho trước.
Phương pháp:
- Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:
+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \geqslant 0, \forall x \in D$.
+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \leqslant 0, \forall x \in D$.
- Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm $m$.
Dưới đây là một trong những cách hay được sử dụng:
- Rút $m$ theo $x$ sẽ xảy ra một trong hai trường hợp: $m \geqslant g\left( x \right),\forall x \in D$ hoặc $m \leqslant g\left( x \right),\forall x \in D$.
- Khảo sát tính đơn điệu của hàm số $y = g\left( x \right)$ trên $D$.
- Kết luận: $\begin{gathered}m \geqslant g\left( x \right),\forall x \in D \Rightarrow m \geqslant \mathop {\max }\limits_D g\left( x \right) \hfill \\m \leqslant g\left( x \right),\forall x \in D \Rightarrow m \leqslant \mathop {\min }\limits_D g\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} $
- Bước 3: Kết luận.
Dạng 4: Tìm m để hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) đồng biến, nghịch biến trên khoảng \(\left( {\alpha ;\beta } \right)\)
- Bước 1: Tính \(y'\).
- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến:
+ Hàm số đồng biến trên \(\left( {\alpha ;\beta } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {\alpha ;\beta } \right)\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( {\alpha ;\beta } \right)\end{array} \right.\)
+ Hàm số nghịch biến trên \(\left( {\alpha ;\beta } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {\alpha ;\beta } \right)\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( {\alpha ;\beta } \right)\end{array} \right.\)
- Bước 3: Kết luận.
