1. Nguyên hàm
a) Khái niệm
Nếu $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $K$ thì họ nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $K$ là: \(\int {f(x)} dx = F(x) + C,C \in R.\)
b) Tính chất
+)\(\int {f'(x)} dx = f(x) + C\)
+)\(\int {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]} dx = \int {f(x)} dx \pm \int {g(x)} dx\)
+)\(\int {kf(x)} dx = k\int {f(x)} dx , (k \ne 0)\)
c) Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
d) Các phương pháp tìm nguyên hàm
- Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản
- Sử dụng phương pháp đổi biến số và từng phần để tìm nguyên hàm.
2. Tích phân
a) Định nghĩa
Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng $I$ và $a,b$ là hai số bất kì thuộc $I.$ Nếu $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ thì hiệu số $F\left( b \right) - F\left( a \right)$ được gọi là tích phân của $f\left( x \right)$ từ $a$ đến $b$ và kí hiệu là $\int\limits_a^b {f(x)dx}.$
Ta có công thức Newton – Leibnitz:
$\int\limits_a^b {f(x)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)$
b) Tính chất
+) $\int\limits_a^a {f(x)dx} = 0$
+) $\int\limits_a^b {f(x)dx} = - \int\limits_b^a {f(x)dx} $
+) $\int\limits_a^c {f(x)dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_b^c {f(x)dx} $
+) $\int\limits_a^b {kf(x)dx} = k\int\limits_a^b {f(x)dx} ,k \in R$
+)$\int\limits_a^b {[f(x) \pm g(x)]dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} \pm \int\limits_a^b {g(x)dx} $
c) Phương pháp tính tích phân
Sử dụng công thức Newton – Leibnitz kết hợp với bảng nguyên hàm cơ bản ở trên và các phương pháp đổi biến số, từng phần để tính tích phân.
Ngoài ra còn có phương pháp sử dụng máy tính Casio sẽ được giới thiệu ở phần sau.
3. Ứng dụng của tích phân
a) Tính diện tích hình phẳng
+) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ ($f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$), trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a$ và $x = b$ được cho bởi công thức: $S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} $
+) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng $x = a,x = b$ và đồ thị của hai hàm số $y = {f_1}\left( x \right)$ và $y = {f_2}\left( x \right)$ (${f_1}\left( x \right)$ và ${f_2}\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$) được cho bởi công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}(x) - {f_2}(x)} \right|dx} $
b) Diện tích hình tròn và hình elip
+) Hình tròn bán kính $R$ có diện tích $S = \pi {R^2}$
+) Hình elíp \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có diện tích $S = \pi ab$
c) Tính thể tích vật thể, khối tròn xoay
+) Thể tích vật thể \(T\) có thiết diện \(S\left( x \right)\) được cho bởi công thức: \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \)
+) Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục và không âm trên đoạn $\left[ {a;b} \right].$ Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $y = f\left( x \right),\;x = a,x = b,y = 0$ quay quanh trục $Ox$ được cho bởi công thức: \(V = \pi \int\limits_a^b {{y^2}dx} = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \)
+) Cho hàm số $x = f\left( y \right)$ liên tục và không âm trên đoạn $\left[ {a;b} \right].$ Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $x = f\left( y \right),\;y = a,y = b,x = 0$ quay quanh trục $Oy$ được cho bởi công thức: \(V = \pi \int\limits_a^b {{x^2}dy} = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(y)dy} \)
d) Thể tích khối nón và khối chóp, khối nón cụt và khối cầu
+) Thể tích khối nón (khối chóp) có diện tích đáy bằng $B$ và chiều cao $h$ được cho bởi $V = \dfrac{1}{3}Bh.$
+) Thể tích khối nón cụt (khối chóp cụt) có diện tích hai đáy là B1, B2 và chiều cao h được cho bởi:
\(V = \dfrac{1}{3}\left( {{B_1} + {B_2} + \sqrt {{B_1}{B_2}} } \right)h\)
+) Thể tích của khối cầu có bán kính $R$ được cho bởi: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\)
