Cho \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(\left( {{C_1}} \right):\,\,y = \dfrac{2}{3}{x^3} - 3m{x^2} - 2{m^3}\) và \(\left( {{C_2}} \right):\,\,y =  - \dfrac{{{x^3}}}{3} + m{x^2} - 5{m^2}x.\) Gọi $N,n$  lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(S\) khi \(m \in \left[ {1;3} \right]\). Tính \(N - n?\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\begin{array}{l}\dfrac{2}{3}{x^3} - 3m{x^2} - 2{m^3} =  - \dfrac{{{x^3}}}{3} + m{x^2} - 5{m^2}x\\ \Leftrightarrow {x^3} - 4m{x^2} + 5{m^2}x - 2{m^3} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {{x^2} - 3mx + 2{m^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - m} \right)^2}\left( {x - 2m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = 2m\end{array} \right.\end{array}\)

$m \in \left[ {1;3} \right] \Rightarrow m < 2m$ và khi \(x \in \left( {m;2m} \right) \Rightarrow x < 2m \Rightarrow {x^3} - 4m{x^2} + 5{m^2}x - 2{m^3} < 0\) 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) là:

$\begin{array}{l}S = \int\limits_m^{2m} {\left| {{x^3} - 4m{x^2} + 5{m^2}x - 2{m^3}} \right|dx}  = \int\limits_m^{2m} {\left( { - {x^3} + 4m{x^2} - 5{m^2}x + 2{m^3}} \right)dx} \\ = \left. {\left( { - \dfrac{{{x^4}}}{4} + 4m\dfrac{{{x^3}}}{3} - 5{m^2}\dfrac{{{x^2}}}{2} + 2{m^3}x} \right)} \right|_m^{2m} = \dfrac{{{m^4}}}{{12}}\\m \in \left[ {1;3} \right] \Rightarrow \dfrac{1}{{12}} \le S \le \dfrac{{27}}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}N = \dfrac{{27}}{4}\\n = \dfrac{1}{{12}}\end{array} \right. \Rightarrow N - n = \dfrac{{20}}{3}.\end{array}$