Đăng nhập Đăng ký

Ứng dụng tích phân trong hình học (diện tích hình phẳng)

245 lượt xem

Bài trước

Bài sau

Bài viết nêu ra các công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trong mặt phẳng.

1. Kiến thức cần nhớ

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ , trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a,x = b\left( {a < b} \right)$ :

$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)$ và hai đường thẳng $x = a,x = b\left( {a < b} \right)$ :

$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng nếu biết hai đường giới hạn

Phương pháp:

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ , trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a,x = b\left( {a < b} \right)$ được tính bởi công thức:

$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)$ và hai đường thẳng $x = a,x = b\left( {a < b} \right)$ được tính bởi công thức:

$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$

Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng nếu chưa biết hai đường giới hạn

Phương pháp:

- Bước 1: Giải phương trình $f\left( x \right) = g\left( x \right)$ tìm nghiệm.

- Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức $\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|$

- Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân:

$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ và các trục tọa độ. Chọn kết quả đúng nhất.

A. $3\ln 6$

B. $3\ln \dfrac{3}{2}$

C. $3\ln \dfrac{3}{2} - 2$

D. $3\ln \dfrac{3}{2} - 1$

Giải:

Đồ thị hàm số cắt $Ox$ tại $\left( {-1;0} \right)$ , cắt $Oy$ tại $\left( {0; - \dfrac{1}{2}} \right)$ .

Hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ có $y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)$ nên hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ nghịch biến trên $\left( {-1;0} \right)$ .

Do đó $y < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)$

Do đó $S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( { - \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right)} dx = - \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {1 + \dfrac{3}{{x - 2}}} \right)} dx$

$= - \left( {x + 3\ln \left| {x - 2} \right|\mathop |\nolimits_{ - 1}^0 } \right) = - 3\ln 2 - 1 + 3\ln 3 = 3\ln \dfrac{3}{2} - 1$

Chọn D.

Bài trước

Bài sau

Luyện bài tập vận dụng tại đây

Câu hỏi trong bài

Câu 1:

Cho hàm số $y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m$ có đồ thị $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Gọi ${{S}_{1}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị $\left( C \right)$ nằm phía trên trục hoành, ${{S}_{2}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị $\left( C \right)$ nằm phía dưới trục hoành. Biết rằng ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$ . Giá trị của $m$ là

Xem đáp án

Câu 2:

Cho hai hàm số $f\left( x \right) = m{x^3} + n{x^2} + px - \dfrac{5}{2}$ $\left( {m,n,p \in \mathbb{R}} \right)$ và $g\left( x \right) = {x^2} + 2x - 1$ có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $- 3;\,\, - 1;\,\,1$ ( tham khảo hình vẽ bên). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ bằng

Xem đáp án

Câu 3:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn ${x^2} + {y^2} = 2,y > 0$ và parabol $y = {x^2}$ bằng:

Xem đáp án

Câu 4:

Cho hàm số $y = {x^4} - 3{x^2} + m$ có đồ thị là $\left( {{C_m}} \right)$ ( $m$ là tham số thực). Giả sử $\left( {{C_m}} \right)$ cắt trục $Ox$ tại 4 điểm phân biệt. Gọi ${S_1},\,\,{S_2}$ là diện tích của hai hình phẳng nằm dưới trục $Ox$ và ${S_3}$ là diện tích của hình phẳng nằm trên trục $Ox$ được tạo bởi $\left( {{C_m}} \right)$ với trục $Ox$ . Biết rằng tồn tại duy nhất giá trị $m = \dfrac{a}{b}$ (với $a,\,\,b \in {\mathbb{N}^*}$ và tối giản) để ${S_1} + {S_2} = {S_3}$ . Giá trị của $2a - b$ bằng:

Xem đáp án

Câu 5:

Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = (x - 1){e^x}$ , trục hoành, đường thẳng $x = 0$ và $x = 1$

Xem đáp án

Câu 6:

Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có hình parabol. Gắn parabol vào hệ trục $Oxy$ thì nó có đỉnh $\left( {0;8} \right)$ và cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt, trong đó có 1 điểm là $\left( { - 4;0} \right)$ . Người ta dự định lắp vào cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào.

Xem đáp án

Câu 7:

Cho hai hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ với $a < b$ . Kí hiệu ${S_1}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 3f(x)$ , $y = 3g(x),\,\,x = a,\,\,x = b,\,\,{S_2}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f(x) - 2,\,\,y = g(x) - 2,\,\,x = a,\,\,x = b$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Câu 8:

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y=\left| {{x}^{2}}-4x+3 \right|,\,\,y=x+3$ (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của $\left( H \right)$ bằng

Xem đáp án

Câu 9:

Cho $\left( H \right)$ là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn bởi các đường có phương trình $y=\frac{10}{3}x-{{x}^{2}}$ , $y=\left\{ \begin{align} & -x\,\,\,\,\,\,\,\text{khi}\,x\le 1 \\ & x-2\,\,\text{khi}\,\,x>1 \\ \end{align} \right.$ . Diện tích của $\left( H \right)$ bằng?

Xem đáp án

Câu 10:

Hình phẳng $\left( H \right)$ có diện tích bằng $S,$ gấp $2$ lần diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = {x^2} - 4,\,\,y = 2x - 4.$ Tính diện tích $S?$

Xem đáp án