Cho hàm số \(y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m\)  có đồ thị \(\left( C \right)\) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Gọi \({{S}_{1}}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị \(\left( C \right)\) nằm phía trên trục hoành, \({{S}_{2}}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị \(\left( C \right)\) nằm phía dưới trục hoành. Biết rằng \({{S}_{1}}={{S}_{2}}\). Giá trị của \(m\) là

Phương trình hoành độ giao điểm \(\left( C \right)\) và \(Ox\) là \({{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)

Đặt \(t={{x}^{2}}\ge 0,\) khi đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t+m=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( I  \right).\)

Để \(\left( C \right)\) cắt \(Ox\) tại bốn điểm phân biệt khi \(\left( I \right)\) có 2 nghiệm dương phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
- \frac{b}{a} > 0\\
\frac{c}{a} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9 - 4m > 0\\
3 > 0\\
m > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < \frac{9}{4}\\
m > 0
\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow 0 < m < \frac{9}{4}.\)

Khi đó, gọi \({{t}_{1}},\,\,{{t}_{2}}\,\,\,\left( 0<{{t}_{1}}<{{t}_{2}} \right)\) là nghiệm của phương trình \(\left( I  \right).\)

Suy ra \(\left( * \right)\) có bốn nghiệm theo thứ tự phân biệt là \({{x}_{1}}=-\,\sqrt{{{t}_{2}}},\,\,{{x}_{2}}=-\,\sqrt{{{t}_{1}}},\,\,{{x}_{3}}=\sqrt{{{t}_{1}}},\,\,{{x}_{4}}=\sqrt{{{t}_{2}}}.\)

Do tính đối xứng của \(\left( C \right)\) nên \({{S}_{1}}={{S}_{2}}\)

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow \,\int\limits_{0}^{{{x}_{3}}}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m \right)\,\text{d}x}=\int\limits_{{{x}_{3}}}^{{{x}_{4}}}{\left( -\,{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-m \right)\,\text{d}x} \\ & \left. \Leftrightarrow \left( \frac{{{x}^{5}}}{5}-{{x}^{3}}+mx \right) \right|_{0}^{{{x}_{3}}}=\left. \left( -\,\frac{{{x}^{5}}}{5}+{{x}^{3}}-mx \right) \right|_{{{x}_{3}}}^{{{x}_{4}}} \\ & \Leftrightarrow \frac{x_{3}^{5}}{5}-x_{3}^{3}+m{{x}_{3}}=-\frac{x_{4}^{5}}{5}+x_{4}^{3}-m{{x}_{4}}+\frac{x_{3}^{5}}{5}-x_{3}^{3}+m{{x}_{3}} \\ & \Leftrightarrow -\frac{x_{4}^{5}}{5}+x_{4}^{3}-m{{x}_{4}}=0. \\\end{align}\)

Mà \(a={{x}_{4}}\) là nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\) nên suy ra 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x_4^4 - 3x_4^2 + m = 0\\
- \,\frac{{x_4^5}}{5} + x_4^3 - m{x_4} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = - \,{a^4} + 3{a^2}\\
m = - \frac{{{a^4}}}{5} + {a^2}
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = - \,{a^4} + 3{a^2}\\
- \,{a^4} + 3{a^2} = - \,\frac{{{a^4}}}{5} + {a^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = - \,{a^4} + 3{a^2}\\
\left[ \begin{array}{l}
{a^2} = 0\\
{a^2} = \frac{5}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = \frac{5}{4}
\end{array} \right..\)

Kết hợp với điều kiện \(0<m<\frac{9}{4}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,m=\frac{5}{4}\) là giá trị cần tìm.