Nguyên hàm (phương pháp từng phần)

Bài viết trình bày công thức nguyên hàm từng phần và các dạng toán thường áp dụng phương pháp từng phần.

1. Kiến thức cần nhớ

- Công thức nguyên hàm từng phần: \(\int {udv}  = uv - \int {vdu} \)

2. Bài toán

Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( x \right).h\left( x \right)dx} \)

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = g\left( x \right)\\dv = h\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = g'\left( x \right)dx\\v = \int {h\left( x \right)dx} \end{array} \right.\) (\(v\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(h\left( x \right)\))

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)dx}  = uv - \int {vdu} \)

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \ln x\).

Giải:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\)

Do đó \(\int {\ln xdx}  = uv - \int {vdu}  = x.\ln x - \int {x.\dfrac{1}{x}dx}  = x\ln x - \int {dx}  = x\ln x - x + C\)

3. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Hàm số logarit.

Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} \) với $f(x)$ là một hàm đa thức.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {ax + b} \right)\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{a}{{ {ax + b} }}dx\\v = \int {f\left( x \right)dx} \end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx}  = uv - \int {vdu} \)

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x\ln x$

Giải: Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {x\ln xdx} $.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

$F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{x^2}\ln x - \dfrac{1}{2}\int {xdx}  = \dfrac{1}{2}{x^2}\ln x - \dfrac{1}{4}{x^2} + C$

Dạng 2: Hàm số mũ.

Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} \) với $f(x)$ là một hàm đa thức.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}}\end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx}  = uv - \int {vdu} \)

Ví dụ: Tính $I = \int {x{e^x}{\rm{d}}x} $

Giải:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

$I = \int {x{e^x}dx}  = x{e^x} - \int {{e^x}dx} $$ = x{e^x} - \int {d\left( {{e^x}} \right)}  = x{e^x} - {e^x} + C$

Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức.

Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} \) hoặc \(\int {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} \).

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \sin \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v =  - \dfrac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \cos \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx}  = uv - \int {vdu} \) hoặc \(\int {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx}  = uv - \int {vdu} \)

Ví dụ: Tính \(I = \int {x\sin xdx} \)

Giải:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - \cos x\end{array} \right.\)

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

\(I =  - x\cos x + \int {\cos xdx}  =  - x\cos x + \sin x + C\)

Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ.

Tính nguyên hàm \(\int {{e^{ax + b}}\sin \left( {cx + d} \right)dx} \) hoặc \(\int {{e^{ax + b}}\cos \left( {cx + d} \right)dx} \).

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sin \left( {cx + d} \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right.\)  hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = \cos \left( {cx + d} \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(uv - \int {vdu} \).

Lưu ý:

- Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần nguyên hàm từng phần.

- Ở bước 1 ta cũng có thể đổi lại đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \sin \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \cos \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\)

Ví dụ: Tính nguyên hàm $I = \int {\sin x.{e^x}{\rm{d}}x} $

Giải:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sin x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \cos xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\).

Khi đó \(I = {e^x}\sin x - \int {\cos x{e^x}dx}  = {e^x}\sin x - J\)

Tính \(J = \int {\cos x{e^x}dx} \). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du =  - \sin xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)

Suy ra \(J = {e^x}\cos x + \int {\sin x{e^x}dx}  = {e^x}\cos x + I.\)

Do đó \(I = {e^x}\sin x - J = {e^x}\sin x - \left( {{e^x}\cos x + I} \right) \Leftrightarrow 2I = {e^x}\sin x - {e^x}\cos x\)

Vậy \(I = \dfrac{1}{2}\left( {{e^x}\sin x - {e^x}\cos x} \right) + C\)

Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có các hàm số sau thì thứ tự ưu tiên để đặt u là:

Lôgarit-> Hàm đa thức -> Hàm lượng giác -> Hàm mũ

Câu hỏi trong bài