1. Lũy thừa với số mũ nguyên
a) Định nghĩa:
- Lũy thừa với số mũ nguyên dương \(a \in R:{a^n} = a.a...a\) (n thừa số a).
- Lũy thừa với số mũ nguyên âm: \(a \ne 0:{a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}};{a^0} = 1\)
- Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: \(a > 0:{a^{\dfrac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\left( {m,n \in Z,n \ge 2} \right)\)
b) Tính chất:
Cho \(a \ne 0,b \ne 0\) và \(m,n\) là các số nguyên, ta có:
1/ \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\)
2/ \({a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\)
3/ \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}\)
4/ \({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}\)
5/ \({\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^n} = \dfrac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\)
6/ Với \(a > 1\) thì \({a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n\)
7/ Với \(0 < a < 1\) thì \({a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n\)
Hệ quả:
1/ Với \(0 < a < b\) và \(m\) nguyên dương thì \({a^m} < {b^m}\).
2/ Với \(0 < a < b\) và \(m\) nguyên âm thì \({a^m} > {b^m}\)
3/ Với \(a < b,n\) là số tự nhiên lẻ thì \({a^n} < {b^n}\)
4/ Với \(a > 0,b > 0,n\) là số nguyên khác \(0\) thì \({a^n} = {b^n} \Leftrightarrow a = b\).
2. Căn bậc n
a) Định nghĩa: Cho số thực \(b\) và số nguyên dương \(n\left( {n \ge 2} \right)\). Số \(a\) được gọi là căn bậc \(n\) của số \(b\) nếu \({a^n} = b\).
Từ định nghĩa suy ra:
- Với \(n\) lẻ và \(b \in R\) có duy nhất một căn bậc \(n\) của \(b\), kí hiệu là \(\sqrt[n]{b}\).
- Với \(n\) chẵn và:
+ \(b < 0\) thì không tồn tại căn bậc \(n\) của \(b\).
+ \(b = 0\) thì có một căn bậc \(n\) của \(b\) là \(0\).
+ \(b > 0\) thì có hai căn trái dấu là \( \pm \sqrt[n]{b}\)
- Căn bậc \(1\) của số \(a\) chính là \(a\).
- Căn bậc \(n\) của số \(0\) là \(0\).
- Nếu \(n\) lẻ thì \(\sqrt[n]{{{a^n}}} = a\) ; nếu \(n\) chẵn thì \(\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left| a \right|\) khi \(n\) chẵn.
b) Tính chất:
Với \(a \ge 0,b \ge 0,m,n\) nguyên dương, ta có:
1/ \(\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\)
2/ \(\sqrt[n]{{\dfrac{a}{b}}} = \dfrac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}\left( {b > 0} \right)\)
3/ \(\sqrt[n]{{{a^p}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^p}\left( {a > 0} \right)\)
4/ \(\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}\)
5/ \(\sqrt[n]{a} = \sqrt[{mn}]{{{a^m}}} (a>0) \)
