Câu hỏi:
2 năm trước
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^1 {x\left( {ax + b\sqrt {3{x^2} + 1} } \right)dx} = 3\), biết \(3b - 2a = 5\). Tính \(M = {a^2} - {b^2}.\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
$I = \int\limits_0^1 {x\left( {ax + b\sqrt {3{x^2} + 1} } \right)dx} = a\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + b\int\limits_0^1 {x\sqrt {3{x^2} + 1} dx} = \left. {a\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^1 + b{I_1} = \dfrac{a}{3} + b{I_1}$
Đặt \(t = \sqrt {3{x^2} + 1} \Rightarrow {t^2} = 3{x^2} + 1 \Leftrightarrow 2tdt = 6xdx \Rightarrow xdx = \dfrac{{tdt}}{3}\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\) , khi đó ${I_1} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{tdt}}{3}.t} = \left. {\dfrac{1}{3}\dfrac{{{t^3}}}{3}} \right|_1^2 = \dfrac{8}{9} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{7}{9}.$
\( \Rightarrow I = \dfrac{a}{3} + \dfrac{{7b}}{9} = 3\).
Khi đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{3} + \dfrac{{7b}}{9} = 3\\3b - 2a = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow M = {a^2} - {b^2} = - 5$
Hướng dẫn giải:
$I = \int\limits_0^1 {x\left( {ax + b\sqrt {3{x^2} + 1} } \right)dx} = a\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + b\int\limits_0^1 {x\sqrt {3{x^2} + 1} dx} = {I_1} + {I_2}$
- Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = \sqrt {3{x^2} + 1} \) để tính \({I_2}.\)
- Tính $I$ theo $a,b$ .
- Kết hợp giả thiết \(3b - 2a = 5\), tìm $a$ và $b$ . Tính $M$.
Câu hỏi khác
- Bài tập nguyên hàm toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân các hàm số cơ bản toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp từng phần để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
