Câu hỏi:

2 năm trước

Cho tích phân $I = \int\limits_0^1 {x\left( {ax + b\sqrt {3{x^2} + 1} } \right)dx} = 3$ , biết $3b - 2a = 5$ . Tính $M = {a^2} - {b^2}.$

$M = - 5$

$M = - 15$

$M = \dfrac{{26565}}{{729}}$

$M = 15$

Xem đáp án

82 lượt xem

Bài tập ôn tập chương 3 - MÔN TOÁN - Lớp 12. Thi ngay

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: a

$I = \int\limits_0^1 {x\left( {ax + b\sqrt {3{x^2} + 1} } \right)dx} = a\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + b\int\limits_0^1 {x\sqrt {3{x^2} + 1} dx} = \left. {a\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^1 + b{I_1} = \dfrac{a}{3} + b{I_1}$

Đặt $t = \sqrt {3{x^2} + 1} \Rightarrow {t^2} = 3{x^2} + 1 \Leftrightarrow 2tdt = 6xdx \Rightarrow xdx = \dfrac{{tdt}}{3}$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.$ , khi đó ${I_1} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{tdt}}{3}.t} = \left. {\dfrac{1}{3}\dfrac{{{t^3}}}{3}} \right|_1^2 = \dfrac{8}{9} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{7}{9}.$

$\Rightarrow I = \dfrac{a}{3} + \dfrac{{7b}}{9} = 3$ .

Khi đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{3} + \dfrac{{7b}}{9} = 3\\3b - 2a = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow M = {a^2} - {b^2} = - 5$

Hướng dẫn giải:

$I = \int\limits_0^1 {x\left( {ax + b\sqrt {3{x^2} + 1} } \right)dx} = a\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + b\int\limits_0^1 {x\sqrt {3{x^2} + 1} dx} = {I_1} + {I_2}$

- Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt $t = \sqrt {3{x^2} + 1}$ để tính ${I_2}.$

- Tính $I$ theo $a,b$ .

- Kết hợp giả thiết $3b - 2a = 5$ , tìm $a$ và $b$ . Tính $M$ .

Câu hỏi khác

Câu 1:

Cho đồ thị biểu diễn vận tốc của hai xe $A$ và $B$ khởi hành cùng một lúc và cùng vạch xuất phát, đi cùng chiều trên một con đường. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của xe $A$ là một đường parabol và đồ thị biểu diễn vận tốc của xe $B$ là một đường thẳng như hình vẽ bên. Hỏi sau 5 giây kể từ lúc xuất phát thì khoảng cách giữa hai xe là bao nhiêu mét? (Biết rằng xe $A$ sẽ dừng lại khi vận tốc bằng 0 ).

$\dfrac{{250}}{3}\;{\rm{m}}$ .

$270\;{\rm{m}}$ .

$200\;{\rm{m}}$ .

$\dfrac{{110}}{3}\;{\rm{m}}$ .

Xem đáp án

143

143 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Câu 2:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2}$ và đường thẳng $y = 2x$ là:

$S = \dfrac{{20}}{3}$

$S = \dfrac{{496}}{{15}}$

$S = \dfrac{4}{3}$

$S = \dfrac{5}{3}$

Xem đáp án

148

148 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Câu 3:

Khẳng định nào sau đây là sai ?

$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}$

$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}$

$\int\limits_a^b {f\left( {k.x} \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$

$\int\limits_a^b {k.f\left( x \right)dx} = k.\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$

Xem đáp án

129

129 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Câu 4:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {2^x} - \cos x + 1$ .

$\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = \dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + \sin x + x + C$

$\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = \dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \sin x + x + C$

$\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = {2^x}.\ln 2 + \sin x + x + C$

$\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = {2^x}.\ln 2 - \sin x + x + C$

Xem đáp án

137

137 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Câu 5:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2{x^2} - 4x - 6$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = - 2,x = - 4$ .

$S = 8$

$S = \dfrac{{220}}{3}$

$S = \dfrac{{76}}{3}$

$S = \dfrac{{148}}{3}$

Xem đáp án

123

123 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Câu 6:

Biết rằng $\int\limits_{}^{} {{e^x}\cos xdx} = \left( {a\cos x + b\sin x} \right){e^x} + C\,\,\left( {a;b \in R} \right)$ . Tính tổng $T = a + b$ .

$T = \dfrac{1}{2}$

$T = 0$

$T = 1$

$T = 2$

Xem đáp án

136

136 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Câu 7:

Giả sử a, b là hai số nguyên thỏa mãn $\int\limits_1^5 {\dfrac{{dx}}{{x\sqrt {3x + 1} }} = a\ln 3 + b\ln 5}$ . Tính giá trị của biểu thức $P = {a^2} + ab + 3{b^2}.$

$P = 11$

$P = 5$

$P = 2$

$P = - 2$

Xem đáp án

126

126 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Cho tích phân $I = \int\limits_0^1 {x\left( {ax + b\sqrt {3{x^2} + 1} } \right)dx} = 3$ , biết $3b - 2a = 5$ . Tính $M = {a^2} - {b^2}.$

Trả lời bởi giáo viên

Câu hỏi khác

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2}$ và đường thẳng $y = 2x$ là:

Khẳng định nào sau đây là sai ?

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {2^x} - \cos x + 1$ .

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2{x^2} - 4x - 6$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = - 2,x = - 4$ .

Biết rằng $\int\limits_{}^{} {{e^x}\cos xdx} = \left( {a\cos x + b\sin x} \right){e^x} + C\,\,\left( {a;b \in R} \right)$ . Tính tổng $T = a + b$ .

Giả sử a, b là hai số nguyên thỏa mãn $\int\limits_1^5 {\dfrac{{dx}}{{x\sqrt {3x + 1} }} = a\ln 3 + b\ln 5}$ . Tính giá trị của biểu thức $P = {a^2} + ab + 3{b^2}.$

Đề thi - đề kiểm tra Xem thêm

Hỏi bài tập Xem thêm

cách xây nhà như thế nào ?

Cho lgx < b, với b là hằng số, b<0 Khi đó: A. x < 10^b B. x > 10^b C. x < lgb D. Cả ba đáp án đều sai

Chúng tôi

Học tốt

Liên kết

Mạng xã hội

Cho tích phân I=1∫0x(ax+b√3x2+1)dx=3I = \int\limits_0^1 {x\left( {ax + b\sqrt {3{x^2} + 1} } \right)dx} = 3, biết 3b−2a=53b - 2a = 5. Tính M=a2−b2.M = {a^2} - {b^2}.

Trả lời bởi giáo viên

Câu hỏi khác

Đề thi - đề kiểm tra Xem thêm

Hỏi bài tập Xem thêm

Cho tích phân $I = \int\limits_0^1 {x\left( {ax + b\sqrt {3{x^2} + 1} } \right)dx} = 3$ , biết $3b - 2a = 5$ . Tính $M = {a^2} - {b^2}.$