1. Giải và biện luận bất phương trình dạng ax+b<0ax+b<0
Cho bất phương trình ax+b<0(1)ax+b<0(1)
Dưới đây là phương pháp giải và biện luận bất phương trình ax+b<0ax+b<0. Các bất phương trình ax+b≤0,ax+b>0ax+b≤0,ax+b>0, ax+b≥0ax+b≥0 được làm tương tự.
a) Nếu a>0a>0 thì (1)⇔x<−ba(1)⇔x<−ba.
Tập nghiệm của bất phương trình là S=(−∞;−ba)S=(−∞;−ba).
b) Nếu a<0a<0 thì (1)⇔x>−ba(1)⇔x>−ba.
Tập nghiệm của bất phương trình là S=(−ba;+∞)S=(−ba;+∞).
c) Nếu a=0a=0 thì (1)⇔b<0(1)⇔b<0. Do đó:
- Bất phương trình (1)(1) vô nghiệm nếu b≥0b≥0.
- Bất phương trình (1)(1) nghiệm đúng với mọi xx nếu b<0b<0.
Ví dụ: Giải và biện luận: mx+1<0(1)mx+1<0(1).
- Nếu m>0m>0 thì (1)⇔x<−1m(1)⇔x<−1m nên tập nghiệm S=(−∞;−1m)S=(−∞;−1m).
- Nếu m<0m<0 thì (1)⇔x>−1m(1)⇔x>−1m nên tập nghiệm S=(−1m;+∞)S=(−1m;+∞).
- Nếu m=0m=0 thì (1)(1) trở thành 1<01<0 (sai) nên bất phương trình vô nghiệm.
Kết luận:
+) Nếu m>0m>0 thì bất phương trình có tập nghiệm S=(−∞;−1m)S=(−∞;−1m)
+) Nếu m<0m<0 thì bất phương trình có tập nghiệm S=(−1m;+∞)S=(−1m;+∞)
+) Nếu m=0m=0 thì bất phương trình vô nghiệm.
2. Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Quy tắc: Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn, ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm thu được.
Ví dụ: Giải hệ bất phương trình: {2x−4<03−2x>−3.
Ta có: {2x−4<03−2x>−3⇔{2x<4−2x>−6⇔{x<2x<3⇔x<2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=(−∞;2)
