1. Giải và biện luận bất phương trình dạng \(ax + b < 0\)
Cho bất phương trình \(ax + b < 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Dưới đây là phương pháp giải và biện luận bất phương trình $ax + b < 0$. Các bất phương trình $ax + b \le 0, ax + b > 0$, $ax + b \ge 0$ được làm tương tự.
a) Nếu \(a > 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x < - \dfrac{b}{a}\).
Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ; - \dfrac{b}{a}} \right)\).
b) Nếu \(a < 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x > - \dfrac{b}{a}\).
Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \dfrac{b}{a}; + \infty } \right)\).
c) Nếu \(a = 0\) thì $\left( 1 \right) \Leftrightarrow b < 0$. Do đó:
- Bất phương trình \(\left( 1 \right)\) vô nghiệm nếu \(b \ge 0\).
- Bất phương trình \(\left( 1 \right)\) nghiệm đúng với mọi \(x\) nếu \(b < 0\).
Ví dụ: Giải và biện luận: \(mx + 1 < 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
- Nếu \(m > 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x < - \dfrac{1}{m}\) nên tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ; - \dfrac{1}{m}} \right)\).
- Nếu \(m < 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x > - \dfrac{1}{m}\) nên tập nghiệm \(S = \left( { - \dfrac{1}{m}; + \infty } \right)\).
- Nếu \(m = 0\) thì \(\left( 1 \right)\) trở thành \(1 < 0\) (sai) nên bất phương trình vô nghiệm.
Kết luận:
+) Nếu \(m > 0\) thì bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ; - \dfrac{1}{m}} \right)\)
+) Nếu \(m < 0\) thì bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left( { - \dfrac{1}{m}; + \infty } \right)\)
+) Nếu \(m = 0\) thì bất phương trình vô nghiệm.
2. Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Quy tắc: Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn, ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm thu được.
Ví dụ: Giải hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 < 0\\3 - 2x > - 3\end{array} \right.\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 < 0\\3 - 2x > - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x < 4\\ - 2x > - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x < 2\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;2} \right)\)
