1. Tổng hai vectơ
a) Định nghĩa
Cho hai vectơ $\overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow b $. Từ điểm A tùy ý vẽ $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a $ rồi từ B vẽ $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b $.
Khi đó vectơ $\overrightarrow {AC} $ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow b $.
Kí hiệu $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow a + \overrightarrow b $
b) Tính chất
+ Giao hoán : $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a $
+ Kết hợp : $\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)$
+ Tính chất vectơ – không: $\overrightarrow a + \overrightarrow 0 = \overrightarrow a {\rm{, }}\forall \overrightarrow a $
2. Các quy tắc
Quy tắc ba điểm: Cho $A,B,C$ tùy ý, ta có : $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} $
Quy tắc hình bình hành: Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} $
Ta có thể mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm ${A_1},\,{A_2},\,...,\,{A_n}$ thì $\overrightarrow {{A_1}{A_2}} + \overrightarrow {{A_2}{A_3}} + ... + \overrightarrow {{A_{n - 1}}{A_n}} = \overrightarrow {{A_1}{A_n}} $
3. Các điểm đặc biệt
a) Trung điểm
Cho \(I\) là trung điểm \(AB\) và một điểm \(M\) bất kì, khi đó:
+) \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \).
+) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \).
Ngược lại, nếu có 2 tính chất trên ta cũng suy ra $I$ là trung điểm của $AB$
b) Trọng tâm
Cho \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(M\) là một điểm bất kì, khi đó:
+) \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
+) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \).
Chứng minh:
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\) và \(D\) đối xứng \(G\) qua \(I\)
Khi đó \(BGCD\) là hình bình hành.
Suy ra \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GD} \) (quy tắc hình bình hành)
Mà \(GA = GD = 2GI\) nên \(G\) là trung điểm của \(AD\)
Do đó \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \) (tính chất trung điểm)
Vậy \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \)
Với \(M\) là điểm bất kì thì:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \) \( = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} \) \( = 3\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG} \)
Ngược lại, nếu có hai tính chất trên ta cũng suy ra ngược lại rằng $G$ là trọng tâm của tam giác.
