Bất đẳng thức

2. Bất đẳng thức Cô – si (Cauchy)

a) Với $\forall a \ge 0;{\rm{ }}b \ge 0$ thì ta có: $\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} .$

Dấu $'' = ''$ xảy ra khi và chỉ khi $a = b.$

b) Với $\forall a \ge 0;{\rm{ }}b \ge 0;{\rm{ }}c \ge 0$ thì ta có: $\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}.$

Dấu $'' = ''$ xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c.$

c) Mở rộng:

Với ${a_i} \ge 0\forall i = \overline {1,n}$ ta có: ${a_1} + {a_2} + ... + {a_n} \ge n\sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${a_1} = {a_2} = ... = {a_n}$

3. Bất đẳng thức Bunhia – Copxki (Cauchy Schwarz)

a) $\forall x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}a;{\rm{ }}b \in \mathbb{R}$ thì:

+) ${(a.x + b.y)^2} \le ({a^2} + {b^2})({x^2} + {y^2})$

+) $\left| {a.x + b.y} \right| \le \sqrt {({a^2} + {b^2})({x^2} + {y^2})} \cdot$

Dấu $'' = ''$ xảy ra khi $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b},{\rm{ }}(a;{\rm{ }}b \ne 0).$

b) $\forall x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z;{\rm{ }}a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c \in \mathbb{R}$ thì:

+) ${(a.x + b.y + c.z)^2}$ $\le ({a^2} + {b^2} + {c^2})({x^2} + {y^2} + {z^2})$

+) $\left| {a.x + b.y + c.z} \right|$ $\le \sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({x^2} + {y^2} + {z^2})}$

Dấu $'' = ''$ xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}(a;b;c \ne 0).$

c) Mở rộng: $\forall x_i, a_i \in \mathbb{R}$, $i=1;2;...;n$

+) $\left( {a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \right)$$\ge {\left( {{a_1}{x_1} + {a_2}{x_2} + ... + {a_n}{x_n}} \right)^2}$

+) $\left| {{a_1}{x_1} + {a_2}{x_2} + ... + {a_n}{x_n}} \right|$$\le \sqrt {\left( {a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \right)}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{{{a_1}}}{{{x_1}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{x_2}}} = ... = \dfrac{{{a_n}}}{{{x_n}}}$

4. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

a) Với $\forall x \in R$ ta có: $\left| x \right| \ge 0,\left| x \right| \ge x,\left| x \right| \ge - x$

b) Với $a > 0$ thì:

+) $\left| x \right| \le a \Leftrightarrow  - a \le x \le a$.

+) $\left| x \right| \ge a \Leftrightarrow x \le  - a$ hoặc $x \ge a$

c) Với $a,b \in R$ thì $\left| a \right| - \left| b \right| \le \left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|$