Bất phương trình bậc hai

1. Bất phương trình bậc hai

- Bất phương trình bậc hai ẩn $x$ là bất phương trình dạng $a{x^2} + bx + c < 0$ (hoặc $a{x^2} + bx + c \le 0,$ $a{x^2} + bx + c > 0,$ $a{x^2} + bx + c \ge 0$), trong đó $a,\,\,b,\,\,c$ là những số thực đã cho, $a \ne 0.$

- Giải bất phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c < 0$ thực chất là tìm các khoảng mà trong đó $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ cùng dấu với hệ số $a$ (trường hợp $a < 0$) hay trái dấu với hệ số $a$ (trường hợp $a > 0$).

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải bất phương trình bậc hai.

Phương pháp:

- Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng một vế là tam thức bậc hai, một vế bằng $0$.

- Bước 2: Xét dấu vế trái của tam thức bậc hai và kết luận nghiệm.

Dạng 2: Giải bất phương trình tích.

Phương pháp:

- Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng tích các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.

- Bước 2: Xét dấu các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai ở trên và kết luận nghiệm.

Dạng 3: Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp:

- Bước 1: Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng tích, thương các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.

- Bước 2: Xét dấu các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai ở trên và kết luận nghiệm.

Chú ý: Cần chú ý điều kiện xác định của bất phương trình.

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm – có nghiệm – nghiệm đúng

Phương pháp:

Sử dụng một số tính chất:

- Nếu $\Delta  < 0$ thì tam thức bậc hai cùng dấu với $a$.

- Bình phương, căn bậc hai, giá trị tuyệt đối của một biểu thức luôn không âm.

Dạng 5: Giải hệ bất phương trình bậc hai

Phương pháp:

- Bước 1: Giải từng bất phương trình có trong hệ.

- Bước 2: Kết hợp nghiệm và kết luận.